数学-2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷A（新高考II卷专用）

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2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷【新高考II卷】

 数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若（为虚数单位）是纯虚数，则（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

3．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详解九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（    ）

A． B． C． D．

4．已知，若非零向量满足，则（    ）

A． B．10 C．3 D．

5．因为疫情防控的需要，某校高二年级4名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不同的安排方法有（    ）种．

A．34 B．816 C．216 D．210

6．若，则（    ）

A． B． C． D．1

7．已知直三棱柱中，，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（  ）

A． B． C． D．

8．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，．现有下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．关于函数的描述正确的是（    ）

A．图象可由的图象向左平移个单位得到

B．在单调递减

C．的图象关于直线对称

D．的图象关于点对称

10．已知抛物线：的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．以为直径的圆与准线相切

C．设，则

D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条

11．如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（    ）

A．                            B．平面

C．三棱锥的体积为定值           D．异面直线，所成的角为定值

12．下列大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设随机变量，若，则_________．

14．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.

15．已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线PA，PB，切点为A，B．四边形PAMB面积最小值为______．

16．如图，椭圆：离心率为，F是的右焦点，点P是上第一角限内任意一点，，，若，则的取值范围是_______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．数列满足，且.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)求数列的前项和.

18．在中，设角所对的边分别为，且.

(1)求；

(2)若，求的最大值.

19．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，在该批棉花中随机抽取了容量为120的样本，测量每个样本棉花的纤维长度（单位：mm，纤维长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间内，将其按组距为2分组，制作成如图所示的频率分布直方图，其中纤维长度不小于28mm的棉花为优质棉.

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)已知抽取的容量为120的样本棉花产自于A，B两个试验区，部分数据如下2×2列联表：

将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系；

(3)若从这批120个样本棉花中随机抽取3个，其中有X个优质棉，求X的分布列和数学期望.

注：①独立性检验的临界值表：

②，其中.

20．如图，在多面体中，四边形为直角梯形，，，，，四边形为矩形．

(1)求证：平面平面ABCD；

(2)线段MN上是否存在点H，使得二面角的余弦值为？若不存在，请说明理由．若存在，确定点H的位置．

21．若双曲线的一个焦点是，且离心率为2．

(1)求双曲线的方程；

(2)设过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线的右支相交于不同的两点时，

①求实数的取值范围；

②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

22．设函数，为的导函数.

(1)当时，

①若函数的最大值为0，求实数的值；

②若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.

(2)当时，设，若，其中，证明：.