专题03 二次函数系数问题-备战中考数学二轮专题归纳提升

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专题03 二次函数系数问题
【知识点梳理】
1、二次函数图象的特征与a，b，c的关系

字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为y轴
ab>0（a与b同号）
对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号）
对称轴在y轴右侧
c
c=0
经过原点
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
b2–4ac
b2–4ac=0
与x轴有唯一交点（顶点）
b2–4ac>0
与x轴有两个交点
b2–4ac<0
与x轴没有交点

2、常用公式及方法：
（1） 二次函数三种表达式：

表达式
顶点坐标
对称轴
一般式
y=ax2+bx+c
-b2a,4ac-b24a
x=-b2a
顶点式
y=ax-h2+k
h,k
x=h
交点式
y=ax-x1x-x2
x1+x22,-ax1-x224
x=x1+x22

（2） 韦达定理：若二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点且交点坐标为（x1，0）和（x2，0），则x1+x2=-ba，x1⋅x2=ca。
（3） 赋值法：在二次函数y=ax2+bx+c中，令x=1，则y=a+b+c；令x=-1，则y=a-b+c；令x=2，则y=4a+2b+c；令x=-2，则y=4a-2b+c；利用图象上对应点的位置来判断含有a、b、c的关系式的正确性。

【典例分析】
【例1】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3；③a+b+c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；⑤2a-b=0；⑥b2-4ac＞0．下列结论一定成立的是





【答案】①②③⑥
【解析】解：①由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，
∴ac＜0，故①正确；
②由图象可知，二次函数与x轴的交点横坐标为-1和3，
∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3，故②正确；
③当x=1时，y＜0
∴a+b+c＜0，故③正确；
④∵方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3
∴对称轴为x=x1+x22=-1+32=1
由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大，故④错误；
⑤∵对称轴-b2a=1
∴b=-2a，2a+b=0，故⑤错误；
⑥∵二次函数与x轴有两个交点，即方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac＞0，故⑥正确。
故答案为：①②③⑥
【练1】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=OC．则由抛物线的特征写出如下结论：
①abc＞0；②4ac-b2＞0；③a-b+c＞0；④ac+b+1=0．
其中正确的个数是（　　）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
【答案】B
【解析】解：①由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②由图象可知，二次函数与x轴有两个交点，即方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac＞0，即4ac-b2＜0故②错误；
③当x=-1时，y＞0
∴a-b+c＞0，故③正确；
④∵C（0，c），OA=OC，
∴A（c，0）
∴当x=c时，y=0，
即（c）²+bc+c=0
∵c≠0正确错误.
故答案为：B.

【练2】小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：
①c＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④2a-3b=0；⑤c-4b＞0．
你认为其中正确的信息是（　　）
A. ①②③⑤
B. ①②③④
C. ①③④⑤
D. ②③④⑤
【答案】A
【解析】解：①由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，故①正确；
②abc＞0，故②正确；
③由图象可知当x=-1时，y＞0
∴a-b+c＞0，故③正确；
④∵对称轴-b2a=13
∴3b=-2a，2a+3b=0，故④错误；
⑤∵当x=2时，y＞0
即4a+2b+c＞0
∵3b=-2a
∴2×（-3b）+2b+c=c-4b＞0，故⑤正确.
故答案为：A.

【例2】抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是直线x=-1，其图象如图所示．下列结论：①abc<0；②4a+c2<2b2；③若x1,y1和x2,y2是抛物线上的两点，则当x1+1>x2+1时，y1
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】解：①∵抛物线图象开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在直线y轴左侧，
∴a，b同号，b>0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc<0，故①正确．
②4a+c2-2b2=4a+c+2b4a+c-2b，
当x=2时ax2+bx+c=4a+2b+c，由图象可得4a+2b+c>0，
当x=-2时，ax2+bx+c=4a-2b+c，由图象可得，4a-2b+c<0
∴4a+c2-2b2＜0，即，4a+c2<2b2
故②正确．
③x1+1=x1-(-1)，x2+1=x2-(-1)，
∵x1+1>x2+1
∴点(x1，y1)到对称轴的距离大于点(x2，y2)到对称轴的距离，
∴y1>y2，
故③错误．
④∵抛物线的顶点坐标为(-1,m)，
∴由图象知，y＞m，
∴ax2+bx+c>m，
∴ax2+bx+c=m-1无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故答案为：B．

【练1】二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象的一部分如图所示．已知图象经过点-1,0，其对称轴为直线x=1．下列结论：①abc<0；②4a+2b+c<0；③8a+c<0；④若抛物线经过点-3,n，则关于x的一元二次方程的两根分别为-3，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵对称轴为直线x= -b2a=1，且图象与x轴交于点（﹣1，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，
∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；
③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线经过点-3,n，
∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点5,n，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），
∴一元二次方程ax2+bx+c-n=0(a≠0)的两根分别为-3，5，
故④正确，
综上，上述结论中正确结论有①③④，
故答案为：C．

