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第九讲 一次函数-最新备战中考数学第一轮复习分点透练真题(全国通用)
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这是一份第九讲 一次函数-最新备战中考数学第一轮复习分点透练真题(全国通用),文件包含第九讲一次函数解析版docx、第九讲一次函数原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共40页, 欢迎下载使用。
第九讲 一次函数
命题点1 一次函数的图像与性质
类型一 与图像有关的判定
1.(2020•荆州)在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解答】解:一次函数y=x+1中,令x=0,则y=1;令y=0,则x=﹣1,
∴一次函数y=x+1的图象经过点(0,1)和(﹣1,0),
∴一次函数y=x+1的图象经过一、二、三象限,
故选:C.
2.(2021•柳州)若一次函数y=kx+b的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.k>0 B.b=2
C.y随x的增大而增大 D.x=3时,y=0
【答案】B
【解答】解:观察一次函数图象发现,图象过第一、二、四象限,
∴k<0,A错误;
∴函数值y随x的增大而减小,C错误;
∵图象与y轴的交点为(0,2)
∴b=2,B正确;
∵图象与x轴的交点为(4,0)
∴x=4时,y=0,D错误.
故选:B.
类型二 一次函数解析式与象限的关系
3.(2020•广安)一次函数y=﹣x﹣7的图象不经过的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解答】解:∵k=﹣1<0,b=﹣7<0,
∴一次函数y=﹣x﹣7的图象经过第二、三、四象限,
∴一次函数y=﹣x﹣7的图象不经过第一象限.
故选:A.
4.(2020•牡丹江)已知一次函数y=(2m﹣3)x+3n+1的图象经过一、二、三象限,则m、n的取值是( )
A.m>3,n>3 B.m>,n>﹣ C.m<,n< D.m>,n<
【答案】B
【解答】解:∵一次函数y=(2m﹣3)x+3n+1的图象经过一、二、三象限,
∴,
解得:m>,n>﹣,
故选:B.
5.(2021•上海)已知函数y=kx经过二、四象限,且函数不经过(﹣1,1),请写出一个符合条件的函数解析式 .
【答案】y=﹣2x
【解答】解:∵函数y=kx经过二、四象限,
∴k<0.
若函数y=kx经过(﹣1,1),则1=﹣k,即k=﹣1,
故函数y=kx经过二、四象限,且函数不经过(﹣1,1)时,k<0且k≠﹣1,
∴函数解析式为y=﹣2x,
故答案为y=﹣2x.
类型三 与一次函数增减性、最值有关的问题
6.(2021•苏州)已知点A(,m),B(,n)在一次函数y=2x+1的图象上,则m与n的大小关系是( )
A.m>n B.m=n C.m<n D.无法确定
【答案】C
【解答】解:∵点A(,m),B(,n)在一次函数y=2x+1的图象上,
∴m=2+1,n=2×+1=3+1=4,
∵2+1<4,
∴m<n,
故选:C.
7.(2020•安徽)已知一次函数y=kx+3的图象经过点A,且y随x的增大而减小,则点A的坐标可以是( )
A.(﹣1,2) B.(1,﹣2) C.(2,3) D.(3,4)
【答案】B
【解答】解:A、当点A的坐标为(﹣1,2)时,﹣k+3=2,
解得:k=1>0,
∴y随x的增大而增大,选项A不符合题意;
B、当点A的坐标为(1,﹣2)时,k+3=﹣2,
解得:k=﹣5<0,
∴y随x的增大而减小,选项B符合题意;
C、当点A的坐标为(2,3)时,2k+3=3,
解得:k=0,选项C不符合题意;
D、当点A的坐标为(3,4)时,3k+3=4,
解得:k=>0,
∴y随x的增大而增大,选项D不符合题意.
故选:B.
