数学-2022-2023学年八年级下学期开学摸底考试卷（浙江宁波专用）

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2022-2023学年八年级下学期开学摸底考试卷（浙江宁波专用）
数学
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）下列命题是真命题的是（    ）
A．同位角相等
B．两个锐角的和是锐角
C．若两个角的和为，则这两个角互补
D．相等的角是对顶角
【答案】C
【分析】根据平行线的性质，补角的定义，锐角的定义，对顶角的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、两个锐角的和可能是锐角、钝角，也可能是直角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、若两个角的和为，则这两个角互补，正确，是真命题，符合题意；
D、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，补角的定义，锐角的定义，对顶角的定义．
2．（2021春·福建福州·八年级校考期末）下列以数学家名字命名的图案中，不属于轴对称图形的是（    ）
A．笛卡尔心形线 B．谢尔斯宾斯三角
C．卡西尼卵形线 D．阿基米德螺线
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：，，选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（2022春·八年级单元测试）下列选项中是一元一次不等式组的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式组的定义即用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式组解答即可．
【详解】解：A、含有三个未知数，不符合题意；
B、未知数的最高次数是2，不符合题意；
C、含有两个未知数，不符合题意；
D、符合一元一次不等式组的定义，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题比较简单，考查的是一元一次不等式组的定义，只要熟练掌握一元一次不等式组的定义即可轻松解答．
4．（2022春·山东烟台·七年级期末）已知点和关于轴对称，则值为（    ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，便可求解．
【详解】解：点和关于x轴对称．
∴，，
解得：，，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查坐标点关于x轴和y轴对称的特点，关键在于理解两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，属于基础题 ．
5．（2022·全国·八年级专题练习）如图中表示一次函数与正比例函数（m、n是常数，）图象的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m和n的符号，即可进行解答．
【详解】解：A、由一次函数图象得：，由正比例函数图象得：，不符合题意；
B、由一次函数图象得：，由正比例函数图象得：，不符合题意；
C、由一次函数图象得：，由正比例函数图象得：，符合题意；
D、由一次函数图象得：，由正比例函数图象得：，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数图象与系数的关系．
6．（2022春·辽宁葫芦岛·八年级期中）已知：如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，当点运动（    ）秒时，和全等．

A．2 B．2或6 C．2或14 D．6或14
【答案】C
【分析】设动点运动秒时，和全等，分两种情况进行讨论，由题意可知和即可求解．
【详解】解：设动点运动秒时，和全等，
①∵，，
，根据证得，
由题意得：，
∴，
②∵，若，
，根据证得，
由题意得：，解得．
∴当点运动2秒或14时，和全等，
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，矩形的性质知识，解题关键是选择合适的方法证明三角形全等，注意利用分类讨论的思想．
7．（2022春·湖北黄石·八年级期末）如图，中，，点为内一点，，，则（    ）

A．60° B．72° C．70° D．65°
【答案】B
【分析】作于点，延长交于点，连接．由题意可求出．由所作辅助线可判断为的垂直平分线，即得出，从而得出，进而可求出．由图易求出，由三角形外角性质可求出，即．再根据，即得出，从而可证明，即得出．由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出的值．
【详解】如图，作于点，延长交于点，连接．

由题意可求出，
∵，
∴．
∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴ （），
∴．
∵，
∴，
故选:B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定和性质，综合性强，较难．正确做出辅助线是解题关键．
8．（2022秋·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）已知整数a，使得关于x，y的二元一次方程组的解为正数，且关于x的一元一次不等式至少有3个负整数解，则满足条件的整数a的个数有（    ）
A．6 B．5 C．4 D．1
【答案】C
【分析】先解方程组，再利用方程组的解为正数列不等式组得到a的范围，再解不等式，利用不等式至少有3个整数解，列关于a的不等式得到a的范围，再确定a的公共部分，结合整数a，从而可得答案．
【详解】解：
①②得：，
把代入①得：，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为正数，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵关于x的一元一次不等式至少有3个负整数解，
∴负整数解至少为，，，
∴，
解得：，
∴，
∵为整数，
∴为，，，，共4个数，
故选C．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，不等式的整数解，熟练的利用不等式的整数解求解参数字母的值的范围是解本题的关键．
9．（2022春·天津和平·八年级校考期中）如图，在坐标系中，点O为坐标原点，点A为，若点B在坐标轴上，且使得为等腰三角形，则这样的点B有（    ）个

A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
【答案】C
【分析】分三种情况分别画图讨论：如图，以为底边的等腰三角形有2个，如图，以为底边的等腰三角形有4个，如图，以为底边的等腰三角形有2个，从而可得答案．
【详解】解：如图，以为底边的等腰三角形有2个，

