第五讲 分式方程及其应用-最新备战中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

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第五讲  分式方程及其应用 命题点1 分式方程的解法类型一 分式方程的解法1．（2021•德州）分式方程﹣1＝的解为（　　）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣1 D．无解【解答】解：去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．故选：D．2．（2021•哈尔滨）方程＝的解为（　　）A．x＝5 B．x＝3 C．x＝1 D．x＝2【解答】解：去分母得：3x﹣1＝2（2+x），去括号得：3x﹣1＝4+2x，移项合并得：x＝5，检验：当x＝5时，（2+x）•（3x﹣1）≠0，∴分式方程的解为x＝5．故选：A．3．（2021•陕西）解方程：﹣＝1．【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：（x﹣1）2﹣3＝（x+1）（x﹣1），解得x＝﹣，检验：当x＝﹣时，（x+1）（x﹣1）≠0，所以x＝﹣是原方程的解． 类型二 分式方程解的应用4．（2021•张家界）若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为（　　）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵关于x的分式方程＝1的解为x＝2，∴x＝m﹣2＝2，解得：m＝4．故选：B．5．（2021•黑龙江）已知关于x的分式方程＝1的解为非负数，则m的取值范围是（　　）A．m≥﹣4 B．m≥﹣4且m≠﹣3 C．m＞﹣4   D．m＞﹣4且m≠﹣3【解答】解：根据题意解分式方程，得x＝，∵2x﹣1≠0，∴x≠，即≠，解得m≠﹣3，∵x≥0，∴≥0，解得m≥﹣4，综上，m的取值范围是m≥﹣4且m≠﹣3，故选：B．6．（2021•齐齐哈尔）若关于x的分式方程+2的解为正数，则m的取值范围是 　．【解答】解：去分母，得：3x＝﹣m+2（x﹣1），去括号，移项，合并同类项，得：x＝﹣m﹣2．∵关于x的分式方程+2的解为正数，∴﹣m﹣2＞0．又∵x﹣1≠0，∴x≠1．∴﹣m﹣2≠1．∴，解得：m＜﹣2且m≠﹣3．故答案为：m＜﹣2且m≠﹣3．命题点二 分式方程的实际应用类型一 工程问题7．（2021•衡阳）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树 　　棵．【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，依题意得：﹣＝3，解得：x＝400，经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，∴（1+25%）x＝500．故答案为：500．8．（2021•丹东）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？【解答】解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，列方程得：，解得：x＝80．经检验x＝80是所列方程的根，所以80﹣20＝60．答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米． 类型二 生产问题9．（2021•泰安）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？【解答】解：（1）设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：，解得：x＝30，经检验：x＝30是原分式方程的解，且符合题意，∴当前参加生产的工人有30人；（2）每人每小时完成的数量为：16÷8÷40＝0.05（万剂），设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：4×15+（30+10）×10×0.05y＝760，解得：y＝35，35+4＝39（天），∴该厂共需要39天才能完成任务．类型三 行程问题10．（2021•山西）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．【解答】解：设走路线一到达太原机场需要x分钟．根据题意，得．解得x＝25．经检验，x＝25是原方程的解且符合实际．答：走路线一到达太原机场需要25分钟．类型四 购买、销售问题11．（2021•济南）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【解答】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，依题意得：﹣＝50，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，则2x＝8，答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为4元．（2）设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，依题意得：8m+4（200﹣m）≤1150，解得：m≤87.5，答：最多购进87个甲种粽子．12．（2021•朝阳）为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进价多25元，用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，求：每个篮球和足球的进价各多少元？【解答】解：设每个足球的进价是x元，则每个篮球的进价是（x+25）元，依题意得：＝2×，解得：x＝75，经检验，x＝75是原方程的解，且符合题意，∴x+25＝75+25＝100．答：每个足球的进价是75元，每个篮球的进价是100元．13．（2021•云南）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五•一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．【解答】解：设每间B客房租金为x元，则每间A客房租金为（x+40）元，根据题意可得：，解得：x＝160，经检验：x＝160是原分式方程的解，且符合实际，160+40＝200元，∴每间A客房租金为200元，每间B客房租金为160元．