专题13 几何模型（3）—一线三等角模型-备战中考数学二轮专题归纳提升

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专题13 几何模型3—一线三等角模型
【模型介绍】
一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角”
如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角


【解题关键】
构造相似或是全等三角形

【典型例题】
【题型一：一线三直角模型】
如图，若∠1、∠2、∠3都为直角，则有△ACP∽△BPD．


【例1】如图1所示，已知△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F．

（1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，求证：EF=AE+BF；
（2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（BFAE）其余条件不变，问EF与AE，BF的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明．

【答案】（1）见解析；
（2）EF=AE-BF，证明见解析；
（3）EF=BF-AE，证明见解析
【解析】
（1）证明：∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB=90°，
∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，
∴∠EAC=∠FCB，
在△EAC和△FCB中，
∠AEC=∠CFB∠EAC=∠FCBAC=BC，
∴△EAC≌△FCB(AAS)，
∴CE=BF，AE=CF，
∵EF=CF+CE，
∴EF=AE+BF；
（2）解：EF=AE-BF，理由如下：
∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB=90°，
∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，
∴∠EAC=∠FCB，
在△EAC和△FCB中，
∠AEC=∠CFB∠EAC=∠FCBAC=BC，
∴△EAC≌△FCB(AAS)，
∴CE=BF，AE=CF，
∵EF=CF-CE，
∴EF=AE-BF；
（3）解：EF=BF-AE，理由如下：
∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB=90°，
∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，
∴∠EAC=∠FCB，
在△EAC和△FCB中，
∠AEC=∠CFB∠EAC=∠FCBAC=BC，
∴△EAC≌△FCB(AAS)，
∴CE=BF，AE=CF，
∵EF=CE-CF，
∴EF=BF-AE．

【练1】如图，在平面直角坐标系中，将直线y=-3x向上平移3个单位，与y轴、x轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点C，则k的值为（  ）

A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示，







∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，
∴∠ECF＝90°．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF＋∠FCB＝∠FCB＋∠BCE＝90°，AC＝BC，
∴∠ACF＝∠BCE．
在△ACF和△BCE中，
∠AFC＝∠BEC＝90°∠ACF＝∠BCEAC＝BC，
∴△ACF≌△BCE（AAS），
∴S△ACF＝S△BCE，
∴S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB＋S△ABC．
∵将直线y＝−3x向上平移3个单位可得出直线AB，
∴直线AB的表达式为y＝−3x＋3，
∴点A（0，3），点B（1，0），
∴AB＝OA2＋OB2=10，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC=22AB=5，
∴S矩形OECF＝S△AOB＋S△ABC＝12×1×3＋12×5×5＝4．
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝4，
故选C．

【练2】如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OBA=60°，若点A在反比例函数y=3x(x>0)的图象上，则经过点B的反比例函数表达式为（       ）

A．y=-3x B．y=3x C． D．y=1x

【答案】C
【解析】解：作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，如图，

∵∠AOB=90°，∠ABO=60°，
∴∠BAO=30°，
∴OB=33OA．
∵点A在反比例函数y=3x(x>0)的图象上，
∴xy=OD∙AD=3．
∵∠AOD+∠BOC=90°，∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠BOC=∠DAO，
∴Rt△BOC∽Rt△OAD，
∴S△BOCS△DAO=OBOA2=13．
∵S△DAO=12OD∙AD=12×3=32，
∴S△BOC=12，
即12k=12，
∴k=1．
∵k