初中数学华师大版九年级下册第26章 二次函数26.2 二次函数的图象与性质3. 求二次函数的表达式优秀ppt课件

教学目标

1.会用待定系数法求二次函数的表达式.

2.会根据题中条件选择合适的方法求二次函数的表达式.

教学重难点

重点：用待定系数法求二次函数的表达式的具体步骤．

难点：根据题中条件选择合适的方法求二次函数的表达式．

教学过程

复习巩固 

1.一次函数y＝kx+b（k0）有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标才能求出它的表达式？

2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？

（学生先独立思考后，师生共同回忆，完成上述两个问题）

(1)设：设出表达式

(2)代：代入两对的对应值；

(3)解：解所得的方程组；

(4)写：将求得的的值代入，写出函数表达式.

3．二次函数的三种常见表达式

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a、b、c均为常数)；

(2)顶点式：y＝a(x-h)2＋k(a≠0，a、h、k均为常数)；

(3)交点式：y＝a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1、x2为抛物线与x轴两个交点的横坐标，且x1≠x2)．

导入新课

用待定系数法求二次函数的表达式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，需要求出a、b、c的值，由已知条件(如二次函数图象上     个点的坐标)列出关于a、b、c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的表达式．

探究新知

一、预习新知

【问题】如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线）的薄壳屋顶．它的拱宽为，拱高为．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？

【探索思路】为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数表达式，然后根据这个函数表达式进行计算，画出图形.

【解】如图，以点O为原点，以AB的垂直平分线为 y轴，以过点O且与y 轴垂直的直线为x轴，建立直角坐标系.这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶

点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数表达式为(

.

因为线段AB与y轴交于点C，所以CB＝ ＝2 m.

又因为CO＝0.8 ｍ ，所以点Ｂ的坐标为（2，0.8 ）．

因为点Ｂ在抛物线上，将它的坐标代入，

得0.8=，＝0.2.

所以函数表达式为.

【注意】

（1）根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线；

（2）在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的表达式.

【思考】

（1）能不能以点为原点，所在的直线为轴，过点的轴的垂线为轴，建立直角坐标系？

（2）若以点为原点，所在的直线为轴，过点的轴的垂线为轴，建立直角坐标系，你能求出其函数表达式吗？

（3）请同学们根据这个函数表达式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同？

（4）比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种方式能使解决问题更简便？为什么？

【归纳】解决涉及二次函数的实际问题时，应根据图形灵活地建立直角坐标系，使问题变得更简便.

二、探究新知

合作探究

探究一：用顶点式求二次函数的表达式.

下面是二次函数（a≠0）的图象上点的横坐标x，纵坐标y的一部分对应值，你能根据表格中x和y的对应值求出二次函数（a≠0）的表达式吗？

（学生独立完成探究，老师点评）

教师带领学生进一步观察以上表格，引导学生发现新的信息.

教师：观察以上表格，你还有哪些发现？

学生：抛物线的对称轴是直线x＝-1，顶点坐标是 .

教师：我们还可以运用什么方法求得二次函数的表达式？

（学生独立完成探究，老师点评）

【解】设抛物线的表达式为.把代入，

得 ，

再把（0，-4）代入，得,

∴ 该函数的表达式为.

师生一起总结用顶点式求二次函数表达式的方法.

步骤：（1）设函数表达式为

（2）将顶点坐标和函数图象上另一点坐标代入表达式，得到关于a的一元一次方程；

（3）解方程求出a的取值；

（4）根据求出的a值写出函数表达式.

例1　一个二次函数的图象经过点（0，1），它的顶点坐标为求这个二次函数的表达式.

【探索思路】已知顶点坐标与图象经过的一个点，利用顶点式更简便.

【解】设这个二次函数的表达式是，

把代入，

得

再把代入上式，得

，解得 .

所以所求的二次函数的表达式是.

即.

探究二：用一般式（三点式）法求二次函数的表达式.

教师继续带领学生进一步观察以上表格，你能根据表格中二次函数（a≠0）的图象上点的横坐标x，纵坐标y的一部分对应值，求出二次函数（a≠0）的表达式吗？

学生：取任意三组对应值，把这三组值分别代入到一般式中，就可以求出a, b, c的值，从而确定二次函数的表达式.

（学生独立完成探究，老师点评）

【解】设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c.

把(-2，-4)、(0,-4)、（2，0）代入，

得 解得 

所以该函数的表达式为y＝x2＋x-4.

师生一起总结一般式（三点式）法求二次函数表达式的方法.

步骤：（1）设：设函数表达式为

（2）代：选择三组对应的x，y的值代入，得到一个三元一次方程组；

（3）解：解方程组，求出a，b，c的取值；

（4）写：根据求出的a，b，c的取值写出函数表达式.

例2　一个二次函数的图象经过、 、（3，10）三点，求这个二次函数的表达式.

【解】设所求二次函数的表达式为

把、 、（3，10）分别代入

得

解得

所以所求的二次函数的表达式是.

探究三：用交点式求二次函数的表达式.

教师继续带领学生进一步观察以上表格，引导学生发现新的信息.

教师：继续认真观察以上表格，你还有哪些发现？

学生：抛物线与x轴的交点坐标是（-4，0）和（2，0）.

教师：我们还可以运用什么方法求得二次函数的表达式？

（学生独立完成探究，老师点评）

【解】设抛物线的表达式为.

∵ 抛物线与x轴的交点坐标是（-4，0）和（2，0），

∴

再把（0，4）代入，得

∴ 该函数的表达式为y＝（x+4）（x2）.

师生一起总结用交点式求二次函数的表达式的方法.

步骤：（1）设函数表达式为y＝a（xx1）（xx2）；

（2）抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1和x2，代入得到关于a、x、y的方程；

（3）将抛物线上另一点的坐标代入，解方程求出a的取值；

（4）根据求出的a值写出函数表达式.

课堂小结

布置作业

教材第23页练习第1，2，3题.

板书设计

26.2　二次函数的图象与性质

3. 求二次函数的表达式

用待定系数法求二次函数表达式的三种常见设法(其中，a≠0，x 1、x 2分别是抛物线与x轴的交点横坐标)：

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；

(2)顶点式：y＝a(x-h)2＋k；

(3)交点式：y＝a(x-x1 )( x-x2 )．