数学九年级下册26.3 实践与探索优秀ppt课件

教学目标

1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.

2.能运用二次函数的图象与性质确定方程的解.

3.了解用图象法求一元二次方程的近似根．

教学重难点

重点：理解方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

难点：二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程根的个数之间的关系.

教学过程

导入新课

【问题】如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h (单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h＝20t-5t2.

（1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要飞行多长时间？

（2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要飞行多长时间？

（3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？

（4）小球从飞出到落地要用多长时间？

师生活动：教师引导学生将以上实际问题转化为数学问题，学生小组讨论后发现以上问题都可以转化为方程解决.通过师生共同讨论，发现知道二次函数的函数值求自变量的取值，就相当于解一个一元二次方程.

问题（1）转化为解一元二次方程15＝20t-5t2.

【活动】（师生互动）通过解方程，得到两个解，t1＝1，t2＝3，

所以当小球飞行1 s或3 s时，它的飞行高度为15 m.

问题（2）转化为解一元二次方程20＝20t-5t2.

【活动】（师生互动）通过解方程，得到两个解，t1＝t2＝2，所以当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m.

教师：为什么只在一个时间小球的高度为20 m？

学生：讨论得出，此时小球到达了最高点.

问题（3）转化为解一元二次方程20.5＝20t-5t2.

【活动】（师生互动）通过解方程发现此方程无解，所以小球飞行高

度不可能到达20.5 m.教师通过上一题的结论，进一步引导学生从实际问

题的角度思考为什么方程无解，原因是小球飞行的最大高度为20 m，小于20.5 m.

问题（4）转化为解一元二次方程0＝20t-5t2.

【活动】（师生互动）通过解方程，得到两个解，t1＝0，t2＝4，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面.所以小球从飞出到落到地面用了4 s.

探究新知

探究一：二次函数与一元二次方程的关系

【思考】下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数值是多少?由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗?

(1)y＝x2-x+1;(2)y＝x2-6x+9; (3)y＝x2+x-2.

【活动】（师生互动）教师带领学生观察函数图象，得到函数图象与x轴交点的纵坐标为0，反过来，要求函数图象与x轴交点的横坐标，就是求当函数值为0时的自变量取值.学生独立完成下列表格后，小组内交流.

观察图象，完成下表：

【活动】（师生互动）通过以上探究，教师引导学生发现二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点个数，由b2-4ac的取值情况决定.

教师引导学生完善下表：

【归纳总结】通过本探究活动，引导学生建立二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点情况、方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的情况、b2-4ac的取值三者之间的对应关系.

例1　已知二次函数y＝x2-(a-1)x＋a-2，其中a是常数．

(1)求证：不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点.

(2)当a＝4时，该二次函数图象的顶点为A，与x轴交于B，D两点，与y轴交于C点，求四边形ABCD的面积．

【探索思路】教师提问：要证明二次函数的图象与x轴一定有公共点，可以转化为一元二次方程根的判断，如何转化？如何求四边形ABCD的面积？学生回答：要判断二次函数的图象与x轴的交点情况，只需要将二次函数转化为一元二次方程，然后判断方程的根的判别式的情况即可．要求四边形的面积，可利用x轴，将一个四边形分成两个三角形后分别求面积再相加.

(1) 【证明】y＝x2-(a-1)x＋a-2.

∵ Δ＝[-(a-1)]2-4(a-2)＝(a-3)2≥0，

∴ 方程x2-(a-1)x＋a-2＝0有实数根，

∴ 不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点．

(2) 【解】由题意可知，当a＝4时，y＝x2-3x＋2.

∵ y＝x2-3x＋2＝- ，∴ A.

当y＝0时，x2-3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，

∴ B(1,0)，D(2,0)．

当x＝0时，y＝2，∴ C(0,2)．

∴ S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝＋1＝.

【总结】将二次函数表达式化为一般式，求出Δ＝b2-4ac的取值，运用Δ的取值，判断函数图象与x轴的交点个数.

探究二：运用二次函数图象，求一元二次方程的近似解

例2　利用函数图象求方程x2-2x-2＝0的实数根（结果保留小数点后

一位）.

【探索思路】（教师引导学生思考）根据上面的探究可以得到，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标．反过来，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根.因此用函数图象求一元二次方程的解，需要先画出二次函数的图象.

【解】画出函数y＝x2-2x-2的图象，如图所示.

通过观察图象发现，它与x轴交点的横坐标大约是-0.7和2.7，所以方程x2-2x-2＝0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7.

【总结】我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，所以由图象求得的根，一般是近似的．

探究三：二次函数与一元二次不等式的关系

【活动】（师生互动）

教师：如上图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标分别为（x1,0）和（x2,0）,且x1<x2，你能根据图象求出不等式ax2＋bx＋c>0和不等式ax2＋bx＋c<0的解集吗？

学生：观察图象、独立思考、小组内交流讨论：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴上方的点对应的x的值组成不等式ax2＋bx＋c>0的解集，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方的点对应的x的值组成不等式ax2＋bx＋c<0的解集.

例3　画出函数的图象，根据图象回答下列问题.

（1）图象与x轴、y轴交点的坐标是什么？

（2）当x取何值时，y=0?这里x的取值与方程x=0有什么关系？（3）当x取什么值时，函数值y0？当x取什么值时，函数值y0？

【方法】引导学生利用数形结合的思想，观察分析，总结规律.

【分析】因为轴上的点的纵坐标为，所以二次函数的图象与轴的交点即图象上纵坐标为的点，它的横坐标也就是方程的根，也就是说，当取或时，.这里的值就是方程的根.因为轴上的点横坐标为，所以这个函数图象与轴的交点横坐标为0，即时，求出的的值就是图象与轴交点的纵坐标.这个函数图象在轴上方的点的纵坐标都为正，所以当或时，y0；同理，当时，y0.

【解】（1）如图所示，图象与x轴的交点坐标为、，与ｙ轴的交点坐标为.

（2）当x＝或x＝时，y=0, 的取值与方程 =0的解相同.

（3）当或时，y0；当时，y0.

课堂小结：(学生总结，老师点评)

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．

2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标为(x0，0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．

3．二次函数与一元二次方程的联系：

4.二次函数与不等式的关系：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴上方的点对应的x的值组成不等式ax2＋bx＋c>0的解集.

布置作业

教材第28页第二个练习第1，2题，第30页习题26.3第3，4题.

板书设计

　26.3　实践与探索

第3课时　二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系

二次函数与一元二次方程的联系：

二次函数与一元二次不等式的关系：

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解.