8.(2020•湖北)对于一次函数y=x+2,下列说法不正确的是( )
A.图象经过点(1,3)
B.图象与x轴交于点(﹣2,0)
C.图象不经过第四象限
D.当x>2时,y<4
【答案】D
【解答】解:∵一次函数y=x+2,
∴当x=1时,y=3,
∴图象经过点(1,3),故选项A正确;
令y=0,解得x=﹣2,
∴图象与x轴交于点(﹣2,0),故选项B正确;
∵k=1>0,b=2>0,
∴不经过第四象限,故选项C正确;
∵k=1>0,
∴函数值y随x的增大而增大,
当x=2时,y=4,
∴当x>2时,y>4,故选项D不正确,
故选:D.
9.(2021•成都)在正比例函数y=kx中,y的值随着x值的增大而增大,则点P(3,k)在第 象限.
【答案】一
【解答】解:∵在正比例函数y=kx中,y的值随着x值的增大而增大,
∴k>0,
∴点P(3,k)在第一象限.
故答案为:一.
类型四 一次函数图像的交点问题
10.(2020•陕西)在平面直角坐标系中,O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y=﹣2x交于点A、B,则△AOB的面积为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】B
【解答】解:在y=x+3中,令y=0,得x=﹣3,
解得,,
∴A(﹣3,0),B(﹣1,2),
∴△AOB的面积=3×2=3,
故选:B.
11.(2012•黔南州)如图,直线AB对应的函数表达式是( )
A.y=﹣x+3 B.y=x+3 C.y=﹣x+3 D.y=x+3
【答案】A
【解答】解:设直线AB对应的函数表达式是y=kx+b,
把A(0,3),B(2,0)代入,
得,
解得,
故直线AB对应的函数表达式是y=﹣x+3.
故选:A.
12.(2021•贵阳)小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题.现有7条不同的直线y=knx+bn(n=1,2,3,4,5,6,7),其中k1=k2,b3=b4=b5,则他探究这7条直线的交点个数最多是( )
A.17个 B.18个 C.19个 D.21个
【答案】B
【解答】解:∵k1=k2,b3=b4=b5,
∴直线y=knx+bn(n=1,2,3,4,5)中,
直线y=k1x+b1与y=k2x+b2无交点,y=k3x+b3与y=k4x+b4与y=k5x+b5有1个交点,
∴直线y=knx+bn(n=1,2,3,4,5)最多有交点2×3+1=7个,
第6条线与前5条线最多有5个交点,
第7条线与前6条线最多有6个交点,
∴交点个数最多为7+5+6=18.
故选:B.
13.(2014•宜宾)如图,过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B,则这个一次函数的解析式是( )
A.y=2x+3 B.y=x﹣3 C.y=2x﹣3 D.y=﹣x+3
【答案】D
【解答】解:∵B点在正比例函数y=2x的图象上,横坐标为1,
∴y=2×1=2,
∴B(1,2),
设一次函数解析式为:y=kx+b,
∵一次函数的图象过点A(0,3),与正比例函数y=2x的图象相交于点B(1,2),
∴可得出方程组 ,
解得 ,
则这个一次函数的解析式为y=﹣x+3,
故选:D.
14.(2020•南通)如图,直线l1:y=x+3与过点A(3,0)的直线l2交于点C(1,m),与x轴交于点B.
(1)求直线l2的解析式;
(2)点M在直线l1上,MN∥y轴,交直线l2于点N,若MN=AB,求点M的坐标.
【答案】(1) y=﹣2x+6 (2)M(3,6)或(﹣1,2)
【解答】解:(1)把x=1代入y=x+3得y=4,
∴C(1,4),
设直线l2的解析式为y=kx+b,
∴,解得,
∴直线l2的解析式为y=﹣2x+6;
(2)在y=x+3中,令y=0,得x=﹣3,
∴B(﹣3,0),
∴AB=3﹣(﹣3)=6,
设M(a,a+3),由MN∥y轴,得N(a,﹣2a+6),
MN=|a+3﹣(﹣2a+6)|=AB=6,
解得a=3或a=﹣1,
∴M(3,6)或(﹣1,2).