如图，以为底边的等腰三角形有4个，

如图，以为底边的等腰三角形有2个，

综上：符合条件的点B有8个，
故选C．
【点睛】本题考查的是平面直角坐标系内确定符合条件的等腰三角形的点的数量，熟练的利用数形结合的方法求解是解本题的关键．
10．（2022春·八年级课时练习）如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长交x轴于点D，利用反射定律，推出等角，从而证明得出，得到，得到，设的直线的解析式为，待定系数法求出解析式，并求出直线与y轴的交点坐标，即C点坐标．
【详解】延长交x轴于点D，如图所示：

∵由反射可知：，
又∵，
∴，
在和中，

∴，
∴
∵
∴
∴
∵，设的直线的解析式为，
∴，
解得，
∴的直线的解析式为，
∴当时，，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了反射定律，全等三角形的性质和判定，待定系数法求一次函数解析式，综合性较强，将知识综合运用是本题的关键．
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．（2022秋·上海闵行·六年级校考期末）不等式组的自然数解是______．
【答案】0，1，2，3，4
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
∴不等式组的自然数解是：0，1，2，3，4，
故答案为：0，1，2，3，4．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．（2022春·四川广元·八年级期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中______．

【答案】105
【分析】先利用角的和差关系求出，再利用三角形外角的性质求解．
【详解】解：如图，
由题意知，，
，
，
故答案为：105．

【点睛】本题考查三角形外角的性质、三角板的度数、角的和差关系等，解题的关键是掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”．
13．（2022春·八年级单元测试）在如图所示的方格纸中，建立直角坐标系，点A坐标为，则________，若是以为腰的等腰三角形，点B为格点且点B在x轴上，则满足条件的点B的坐标为________．

【答案】     5    
【分析】过A作轴于H，根据勾股定理求出的长，再分别讨论、的各种情况，即可得出答案．
【详解】解：过A作轴于H，
则，
在中，；
设点B的坐标为，
①若，
∵，
∴，
则点；
②若，即，
∴，
则点；
∴符合条件的B点的坐标为：．
故答案为：5；．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及坐标与图形性质，关键是掌握为等腰三角形时，那么任意一组邻边可为腰，注意分情况讨论．
14．（北京市顺义区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷）如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是时，有人为了抄近道而避开路的拐角，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路.某学习实践小组通过测量可知，的长约为6米，的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行______米．

【答案】4
【分析】根据题意利用勾股定理得出，再由线段的和差求解即可．
【详解】解：∵，的长约为6米，的长约为8米，
∴米，
∴米，
∴多行4米，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，理解题意是解题关键．
15．（江苏省扬州市江都区八校联谊2022-2023学年八年级上学期数学第二次月考试题）如图，在中，为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为_______．

【答案】##
【分析】先求出的长，过点F作于H，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可．
【详解】解：连接，
∵中，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
过点F作于H，若要使最大，则需要最小，

设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴最小值为，的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将的最大值转化为最小是解决本题的关键，属于压轴题．
16．（2022春·四川成都·八年级成都外国语学校校考阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，若x轴上存在动点C使得，求此时点C的坐标为：______．
【答案】，或
【分析】分两种情况画出图形，过点作，交于点，过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质得出，，求出点的坐标，由待定系数法求出直线的解析式，则可求出点的坐标．
【详解】解：如图1，过点作，交于点，过点作于点，

，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
点坐标为；
如图2，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，

同理可得，
，，
，
，
直线的解析式为，
令，则，
，；
综上所述：点的坐标是，或．
故答案为：，或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法，证明是解题的关键．
三、解答题(本大题共8小题,共66分)
17．（2022春·浙江·八年级期中）解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．

【答案】不等式组的解集为：，解集在数轴上表示见解析
【分析】分别解每个不等式，然后求得它们的公共部分即可求解．
【详解】不等式组，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为：，
解集在数轴上表示如下：

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，正确地求得每个不等式的解集是解题的关键．
18．（2022春·福建莆田·八年级校考阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点．点，点．

(1)将先向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到，画出，并写出点坐标；
(2)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，

【分析】（1）根据平移规则，确定的对应点，然后进行连线即可得到；
（2）找到关于轴的对称点，再进行连线即可得到．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求：

由图可知：；
（2）解：如图所示：即为所求：

由图可知：．
【点睛】本题考查平移作图，轴对称作图．熟练掌握平移规则，以及关于轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，是解题的关键．
19．（山东省烟台市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）已知一次函数，请按要求解答问题：
(1)m为何值时，函数图象过原点，且y的值随x的值增大而减小？
(2)若函数图象平行于直线，求一次函数表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一次函数的图象过原点，且y随x的增大而减小，得出且，求出m的值即可；
（2）先根据一次函数的图象平行于直线得出，然后代入求出，即可得出答案．
【详解】（1）.解：∵一次函数的图象过原点，
∴
解得：或，
∵y随x的增大而减小，
∴，
∴舍去，
∴；
（2）解：∵一次函数的图象平行于直线，
∴，
∴，
∴一次函数表达式是．
【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，准确进行计算．
20．（2022春·江苏·八年级专题练习）我们用表示不大于m的最大整数，如：，，．
(1) ；
(2)若，则x的取值范围是 ．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）估算无理数的大小，再根据的意义进行计算即可；
（2）根据的意义，得出，进而得出x的取值范围即可．
【详解】（1）解：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
21．（2022春·河南信阳·八年级统考期末）问题1：如图①，在四边形ABCD中，，P是BC上一点，，．易得．（不需证明）
问题2：如图②，在四边形ABCD中，，P是BC上一点，，．