【练2】已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）经过点(-1,-1),(0,1)，当x=-2时，与其对应的函数值y>1．有下列结论：①；②关于x的方程ax2+bx+c-3=0有两个不等的实数根；③a+b+c>7．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）经过点(-1,-1),(0,1)，当x=-2时，与其对应的函数值y>1．
∴c=1＞0，a-b+c= -1,4a-2b+c＞1，
∴a-b= -2,2a-b＞0，
∴2a-a-2＞0，
∴a＞2＞0，
∴b=a+2＞0，
∴abc＞0，
∵ax2+bx+c-3=0,
∴△=b2-4a(c-3) =b2+8a＞0,
∴ax2+bx+c-3=0有两个不等的实数根；
∵b=a+2，a＞2，c=1，
∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，
∵a＞2，
∴2a＞4，
∴2a+3＞4+3＞7，
故答案为：D．

【例3】抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A(1,0)，B(m,0)（-20；②2a+c<0；③ a(m+1)-b+c>0；④若方程a(x-m)(x-1)-1=0有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a<0
把A(1,0)，B(m,0)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=0am2+bm+c=0，
∴am2+bm=a+b
∴am2+bm-a-b=0
(m-1)(am+a+b)=0
∵-2 ∴am+a+b=0
∴am=c,a(m+1)=-b
∴c>0
∴-1 ∵m+1<0
∴-12 ∴-12<-b2a<0
∴1>ba>0
∴a ①2b+c=2b-a-b=b-a>0，故①正确；
②2a+c=2a-a-b=a-b<0，故②正确；
③ a(m+1)-b+c=-2b+c=-2b-a-b=-3b-a>0，故③正确；；
④若方程a(x-m)(x-1)-1=0有两个不相等的实数根，
即ax2-a(m+1)x+am-1=0
Δ=a2(m+1)2-4a(am-1)
=a2(m+1)2-4a2m+4a
=b2-4a2⋅-a-ba+4a
=b2+4a2+4ab+4a
=b2+4a(a+b)+4a
=b2-4ac+4a>0
∴4ac-b2<4a，故④正确，即正确结论的个数是4，
故答案为：A．

【练1】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①abc>0；②﹣2＜b<-53；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（1，n），
∴对称轴x=-b2a=1，
∴b=-2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间
∴-3＜c＜-2＜0，
∴abc>0；故①正确；
∵抛物线线x轴的一个交点B（3，0），
∴9a+3b+c=0，抛物线线x轴的一个交点（-1，0），
∵b=-2a
∴c=3b2，
∴-3＜3b2＜-2，
∴﹣2＜b<-43，故②错误；
∵抛物线线x轴的一个交点（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③正确；
∵a＞0，∴-a＜0
∵b=-2a
∴3a+2b=-a＜0
∴2c﹣a＞2（a+b+c），
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），
∴a+b+c=n，
∴2c﹣a＞2n；故④错误；
故答案为：B

【练2】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2-4ac＞0；③4a+b=0；④不等式ax2+（b-1）x+c＜0的解集为1≤x＜3，正确的结论个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，故①正确；
∵抛物线与x轴没有交点
∴b2-4ac＜0，故②错误
∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）
a+b+c=19a+3b+c=3
∴8a+2b=2
∴4a+b=1，故③错误；
由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）
则抛物线与直线y=x交于这两点
∴ax2+b-1x+c＜0可化为ax2+bx+c 根据图象，解得：1＜x＜3
故④错误．
故答案为：A．

【练3】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A-2,0和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB=2OC，则下列结论：①a-bc>0；②2b-4ac=1；③a=14；④当-1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】解：①从图像观察，开口朝上，所以a>0，
对称轴在y轴右侧，所以b＜0，
图像与y轴交点在x轴下方，所以c<0
∴a-b>0,a-bc<0，所以①不正确；
②点A-2,0和点B，与y轴的负半轴交于点C(0,c)，且OB=2OC
设B(-2c,0)代入y=ax2+bx+c,得：
4ac2-2bc+c=0
∵c≠0 ∴2b-4ac=1，所以②正确；
③∵A-2,0，B(-2c,0)
设抛物线解析式为：y=a(x+2)(x+2c)过C(0,c)
∴c=4ac ∴a=14，所以③正确；
④如图：设AN,BM交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D，