命题点2 一次函数图像的平移、旋转与对称
15.(2021•嘉峪关)将直线y=5x向下平移2个单位长度,所得直线的表达式为( )
A.y=5x﹣2 B.y=5x+2 C.y=5(x+2) D.y=5(x﹣2)
【答案】A
【解答】解:将直线y=5x向下平移2个单位长度,所得的函数解析式为y=5x﹣2.
故选:A.
16.(2021•陕西)在平面直角坐标系中,若将一次函数y=2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后,得到一个正比例函数的图象,则m的值为( )
A.﹣5 B.5 C.﹣6 D.6
【答案】A
【解答】解:将一次函数y=2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后,得到y=2(x+3)+m﹣1,
把(0,0)代入,得到:0=6+m﹣1,
解得m=﹣5.
故选:A.
17.(2021•黄石)将直线y=﹣x+1向左平移m(m>0)个单位后,经过点(1,﹣3),则m的值为 .
【答案】3
【解答】解:将直线y=﹣x+1向左平移m(m>0)个单位后所得直线为:y=﹣(x+m)+1.
将点(1,﹣3)代入,得﹣3=﹣1+1﹣m.
解得m=3.
故答案是:3.
18.(2020•南京)将一次函数y=﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°,所得到的图象对应的函数表达式是 .
【答案】 y=x+2
【解答】解:在一次函数y=﹣2x+4中,令x=0,则y=4,令y=0,则x=2,
∴直线y=﹣2x+4经过点(0,4),(2,0)
将一次函数y=﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°,则点(0,4)的对应点为(﹣4,0),(2,0)的对应点是(0,2)
设对应的函数解析式为:y=kx+b,
将点(﹣4,0)、(0,2)代入得,解得,
∴旋转后对应的函数解析式为:y=x+2,
故答案为y=x+2.
命题点3 一次函数与方程、不等式结合
类型一 一次函数与方程(组)的关系
19.(2021•贺州)直线y=ax+b(a≠0)过点A(0,1),B(2,0),则关于x的方程ax+b=0的解为( )
A.x=0 B.x=1 C.x=2 D.x=3
【答案】C
【解答】解:方程ax+b=0的解,即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标,
∵直线y=ax+b过B(2,0),
∴方程ax+b=0的解是x=2,
故选:C.
20.(2021•梧州)如图,在同一平面直角坐标系中,直线l1:y=x+与直线l2:y=kx+3相交于点A,则方程组的解为 .
【答案】
【解答】解:∵直线l1:y=x+与直线l2:y=kx+3相交于点A(2,1),
∴关于x、y的方程组的解为,
故答案为:.
类型二 一次函数与不等式(组)的关系
21.(2021•鄂州)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=2x﹣1与直线y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3).根据图象可知,关于x的不等式2x﹣1>kx+b的解集是( )
A.x<2 B.x<3 C.x>2 D.x>3
【答案】C
【解答】解:根据图象可得:不等式2x﹣1>kx+b的解集为:x>2,
故选:C.
22.(2020•乐山)直线y=kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示,则不等式kx+b≤2的解集是( )
A.x≤﹣2 B.x≤﹣4 C.x≥﹣2 D.x≥﹣4
【答案】C
【解答】解:∵直线y=kx+b与x轴交于点(2,0),与y轴交于点(0,1),
∴,解得
∴直线为y=﹣+1,
当y=2时,2=﹣+1,解得x=﹣2,
由图象可知:不等式kx+b≤2的解集是x≥﹣2,
故选:C.
23.(2021•娄底)如图,直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点A(﹣4,0),点B(2,0),则解集为( )
A.﹣4<x<2 B.x<﹣4 C.x>2 D.x<﹣4或x>2
【答案】A
【解答】解:∵当x>﹣4时,y=x+b>0,
当x<2时,y=kx+4>0,
∴解集为﹣4<x<2,
故选:A.
命题点4 一次函数与几何图形结合
24.(2021•重庆)在初中阶段的函数学习中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合图象研究函数性质及其应用的过程.以下是我们研究函数y=的性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题.