(1)求证：；
(2)若，求与的面积和．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）过点A作于E，过点D作于F，根据得出，，证明和均为等腰直角三角形，得出，即可证得．
（2）由（1）得，，再根据三角形面积公式即可解得．
【详解】（1）证明：如图②，过点A作于E，过点D作于F．
由题易得，
，，
，
，，
，
，
即和均为等腰直角三角形，
，
，
，
．

（2）解：由（1）得，
，
，

．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质，作出正确的辅助线并能利用直角三角形的相关知识是解决本题的关键．
22．（北京市海淀区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷）如图，在中，，．是边上一点，交的延长线于点．

(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)连接，延长至，使．连接，，．
①依题意补全图形；
②判断的形状，并证明．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)①如图；②结论：是等边三角形，理由见解析．

【分析】（1）根据，可知，，利用含角的直角三角形性质：角所对直角边等于斜边的一半，可得．
（2）①根据题意补全图形即可；
②延长至点使，连接，，根据可知，由，得是等边三角形，，， 根据，，可知，，得，，，由，得，由，可证明，可得，，，从而可证明是等边三角形．
【详解】（1）解：线段与的数量关系：．
证明： ，
．
，

；
（2）解：①补全图形，如图．

②结论：是等边三角形．
证明：延长至点使，连接，，如图．

，
．
，
是等边三角形．
，．
，，
，．
．
．
，  
，
．
，
（）
，．
．
是等边三角形．
【点睛】此题考查了含角的直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，综合掌握相关知识点是解题关键．
23．（北京市怀柔区2022-2023学年八年级上学期期末质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，已知点，直线l是过点M且垂直于y轴的直线，点关于直线l的轴对称点Q，连接，过Q作垂直于y轴的直线与射线交于点，则称为P点的M中心对称点．

(1)如图1，当，时Q点坐标为____________，点坐标为____________；
(2)若P点的M中心对称点为，，则____________，P点的坐标为____________；
(3)在（1）中，在内部（不含边界）存在点N，使点N到和的距离相等，则N点横坐标n的取值范围是___________．
【答案】(1)；
(2)或；或
(3)

【分析】（1）根据，，先求出点Q的坐标，证明，得出，即，得出，即可得出答案；
（2）分两种情况进行讨论，分别作出图形，求出m的值和点P的坐标即可；
（3）连接，证明为的平分线，根据角平分线的性质可知，点N在上，求出n的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴直线l为，
∵P与Q关系直线l对称，
∴点Q的坐标为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
故答案为：；．

（2）解：如图，当点M在点上方时，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴P的坐标为；

如图，当点M在点下方时，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴P的坐标为；

综上分析可知，或，点P的坐标为：或．
故答案为：或；或．
（3）解：连接，如图所示：

∵，，
∴，
根据解析（1）可知，，
∴平分，
∴点N一定在上，
∴N点横坐标n的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是根据题意作出图形，注意分类讨论．
24．（2022春·江苏无锡·八年级江苏省天一中学阶段练习）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则：
①的长为　　；②点的坐标为　　．（直接写结果）
（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式．
（3）拓展研究：若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴上的一个动点，点是函数与轴的交点，当以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出相应的点的坐标．

【答案】（1），；（2）；(3)，，
【分析】（1）根据勾股定理可得长，由对应边相等可得点坐标；
（2）通过证明得出点坐标，用待定系数法求直线的函数表达式；
（3）分别以、、为顶角的顶点，设，，利用（2）的全等思想表示相应线段的长度，列出方程求解即可．
【详解】1）如图1，作轴于，轴于．

由点坐标可知，
在中，根据勾股定理可得；
为等腰直角三角形，
∴，，
∵轴于，轴于，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
所以点坐标为：
（2）如图，过点作轴．

∵为等腰直角三角形
∴，
轴
∴
又∵，
∴
∴，
∴，，
∴，
设直线的表达式为
将和代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为：．
（3）由是函数与轴的交点，可知，
点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴上的一个动点，
设，
以点为顶角，即：，过作轴，且，，
由（2）类比可得：，，，解得：
故：

以点为顶角，即：，过作轴，交轴于且，
由（2）类比可得：，，，解得：
故：

以点为顶角，即：，过作，且，，
由（2）类比可得：，，，解得：
故：

【点睛】本题是一次函数与三角形的综合，主要考查了一次函数解析式、全等三角形的证明及性质，灵活运用全等的性质求点的坐标是解题的关键．