专题11 几何模型（1）—三角形中的旋转模型-备战中考数学二轮专题归纳提升

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专题11 几何模型（1）—三角形中的旋转模型【问题引入】当题中出现等腰三角形的条件但是不好使用时，可以考虑利用旋转构造辅助线，通过构造等腰三角形得到手拉手全等，利用全等转移边角进行解题 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向旋转对象：一般是含已知条件或问题相关的边角所在三角形如何转：确定旋转三角形后，考虑由旋转三角形中的腰旋转至与另一腰重合，整个三角形进行同样的旋转旋转后的图形分析：1、从新构造的全等三角形进行分析；2、从新得到的等腰三角形进行分析 【题型一：常见旋转模型之邻补模型】条件构成：有两邻边相等的四边形，且四边形对角互补，且一般等腰三角形顶角为特殊角。∠DAB+∠DCB=180°，AD=AB常见结论：1、有角平分线；2、有线段和差的倍数关系解题方法：1、作双垂；2、构造旋转全等①90°                           相关结论：1、AC平分∠BCD          2、②60°                            相关结论：1、AC平分∠BCD          2、③120°                           相关结论：1、AC平分∠BCD          2、补充说明：对角互补、邻边相等、角平分线三个条件知到其中两个就可求另外第三个，辅助线的构造与三角形全等相同，但是全等判定会有差异，需要根据具体情况判断 【例】如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．【答案】4+4．【解析】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三点共线，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BD＝4，CD＝BD×tan∠CBD＝4，∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝4+4，故答案为：4+4． 【练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．【答案】【解析】解：将△OBC绕O点旋转90°，∵OB=OA∴点B落在A处，点C落在D处且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四边形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三点在同一条直线上，∴△OCD为等要直角三角形，根据勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD= 即BC+AC=. 【练2】如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_______．【答案】【解析】解：如图，连接PQ，由旋转的性质可得，BP=BQ，又∵∠PBQ=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ=BP，在等边三角形ABC中，∠CBA=60°，AB=BC，∴∠ABQ=60°-∠ABP∠CBP=60°-∠ABP∴∠ABQ=∠CBP在△ABQ与△CBP中∴△ABQ≌△CBP(SAS)，∴AQ=PC，又∵PA=4，PB=5，PC=3，∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，在△APQ中，，25=16+9，∴由勾股定理的逆定理可知△APQ是直角三角形，∴，故答案为：  【练3】如图，在中，，，点在上，点在上，，连接，，，垂足为．证明：．【答案】见解析【解析】证明：如图，延长BA到点F，使AF=DE，连接CF、CD，∵∠ACB+∠ADE=180°∴∠CAD+∠CED=360°－180°=180°∵∠CAD+∠CAF=180°∴∠CAF=∠CED∵AC=EC，AF=ED∴△AFC≌△EDC∴CF=CD，∠ACF=∠ECD∴∠FCD=∠ACF+∠ACD=∠ECD+∠ACD=∠ACB=120°∵CF=CD，CH⊥DF∴FH=DH=(DE+AD)，∠HCD=∠FCD=60°∴tan∠HCD=∴DH=CH∴DE+AD=2DH=CH 【题型二：旋转与三角形全等的构造】【例】问题背景：如图①设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝　　°（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝　　．拓展廷伸：①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC．②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．【答案】（1）135°（2）PC=13；拓展延伸①：证明见解析②：BD=【解析】解：简单应用：（1）如图2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△CBP'，连接PP'，∴BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，根据勾股定理得，PP'CP＝4，∵BP'＝5，BP＝3，∴PP'2+BP2＝BP'，∴△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，∴∠BPP'＝90°，∴∠BPC＝∠BPP'+∠CPP'＝135°，（2）如图3，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，连接PP'，∴BP'＝CP，AP'＝AP＝5，∠PAP'＝60°，∴△APP'是等边三角形，∴PP'＝AP＝5，∠APP'＝60°，∵∠APB＝150°，∴∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，根据勾股定理得，BP'13，∴CP＝13， 拓展廷伸：①如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△BCD'，∴BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD+∠BCD'＝180°，∴点D'在DC的延长线上，∴DD'＝CD+CD'＝CD+AD，在Rt△DBD'中，DD'BD，∴BD＝CD+AD； ②如图5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△ABD'，∴BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，AB与CD的交点记作G，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠DAB+∠AGD＝∠BCD+∠BGC＝180°，∵∠AGD＝∠BGC，∴∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD＝∠BAD'，∴点D'在AD的延长线上，∴DD'＝AD'﹣AD＝CD﹣AD＝2，在Rt△BDD'中，BDDD'．  【练1】如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．（1）求证：AD＝DE；（2）求∠DCE的度数；（3）若BD＝1，求AD，CD的长．【答案】（1）见解析（2）90°（3）【解析】（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，∵△ABC为等边三角形∴∠BAC＝60°∴∠DAE＝60°∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE，（2）∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°，（3）∵△ADE为等边三角形∴∠ADE＝60°∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°又∵∠DCE＝90°∴DE＝2CE＝2BD＝2，∴AD＝DE＝2在Rt△DCE中，．