(1)请把下表补充完整,并在给出的图中补全该函数的大致图象;
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y=
…
﹣
﹣
﹣
0
4
0
﹣
﹣
﹣
…
(2)请根据这个函数的图象,写出该函数的―条性质;
(3)已知函数y=﹣x+3的图象如图所示.根据函数图象,直接写出不等式﹣x+3>的解集.(近似值保留一位小数,误差不超过0.2)
【答案】(1)略 (2) 略 (3)x<﹣0.3或1<x<2.
【解答】解:(1)把下表补充完整如下:
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y=
…
﹣
﹣
﹣
0
4
0
﹣
﹣
…
函数y=的图象如图所示:
(2)①该函数图象是轴对称图形,对称轴是y轴;
②该函数在自变量的取值范围内,有最大值,当x=0时,函数取得最大值4;
③当x<0时,y随x的增大而增大:当x>0时,y随x的增大而减小(以上三条性质写出一条即可);
(3)由图象可知,不等式﹣x+3>的解集为x<﹣0.3或1<x<2.
25.(2020•广西)如图1,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+1与直线l2:x=﹣2相交于点D,点A是直线l2上的动点,过点A作AB⊥l1于点B,点C的坐标为(0,3),连接AC,BC.设点A的纵坐标为t,△ABC的面积为s.
(1)当t=2时,请直接写出点B的坐标;
(2)s关于t的函数解析式为s=,其图象如图2所示,结合图1、2的信息,求出a与b的值;
(3)在l2上是否存在点A,使得△ABC是直角三角形?若存在,请求出此时点A的坐标和△ABC的面积;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)B(﹣,) (2)a=﹣ (3)①A(﹣2,1),S△ABC=②A(﹣2,3),S△ABC=2.
【解答】解:(1)解法一:如图1,连接AG,
当t=2时,A(﹣2,2),
设B(x,x+1),
在y=x+1中,当x=0时,y=1,
∴G(0,1),
∵AB⊥l1,
∴∠ABG=90°,
∴AB2+BG2=AG2,
即(x+2)2+(x+1﹣2)2+x2+(x+1﹣1)2=(﹣2)2+(2﹣1)2,
解得:x1=0(舍),x2=﹣,
∴B(﹣,);
解法二:如图1﹣1,过点B作BE⊥x轴于E,过点A作AH⊥BE于H,
当x=0时,y=1,当y=0时,x+1=0,则x=﹣1,
∴OF=OG=1,
∵∠GOF=90°,
∴∠OGF=∠OFG=45°,
∴BE=EF,
∵∠ABD=90°,
∴∠ABH=∠BAH=45°,
∴△ABH是等腰直角三角形,
∴AH=BH,
当t=2时,A(﹣2,2),
设B(x,x+1),
∴x+2=2﹣(x+1),
∴x=﹣,
∴B(﹣,);
(2)如图2可知:当t=7时,s=4,
把(7,4)代入s=中得:+7b﹣=4,
解得:b=﹣1,
如图3,过B作BH∥y轴,交AC于H,
由(1)知:当t=2时,A(﹣2,2),B(﹣,),
∵C(0,3),
设AC的解析式为:y=kx+n,
则,解得,
∴AC的解析式为:y=x+3,
∴H(﹣,),
∴BH=﹣=,
∴s===,
把(2,)代入s=a(t+1)(t﹣5)得:a(2+1)(2﹣5)=,
解得:a=﹣;
(3)存在,设B(x,x+1),
分两种情况:
①当∠CAB=90°时,如图4,
∵AB⊥l1,
∴AC∥l1,
∵l1:y=x+1,C(0,3),
∴AC:y=x+3,
∴A(﹣2,1),
∵D(﹣2,﹣1),
在Rt△ABD中,AB2+BD2=AD2,
即(x+2)2+(x+1﹣1)2+(x+2)2+(x+1+1)2=22,
解得:x1=﹣1,x2=﹣2(舍),
∴B(﹣1,0),即B在x轴上,
∴AB==,AC==2,
∴S△ABC===2;
②当∠ACB=90°时,如图5,
∵∠ABD=90°,∠ADB=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴AB=BD,
∵A(﹣2,t),D(﹣2,﹣1),
∴(x+2)2+(x+1﹣t)2=(x+2)2+(x+1+1)2,
(x+1﹣t)2=(x+2)2,
x+1﹣t=x+2或x+1﹣t=﹣x﹣2,
解得:t=﹣1(舍)或t=2x+3,
Rt△ACB中,AC2+BC2=AB2,
即(﹣2)2+(t﹣3)2+x2+(x+1﹣3)2=(x+2)2+(x+1﹣t)2,
把t=2x+3代入得:x2﹣3x=0,
解得:x=0或3,
当x=3时,如图5,则t=2×3+3=9,
∴A(﹣2,9),B(3,4),
∴AC==2,BC==,
∴S△ABC===10;
当x=0时,如图6,
此时,A(﹣2,3),AC=2,BC=2,
∴S△ABC===2.
