数学-2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷B（全国乙卷理科专用）

绝密★考试结束前

2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷B

（全国乙卷理科专用）

数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设集合，集合B=，则（    ）

A． B．

C． D．

2．集合，下列命题中不正确的是（    ）

A．

B．

C．若，则z在复平面上所对应的点一定不在第四象限

D．若，则z不一定是纯虚数

3．已知，则（    ）

A．0 B． C． D．

4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.设数列的前项和为，记，，则（    ）

A． B．

C． D．

5．已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（    ）

A． B． C．2 D．4

6．已知，满足，若函数在区间上有且只有两个零点，则的范围为（    ）

A． B．

C． D．

7．如图所示，在正方体中，，分别为，的中点，设二面角的平面角为，直线与平面所成角为，则（    ）

A． B． C． D．与正方体棱长有关

8．函数图象的大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

9．已知三棱柱中，，，平面平面，，若该三棱柱存在体积为的内切球，则三棱锥体积为（    ）

A． B． C．2 D．4

10．第二十二届世界杯足球赛将于年月日在卡塔尔举行，东道主卡塔尔与厄瓜多尔、塞内加尔、荷兰分在组进行单循环小组赛（每两队只进行一场比赛），每场小组赛结果相互独立.已知东道主卡塔尔与厄瓜多尔、塞内加尔、荷兰比赛获胜的概率分别为、、，且.记卡塔尔连胜两场的概率为，则（    ）

A．卡塔尔在第二场与厄瓜多尔比赛，最大

B．卡塔尔在第二场与塞内加尔比赛，最大

C．卡塔尔在第二场与荷兰比赛，最大

D．与卡塔尔和厄瓜多尔、塞内加尔、荷兰的比赛次序无关

11．设为坐标原点，为双曲线的两个焦点，为双曲线的两条渐近线，垂直于的延长线交于，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

12．若，，，其中为自然对数的底数，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在的展开式中，的系数为__________.

14．若，则函数的值域是___________.

15．已知数列中，，，且，则______.

16．已知，，不等式恒成立，则___________.

三、解答题共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17．（12分）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角B的大小；

(2)若，求周长的取值范闱．

18．（12分）如图，在多面体中，四边形为直角梯形，，，，，四边形为矩形．

(1)求证：平面平面ABCD；

(2)线段MN上是否存在点H，使得二面角的余弦值为？若不存在，请说明理由．若存在，确定点H的位置．

19．（12分）中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为.

(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；

(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；

(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望.

①参考数据：；

②参考公式：（i）线性回归方程：，其中；

（ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强.

（iii），其中.附表：

20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，离心率为.点P是椭圆上的一动点，且P在第一象限.记的面积为S，当时，.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)如图，，的延长线分别交椭圆于点M，N，记和的面积分别为和.求的最大值.

21．（12分）若函数有两个零点．

(1)求证：；

(2)设为函数的极大值点，为函数的零点，且，求证：．

22题、23题为选做题；共10分。请考生在第22题、23题中任选一题作答；如果多做，

则按所做的第一题计分；并在相应序号涂卡。

22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)设射线的极坐标方程为，射线与曲线C交于两点O、A，与直线l交于点B，且，求.

23．（10分）设函数的最小值为．

(1)求的值；

(2)若，，为正实数，且，求证：．