专题05 二次函数存在性问题（2）—与四边形相关-备战中考数学二轮专题归纳提升

专题05 二次函数存在性问题（2）—与四边形相关

【例1——平行四边形存在性问题】

问题1：如图直角坐标系中有三个点A，B，C，坐标平面内是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形？

①     画出D存在的所有情况和位置，如图

② 代数法

以AC为对角线：

以AB为对角线：
 

以BC为对角线：

【典例分析】

【例1】如图，直线yx+c与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c经过点A，C，与x轴的另一个交点为B（1，0），连接BC．

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）P为抛物线上一动点，Q为x轴上一动点，当以B，C，Q，P为顶点的四边形为平行四边形时，求点P的坐标．

【练1】如图，抛物线ybx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图．

（1）求直线AB和抛物线的表达式；

（2）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点且AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【练2】

如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OB＝OC＝3OA.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；

(3)在(2)的结论下，点M为x轴上一动点，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在；若不存在，请说明理由．

【练3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象相交于点A，一次函数y＝bx＋b轴相交于点b(－1，0)，与Y轴相交于点C(0，1)．

(1)求b和k的值；

(2)点M在x轴正半轴上，且△ACM的面积为1，求点M坐标；

(3)在(2)的条件下，点P是一次函数y＝kx＋b上一点，点Q是反比例函数y＝(x＞0)图象上一点，且点P，Q都在x轴上方．如果以B，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P，Q的坐标．

【例2——菱形存在性问题】

问题2：如图直角坐标系中有一点B，C为x轴上一点，坐标平面内是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为菱形？

①   画出所有可能存在的点C的位置，使用的方法为以O、B、C三点做等腰三角形的方法，即两圆一线

②代数法

以其中一个情况为例，如图，

当我们确定O、B、C的位置后，可以以OC、OB为邻边做出菱形OCDB，该四边形可以看作是以OD为对角线的平行四边形，则可以用平行四边形存在性的方法列出两个方程，再用两点间距离公式加入一个OB＝OC的方程即可求解．

【典例分析】

【例2】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．

（1）求b，c的值；

（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值．

（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【练1】已知：P、Q是方程x2－6x＋5＝0的两个实数根，且p＜q，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(p，0)，B(0，q)．

(1)求这个抛物线的解析式；

(2)若点M在直线CB上，点N在平面上，直线CB上是否存在点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【练2】如图，一次函数yx图象与坐标轴交于点A、B，二次函数yx2+bx+c图象过A、B两点．

（1）求二次函数解析式；

（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【练3】如图，抛物线y＝x2＋2x－6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC.

(1)求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．

(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D.

①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N.当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．

【例3——矩形存在性问题】

问题3：如图直角坐标系中有一点B，C为x轴上一点，坐标平面内是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为矩形？

①画出所有可能存在的点C的位置，使用的方法为以O，B，C三点做直角三角形的方法，即两线一圆

②代数法

以其中一个情况为例，如图，

当我们确定O，B，C的位置后，可以以OC、OB为邻边做出矩形OCDB，该四边形可以看作是以OC为对角线的平行四边形，则可以用平行四边形存在性的方法列出两个方程，而由于矩形对角线相等，再用两点间距离公式加入一个OC＝BD的方程即可求解

【典例分析】

【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求直线BC的解析式；

（2）若点P为直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△BCP的面积最大，求△BCP的最大面积及此时点P的坐标；

（3）点M为抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，直接写出点M的坐标．

【练1】如图1，若二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC、BC．

（1）求三角形ABC的面积；

（2）若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，连接PB、PC，是否存在点P，使四边形ABPC的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

【练2】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－，0)、B(3，0)，两点，与轴交于点C(0，3)．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)是直线上方抛物线上一点，作EF⊥BC于点F，求当的长度最大时点E的坐标以及EF长度的最大值；

(3)将抛物线沿射线CA方向平移2个单位的距离得到新抛物线，点是平面内一点，点M为新抛物线上一点，若以B，C，M，N为顶点的四边形是以BC为边的矩形，求点M的坐标．

【练3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 　　；

（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；

（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．