命题点5 一次函数的实际应用
类型一 行程问题
26.(2021•陕西)某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地,1小时后,这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地.货车A、货车B距甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的关系如图所示.
(1)求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式;
(2)求货车B到乙地后,货车A还需多长时间到达甲地.
【答案】(1)y=60x﹣60(1≤x≤5) (2)1小时
【解答】解:(1)设货车B距甲地的距离y与时间x的关系式为y=kx+b,
根据题意得:
,
解得,
∴货车B距甲地的距离y与时间x的关系式为y=60x﹣60(1≤x≤5);
(2)当x=3时,y=60×3﹣60=120,
故货车A的速度为:(240﹣120)÷3=40(km/h),
货车A到达甲地所需时间为:240÷40=6(小时),
6﹣5=1(小时),
答:货车B到乙地后,货车A还需1小时到达甲地.
27.(2021•兰州)小军到某景区游玩,他从景区入口处步行到达小憩屋,休息片刻后继续前行,此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点,如图,l1,l2分别表示小军与观光车所行的路程y(m)与时间x(min)之间的关系.根据图象解决下列问题:
(1)观光车出发 6 分钟追上小军;
(2)求l2所在直线对应的函数表达式;
(3)观光车比小军早几分钟到达观景点?请说明理由.
【答案】(1)6 (2)y=300x﹣4500(15≤x≤25)(3)早8分钟
【解答】解:(1)由图象可知,观光车出发:21﹣15=6(分钟),追上小军;
故答案为:6;
(2)设l2所在直线对应的函数表达式为y=kx+b,
则,
解得,
15+3000÷300=25(min),
∴l2所在直线对应的函数表达式为y=300x﹣4500(15≤x≤25);
(3)33﹣25=8(min),
故观光车比小军早8分钟到达观景点.
28.(2021•牡丹江)在一条笔直的道路上依次有A,B,C三地,男男从A地跑步到C地,同时乐乐从B地跑步到A地,休息1分钟后接到通知,要求乐乐比男男早1分钟到达C地,两人均匀速运动,如图是男男跑步时间t(分钟)与两人距A地路程s(米)之间的函数图象.
(1)a= ,乐乐去A地的速度为 ;
(2)结合图象,求出乐乐从A地到C地的函数解析式(写出自变量的取值范围);
(3)请直接写出两人距B地的距离相等的时间.
