数学-2022-2023学年八年级下学期开学摸底考试卷（湖南长沙专用）

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绝密★考试结束前2022-2023学年八年级下学期开学摸底考试卷（湖南长沙专用）数学一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分的）1．下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（　　）A．    B．    C．    D．解：A是轴对称图形，其余都不是轴对称图形。答案：A．2．要使如图所示的六边形木架不变形，则至少需要钉上木条的根数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4解：过六边形的一个顶点作对角线，有6﹣3＝3条对角线，所以至少要钉上3根木条．答案：C．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（　　）A．70° B．75° C．80° D．85°解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∵∠BAE＝15°，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD＝ADAB，∴△ACD是等边三角形，∠DCB＝∠B＝30°，∴AC＝DC＝CE，∴∠CDE＝∠CED（180°﹣30°）＝75°．答案：B．4．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，∴当添加∠B＝∠E时，根据 ASA 判定△ABC≌△DEF；当添加AC＝DF时，根据 SAS 判定△ABC≌△DEF；当添加∠ACD＝∠BFE时，则∠ACB＝∠DFE，根据 AAS 判定△ABC≌△DEF．答案：D．5．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝36，且BD：DC＝8：4，则点D到AB边的距离为（　　）A．18 B．12 C．14 D．16解：∵BC＝36，BD：DC＝8：4，∴CD12，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴D到边AB的距离＝CD＝12．答案：B．6．计算的结果是（　　）A． B． C．1 D．x+1解：原式．答案：A．7．已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（　　）A．2ab B．﹣2ab C．3b2 D．﹣5b2解：多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是﹣5b2．答案：D．8．如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（　　）A． B． C． D．解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点O，则点O即为所求点． 答案：D．9．有一块长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形纸片，剪去一个长为2a+4，宽为b的小长方形，则剩余部分面积是（　　）A．4ab﹣3a﹣2 B．6ab﹣3a+4b C．6ab﹣3a+8b﹣2 D．4ab﹣3a+8b﹣2解：剩余部分面积：（3a+2）（2b﹣1）﹣b（2a+4）＝6ab﹣3a+4b﹣2﹣2ab﹣4b＝4ab﹣3a﹣2；答案：A．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为（　　）A．9 B．8 C．6 D．7解：∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CADBAC＝60°，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE＝60°，∠DEC＝∠BAC＝120°，∴∠AED＝60°，∴∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝3，∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，答案：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若分式有意义，则x满足的条件是　x≠﹣1　．解：由题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1．答案：x≠﹣1．12．计算m4•（﹣m）2•m＝　m7　．解：原式＝m4•m2•m＝m4+2+1＝m7．答案：m7．13．已知三角形的三边长为连续整数，且周长为18cm，则它的最短边的为　5cm　．解：设三边长分别为xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，由题意得，x+x+1+x+2＝18，解得：x＝5，∴x+1＝6，x+2＝7，∴这个三角形的三边长依次为5cm，6cm，7cm，∴最短边为：5cm，答案：5cm．14．已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 　10　．解：∵a2﹣b2+2b+9＝（a+b）（a﹣b）+2b+9又∵a+b＝1，∴原式＝a﹣b+2b+9＝a+b+9＝10．答案：10．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，∠B＝50°，则∠AEC＝　115°　．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．∵∠B＝50°，∴∠BAD＝40°．∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝50°．∵AE平分∠DAC，∴∠DAE∠DAC＝25°．∴∠AEC＝∠ADC+∠DAE＝115°．答案：115°．16．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA于点D，M是OP的中点，DM＝6cm，如果点C是OB上一动点，则PC的最小值为　6　cm．解：作PC′⊥OB于C′，则PC′为PC的最小值，∵PD⊥OA，M是OP的中点，∴OP＝2DM＝12cm，∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，∴∠DOP＝30°，∴PDOP＝6cm，∵P是∠AOB角平分线上的一点，PD⊥OA，PC′⊥OB，∴PC′＝PD＝6cm，答案：6．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．分解因式：2x3+12x2y+18xy2．解：2x3+12x2y+18xy2＝2x（x2+6xy+9y2）＝2x（x+3y）2．18．解方程：0．解：方程两边同乘以x（x+1）（x﹣1）得：4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．去括号得：4x﹣4﹣3x﹣3＝0，移项，合并同类项得：x＝7．检验：当x＝7时，x（x+1）（x﹣1）≠0，∴x＝7是原方程的根．∴x＝7．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE∠CBD＝65°； （2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°．20．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中点A，B，C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，其中点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；（2）计算△ABC的面积．解：（1）如图，的△A1B1C1即为所求．A1（﹣2，﹣1），B1（﹣4，﹣5），C1，（﹣5，﹣2）；（2）△ABC的面积＝3×41×31×32×4＝5．21．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．22．某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？解：（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，依题意得：10，解得：x＝80，经检验，x＝80是方程的解，1.5x＝1.5×80＝120．答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元；（2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球，依题意得：120m+80（300﹣m）≤28000，解得：m≤100，答：最多可以购买100个篮球．23．如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且线段BD、CE交于F．（1）求证：△AEC≌△ADB．（2）猜想CE与DB之间的关系，并说明理由．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）解：CE＝DB，CE⊥DB．理由：由（1）知，△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵∠BAC＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CE⊥BD．24．先阅读下列解答过程，然后再解题．例：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b），则2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b．比较系数得，解得∴m．解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式）由于上式为恒等式，为方便计算了取x，2×（）3﹣（）2+m＝0，故m．（1）已知多项式2x3﹣2x2+m有一个因式是x+2，求m的值．（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．解：（1）∵多项式2x3﹣2x2+m有一个因式是x+2，∴设2x3﹣2x2+m＝A•（x+2）（A为整式）由于上式为恒等式，为方便计算取x＝﹣2，2×（﹣2）3﹣2×（﹣2）2+m＝0，故m＝24； （2）∵x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），∴设x4+mx3+nx﹣16＝A•（x﹣1）（x﹣2）（A为整式）由于上式为恒等式，为方便计算取x＝2和x＝1，代入得：24+m×23+2n﹣16＝0，14+m×13+n﹣16＝0，解得：m＝﹣5，n＝20．25．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE．（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC＝CE+CD；（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC＝CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE，CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD；（2）解：结论BC＝CE+CD不成立，猜想BC＝CE﹣CD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BD﹣CD＝CE﹣CD；（3）解：BC＝CD﹣CE，CE⊥BC，理由如下：如图3所示：同（1）得：△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∴BC＝CD﹣BD＝CD﹣CE，∵∠ABD＝135°，∴∠ACE＝135°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，∴CE⊥BC．