文科数学-2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷C（全国甲卷专用）

2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷C（全国甲卷文）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知直线与直线相互平行，则实数m的值是（    ）

A． B．1 C． D．6

3．已知数列是各项均为正数的等差数列，，且，则公差为（    ）

A． B． C．或 D．

4．已知两个变量和之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组，的样本数据如下表所示：

根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知向量，是两个单位向量，则“为锐角”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则下列错误的是（    ）

A．当时，

B．当时，不一定为0

C．若，则存在实数，使得

D．若，则

7．若，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数满足，，若函数的图象的对称轴为，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

9．在△ABC中，已知，，若△ABC最长边长，则其最短边长为（    ）

A． B． C． D．1

10．如图所示，在正方体中，，分别为，的中点，设二面角的平面角为，直线与平面所成角为，则（    ）

A． B． C． D．与正方体棱长有关

11．已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知，设，，，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形.若随机地从5个等腰直角三角形板块中抽出2块，则这2块面积相等的概率为______.

14．如图，是面积为2的等腰直角三角形，记的中点为，以为直角边第一次构造等腰，记的中点为，以为直角边第二次构造等腰，以此类推，当第次构造的等腰的直角边所构成的向量与同向时，构造停止，则构造出的所有等腰直角三角形的面积之和为______.

15.如图，已知直线与圆相离，点在直线上运动且位于第一象限，过作圆的两条切线，切点分别是，直线与轴､轴分别交于两点，且面积的最小值为，则的值为______.

16．已知函数， 任取​， 记函数​在上的最大值为​， 最小值为， 设， 则函数的值域为__________

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．记为数列的前项和，已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若，记，求数列的前项和．

18．某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间 (单位:分钟)，从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组: 第1组 ，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)根据图中数据求的值；

(2)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3，4，5组各抽取多少名新生?

(3)在（2）的条件下，该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

19．已知四棱锥中，底面，平面平面，，为中点，．

(1)求证：平面；

(2)求到平面的距离．

20．已知，分别是椭圆（，）的左右两个焦点，为椭圆上任意一点，

(1)若，的最大值为12，求的值；

(2)若，直线与椭圆相交于两个不同的点，且（为坐标原点），求椭圆的方程.

21．已知函数，其中为常数．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的直角坐标方程，并化为标准方程；

(2)已知点的极坐标为与曲线交于两点，求的值.

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集非空，求的最大值.