【答案】(1) 2,200米/分钟 (2)s=300t﹣900(3<t≤7)
(3)分钟或分钟或6分钟
【解答】解:(1)由函数图象得B地跑步到A地的路程是400米,
∵乐乐从B地跑步到A地,休息1分钟后接到通知,
∴a=3﹣1=2,
∴乐乐去A地的速度为:400÷2=200(米/分钟),
故答案为:2,200米/分钟;
(2)设FG的解析式为:s=kt+b(k≠0),
∵s=kt+b(k≠0)的图象过点F(3,0)、G(7,1200),
∴,
解得:,
∴FG的解析式为:s=300t﹣900(3<t≤7),
即乐乐从A地到C地的函数解析式:s=300t﹣900(3<t≤7);
(3)设OH的解析式为:s=kt(k≠0),
∵s=kt(k≠0)的图象过点H(8,1200),
∴1200=8k,解得:k=150,
∴OH的解析式为:s=150t(0≤t≤8),
即男男从A地到C地的函数解析式:s=150t,
①0≤t≤2时,
200t=400﹣150t,
解得:t=;
②2<t≤3时,
400=150t﹣400,
解得:t=>3,舍去;
③3<t≤7时,
400﹣(300t﹣900)=150t﹣400或(300t﹣900)﹣400=150t﹣400,
解得:t=或t=6,
综上,两人距B地的距离相等的时间为分钟或分钟或6分钟.
29.(2021•陕西)在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中,“鼠”先从起点出发,1min后,“猫”从同一起点出发去追“鼠”,抓住“鼠”并稍作停留后,“猫”抓着“鼠”沿原路返回.“鼠”、“猫”距起点的距离y(m)与时间x(min)之间的关系如图所示.
(1)在“猫”追“鼠”的过程中,“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 m/min;
(2)求AB的函数表达式;
(3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间.
【答案】(1)1 (2)分钟或分钟或6分钟 (3)13.5min
【解答】解:(1)由图象知:“鼠”6min跑了30m,
∴“鼠”的速度为:30÷6=5(m/min),
“猫”5min跑了30m,
∴“猫”的速度为:30÷5=6(m/min),
∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1(m/min),
故答案为:1;
(2)设AB的解析式为:y=kx+b,
∵图象经过A(7,30)和B(10,18),
把点A和点B坐标代入函数解析式得:
,
解得:,
∴AB的解析式为:y=﹣4x+58;
(3)令y=0,则﹣4x+58=0,
∴x=14.5,
∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发,
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5﹣1=13.5(min).
答:“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为13.5min.
类型二 方案问题
考向1 方案设计问题
30.(2021•西宁)城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片.“五四”期间,西宁市某集团校计划组织乡村学校初二年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生日”.现需租用A,B两种型号的客车共10辆,两种型号客车的载客量(不包括司机)和租金信息如表:
型号
载客量(人/辆)
租金单价(元/辆)
A
16
900
B
22
1200
若设租用A型客车x辆,租车总费用为y元.
(1)请写出y与x的函数关系式(不要求写自变量取值范围);
(2)据资金预算,本次租车总费用不超过11800元,则A型客车至少需租几辆?
(3)在(2)的条件下,要保证全体师生都有座位,问有哪几种租车方案?请选出最省钱的租车方案.
【答案】(1)y=﹣300x+12000 (2)至少需租1辆 (3)最省钱的租车方案是A型客车租3辆,B型客车租7辆
【解答】解:(1)y=900x+1200(10﹣x)=﹣300x+12000,
∴y=﹣300x+12000;
(2)根据题意,得﹣300x+12000≤11800,
解得:x≥,
∵x应为正整数,
∴x≥1,
∴A型客车至少需租1辆;
(3)根据题意,得16x+22(10﹣x)≥200,
解得x≤,
结合(2)的条件,≤x≤,
∵x应为正整数,
∴x取1,2,3,
∴租车方案有3种,
方案一:A型客车租1辆,B型客车租9辆;
方案二:A型客车租2辆,B型客车租8辆;
方案三:A型客车租3辆,B型客车租7辆;
∵y=﹣300x+12000,k<0,
∴y随x的增大而减小,
∴当x=3时,函数值y最小,
∴最省钱的租车方案是A型客车租3辆,B型客车租7辆.
31.(2021•南通)A,B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品.暑假期间两家超市都进行促销活动,促销方式如下:
A超市:一次购物不超过300元的打9折,超过300元后的价格部分打7折;
B超市:一次购物不超过100元的按原价,超过100元后的价格部分打8折.