【练2】如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．（1）请求出旋转角的度数；（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．【答案】（1）90°（2）证明见解析（3）BD【解析】解：（1）∵将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACE∴△BCD'≌△ACE∴AC＝BC，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BAC＝45°∴∠ACB＝90°故旋转角的度数为90°（2）AE⊥BD．理由如下：在Rt△BCM中，∠BCM＝90°∴∠MBC+∠BMC＝90°∵△BCD'≌△ACE∴∠DBC＝∠EAC即∠MBC＝∠NAM又∵∠BMC＝∠AMN∴∠AMN+∠CAE＝90°∴∠AND＝90°∴AE⊥BD（3）如图，连接DE，由旋转图形的性质可知CD＝CE，BD＝AE，旋转角∠DCE＝90°∴∠EDC＝∠CED＝45°∵CD＝3，∴CE＝3在Rt△DCE中，∠DCE＝90°∴DE3∵∠ADC＝45°∴∠ADE＝∠ADC+∠EDC＝90°在Rt△ADE中，∠ADE＝90°∴EA∴BD  【练3】如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC＞AD．下面的证法供你参考：把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接ED，则有△ACD≌△ABE，DC＝EB，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图3，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合）．求证：BD+DCAD．（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论．创新应用：（3）已知：如图4，等腰△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α（α为钝角），D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC＝180°，BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．【答案】（1）证明见解析（2）BD+DCAD；（3）猜想：BD+DC＜2AD；证明见解析【解析】解：（1）证明：把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接ED则有△ACD≌△ABE，DC＝EB∵AD＝AE，∠DAE＝90°∴△ADE是等腰直角三角形∴DEAD在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DCAD；（2）把△ABD旋转，使AB与AC重合，然后绕AC旋转，得到△ACD′，则BD＝CD′，在△CDD′中，CD+CD′＞DD′，即BD+CD＞DD′，∵△ADD′是钝角三角形，则DD′AD当D运动到B的位置时，DD′＝BCAD．∴BD+DCAD；（3）猜想1：BD+DC＜2AD证明：把△ACD绕点A顺时针旋转α，得到△ABE则有△ACD≌△ABE，DC＝EB，∠ACD＝∠ABE∵∠BAC+∠BDC＝180°∴∠ABD+∠ACD＝180°∴∠ABD+∠ABE＝180°即：E、B、D三点共线．∵AD＝AE，∴在△ADE中，AE+AD＞ED，即BD+DC＜2AD． 【题型三：旋转与相似三角形的构造】【例】如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正确，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确；∵△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，∴S△AEF＝S矩形ABCD，又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，∴S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，故④正确； 【练1】如图，正方形的边长为8，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边的中点，当线段的长最小时，______．【答案】【解析】解：连接BD，BF，FD，如图，∵，∴，∵∠FBD+∠DBE=45°，∠EBC+∠DBE=45°，∴∠FBD=∠EBC，∴△EBC∽△FBD，∴∠FDB=∠ECB，，∴DF=，由题意知：FM、DF、DM三条线段满足FM+DF≥MD，其中DM、DF的值一定，∴当M，F，D三点一线时，FM最小，过点M作MN⊥BD，垂足为G，∵∠MBN=45°，BM=AB=4，∴MN=BN=2，∵MD==4，∴DG==6，∴=，故答案为：． 【练2】如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为_________．【答案】5【解析】解：如图，作GB⊥BC于B，取GB=BC，当点D与点B重合时，则点E与点G重合，∴∠CBG=90°，∴CG=BC，∠GCB=45，∵四边形CDEF是正方形，∴CE=DC，∠ECD=45，∴∠BCD+∠DCG =∠GCE+∠DCG =45，∴∠BCD =∠GCE，且，∴△CGE∽△CBD，∴，即GE=BD，∵BD=5，∴点E运动的路径长为GE=BD=5． 【练3】在和中，，，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且．2
 （观察猜想）（1）如图①，当时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________．（探究证明）（2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（拓展应用）（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积．【答案】（1），；（2）不成立，理由见解析；（3）2【解析】（1）如图①中，

∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，
∴△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=BE2+EC2．
故答案为：BD=EC，EA2=EB2+EC2．
（2）结论：EA2=EC2+2BE2．
理由：如图②中，

∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵=， =，
∴，
∴△DAB∽△EAC，
∴=，∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=EC2+BE2，
∴EA2=EC2+2BE2．
（3）如图③中，

∵∠AED=45°，D，E，C共线，
∴∠AEC=135°，
∵△ADB∽△AEC，
∴∠ADB=∠AEC=135°，
∵∠ADE=∠DBE=90°，
∴∠BDE=∠BED=45°，
∴BD=BE，
∴DE=BD，
∵EC=BD，
∴AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，
在Rt△ABC中，∵AB=BC=2，
∴AC=2，
在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，
∴x2+4x2=40，
∴x=2（负根已经舍弃），
∴AD=DE=2，
∴BD=BE=2，
∴S△BDE=×2×2=2．