例如,一次购物的商品原价为500元,
去A超市的购物金额为:300×0.9+(500﹣300)×0.7=410(元);
去B超市的购物金额为:100+(500﹣100)×0.8=420(元).
(1)设商品原价为x元,购物金额为y元,分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式;
(2)促销期间,若小刚一次购物的商品原价超过200元,他去哪家超市购物更省钱?请说明理由.
【答案】(1)
(2)当200<x<400到B超市更省钱;当x=400时,两家超市一样;当x>400时,到A超市更省钱
【解答】解:(1)由题意可得,当x≤300时,yA=0.9x;当x>300时,yA=0.9×300+0.7(x﹣300)=0.7x+60,
故;
当x>100时,yB=100+0.8(x﹣100)=0.8x+20;
;
(2)由题意,得0.9x>0.8x+20,解得x>200,
∴200<x≤300时,到B超市更省钱;
0.7x+60>0.8x+20,解得x<400,
∴300<x<400,到B超市更省钱;
0.7x+60=0.8x+20,解得x=400,
∴当x=400时,两家超市一样;
0.7x+60<0.8x+20,解得x>400,
∴当x>400时,到A超市更省钱;
综上所述,当200<x<400到B超市更省钱;当x=400时,两家超市一样;当x>400时,到A超市更省钱.
32.(2021•河南)猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色,猕猴玩偶非常畅销.小李在某网店选中A,B两款猕猴玩偶,决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如下表:
类别
价格
A款玩偶
B款玩偶
进货价(元/个)
40
30
销售价(元/个)
56
45
(1)第一次小李用1100元购进了A,B两款玩偶共30个,求两款玩偶各购进多少个.
(2)第二次小李进货时,网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.小李计划购进两款玩偶共30个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少?
(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案,并且两次购进的玩偶全部售出,请从利润率的角度分析,对于小李来说哪一次更合算?
(注:利润率=×100%)
【答案】(1) A款玩偶购进20个,B款玩偶购进10个 (2)A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润,最大利润是460元;
(3)第二次的进货方案更合算.
【解答】解:(1)设A款玩偶购进x个,B款玩偶购进(30﹣x)个,
由题意,得40x+30(30﹣x)=1100,
解得:x=20.
30﹣20=10(个).
答:A款玩偶购进20个,B款玩偶购进10个;
(2)设A款玩偶购进a个,B款玩偶购进(30﹣a)个,获利y元,
由题意,得y=(56﹣40)a+(45﹣30)(30﹣a)=a+450.
∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.
∴a≤(30﹣a),
∴a≤10,
∵y=a+450.
∴k=1>0,
∴y随a的增大而增大.
∴a=10时,y最大=460元.
∴B款玩偶为:30﹣10=20(个).
答:按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润,最大利润是460元;
(3)第一次的利润率=×100%≈42.7%,
第二次的利润率=×100%=46%,
∵46%>42.7%,
∴对于小李来说第二次的进货方案更合算.
考向2 方案选取问题
33.(2021•云南)某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案.
方案一:没有底薪,只付销售提成;
方案二:底薪加销售提成.
如图中的射线l1,射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一,方案二付给销售人员的工资y1(单位:元)和y2(单位:元)与其当月鲜花销售量x(单位:千克)(x≥0)的函数关系.
(1)分别求y1、y2与x的函数解析式(解析式也称表达式);
(2)若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克,但其3月份的工资超过2000元.这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资?
【答案】(1)y1=30x(x≥0);y2=10x+800(x≥0)
(2)方案一给这名销售人员付3月份的工资
【解答】解:(1)设y1=k1x,
根据题意得40k1=1200,
解得k1=30,
∴y1=30x(x≥0);
设y2=k2x+b,
根据题意,得,
解得,
∴y2=10x+800(x≥0);
(2)当x=70时,
y1=30×70=2100>2000;
y2=10×70+800=1500<2000;
∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资.
类型三 费用或利润最值问题
34.(2021•温州)某公司生产的一种营养品信息如表.已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍,用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克.
营养品信息表
营养成分
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
规格
每包食材含量
每包单价
A包装
1千克
45元
B包装
0.25千克
12元
(1)问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元?
(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完.
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克?
②已知每日其他费用为2000元,且生产的营养品当日全部售出.若A的数量不低于B的数量,则A为多少包时,每日所获总利润最大?最大总利润为多少元?
【答案】(1) 甲食材每千克进价为40元,乙食材每千克进价为20元;
(2) ①甲食材400千克,乙食材100千克
②当A为400包时,总利润最大,最大总利润为2800元
【解答】解:(1)设乙食材每千克进价为a元,则甲食材每千克进价为2a元,
由题意得,
解得a=20,
经检验,a=20是所列方程的根,且符合题意,
∴2a=40(元),
答:甲食材每千克进价为40元,乙食材每千克进价为20元;
(2)①设每日购进甲食材x千克,乙食材y千克,
由题意得,解得,
答:每日购进甲食材400千克,乙食材100千克;
②设A为m包,则B为=(2000﹣4m)包,
∵A的数量不低于B的数量,
∴m≥2000﹣4m,
∴m≥400,
设总利润为W元,根据题意得:
W=45m+12(2000﹣4m)﹣18000﹣2000=﹣3m+4000,
∵k=﹣3<0,
∴W随m的增大而减小,
∴当m=400时,W的最大值为2800,
答:当A为400包时,总利润最大,最大总利润为2800元.
其他类型
35.(2021•绍兴)Ⅰ号无人机从海拔10m处出发,以10m/min的速度匀速上升,Ⅱ号无人机从海拔30m处同时出发,以a(m/min)的速度匀速上升,经过5min两架无人机位于同一海拔高度b(m).无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的关系如图.两架无人机都上升了15min.
(1)求b的值及Ⅱ号无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的关系式;
(2)问无人机上升了多少时间,Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米.
【答案】(1) y=6x+30(0≤x≤15)
(2)上升12min,Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米
【解答】解:(1)b=10+10×5=60,
设函数的表达式为y=kx+t,
将(0,30)、(5,60)代入上式得,解得,
故函数表达式为y=6x+30(0≤x≤15);
(2)由题意得:(10x+10)﹣(6x+30)=28,
解得x=12<15,
故无人机上升12min,Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米.
36.(2021•大庆)如图①是甲,乙两个圆柱形水槽的横截面示意图,乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中(圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上),现将甲槽中的水匀速注入乙槽,甲,乙两个水槽中水的深度y(cm)与注水时间x(min)之间的关系如图②所示,根据图象解答下列问题:
(1)图②中折线EDC表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系;线段AB表示 甲 槽中水的深度与注水时间之间的关系;铁块的高度为 cm.
(2)注水多长时间,甲、乙两个水槽中水的深度相同?(请写出必要的计算过程)
【答案】(1) 乙,甲,16 (2)注水2分钟,甲、乙两个水槽的水深度相同
【解答】解:(1)由题意可知,乙槽在注入水的过程中,由于有圆柱铁块在内,所以水的高度出现变化,
∴EDC表示的是乙槽的水深与注水时间的关系;
∵甲槽的水是匀速外倒,
∴线段AB表示甲槽水深与注水时间的关系;
折线EDC中,在D点表示乙槽水深16cm,也就是铁块的高度16cm;
故答案为:乙,甲,16;
(2)由图象可知,两个水槽深度相同时,线段ED与线段AB相交,
设AB的解析式为y=kx+b,
将点(0,14),(7,0)代入,
得解得,,
∴y=﹣2x+14;
设ED的解析式为y=mx+n,
将点(0,4),(4,16)代入,
得,解得,
∴y=3x+4;
联立方程,
∴,
∴注水2分钟,甲、乙两个水槽的水深度相同.
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