根据抛物线的对称性，△APB 是等腰直角三角形，
∵A-2,0，B(-2c,0)
∴AB=2-2c，PQ=12AB=1-c
又对称轴x=-2+(-2c)2=c+1
∴P(c+1,c-1)
由顶点坐标公式可知D(c+1,4ac-b24a)
∵a=14∴D(c+1,c-b2)
由题意c-b21 或者b<-1
由①知b<0∴b<-1，所以④不正确．
综上所述：②③正确共2个
故答案为：B．
【例4】二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图象如图所示，对称轴为x=12，且经过点2,0．下列说法：①abc<0；②-2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若-12,y1，52,y2是抛物线上的两点，则y1mam+b+c（其中m≠12）．正确的结论有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点位于y轴正半轴，
∴a<0,c>0，
∵抛物线的对称轴为x=-b2a=12，
∴b=-a＞0，
∴abc<0，则结论①正确；
将点2,0代入二次函数的解析式得：4a+2b+c=0，则结论③错误；
将a=-b代入得：-2b+c=0，则结论②正确；
∵抛物线的对称轴为x=12，
∴x=32和x=-12时的函数值相等，即都为y1，
又∵当x≥12时，y随x的增大而减小，且32<52，
∴y1>y2，则结论④错误；
由函数图象可知，当x=12时，y取得最大值，最大值为14a+12b+c=-14b+12b+c=14b+c，
∵m≠12，
∴14b+c>am2+bm+c，
即14b+c>m(am+b)+c，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个，
故答案为：B．

【练1】二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，有下列结论：①，②4a-2b+c<0，③，④3a+c<0，正确的有（ ）


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-1，即-b2a=-1，
∴b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，
则与x轴的另一个交点在-2和-3之间，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故②错误；
∵x=-1时，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c，
∴a-b+c≥ax2+bx+c，
∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正确；
∵当x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a，
∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正确；
故答案为：C．

【练2】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为1,0，对称轴为x=-1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c=0；
②a-2b+c<0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为-3和1；
④若点-4,y1，-2,y2，3,y3均在二次函数图象上，则y1 ⑤a-b 其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为1,0，
∴当x=1时，a+b+c=0，
故结论①正确；
根据函数图像可知，
当x=-1，y<0，即a-b+c<0，
对称轴为x=-1，即-b2a=-1，
根据抛物线开口向上，得a＞0，
∴b=2a＞0，
∴a-b+c-b<0，
即a-2b+c<0，
故结论②正确；
根据抛物线与x轴的一个交点为1,0，
对称轴为x=-1可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为-3和1，
故结论③正确；
根据函数图像可知：y2 故结论④错误；
当x=m时，y=am2+bm+c=m(am+b)+c，
∴当m=-1时，a-b+c=m(am+b)+c，
即a-b=m(am+b)，
故结论⑤错误，
综上：①②③正确，
故答案为：C．

【练3】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点2,0，且对称轴为直线x=12，有下列结论：①；②a+b>0；③；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】解：①图像开口朝上，故a>0 ，根据对称轴“左同右异”可知，
图像与y轴交点位于x轴下方，可知c<0
∴abc>0
故①正确；
②x=-b2a=12得a=-b
∴a+b=0
故②错误；
③∵y=ax2+bx+c经过2,0
∴4a+2b+c=0
又由①得c<0
∴4a+2b+3c<0
故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到x=2与x=-1时的函数值相等
∴当x=-1时y=0，即a-b+c=0
∵a=-b
∴2a+c=0即c2a=-1
∴y=ax2+bx+c经过c2a，0，即经过(-1,0)
故④正确；
⑤当x=12时,y=14a+12b+c, 当x=m时,y=am2+bm+c
∵a>0
∴函数有最小值14a+12b+c
∴am2+bm+c≥14a+12b+c
化简得4am2+4bm-b≥0，
故⑤正确．
综上所述：①③④⑤正确．
故选D．

【练4】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①；②b2<4ac；③2c<3b；④a+2b>m(am+b)（m≠1）；⑤若方程ax2+bx+c＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】解：①∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点
∴b2-4ac>0
∴b2>4ac，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-b2a=1，
∴a=-12b
由图象得，当x=-1时，y=a-b+c<0，
∴-12b-b+c<0
∴2c<3b，故③正确；
④当x=1时，y=a+b+c的值最大，
∴当x=m(m≠1)时，a+b+c >am2+bm+c，
∴a+b>m(am+b)（m≠1），
∵b＞0，
∴a+2b>m(am+b)（m≠1），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（-ba）=2×2aa=4，所以⑤错误．
∴正确的结论是③④，
故选：A

【例5】函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】解∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误．
当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误．
∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0．故③正确．
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．
综上所述，正确的结论有③④两个，
故答案为：B

【练1】已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)，且a+b+c=-12,a-b+c=-32．判断下列结论：①abc<0；②；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当2≤x≤3时，y最小=3a；⑤该抛物线与直线y=x-c有两个交点，其中正确结论的个数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】解：∵a+b+c=-12,a-b+c=-32，
∴两式相减得b=12，两式相加得c=-1-a，
∴c<0，
∵a>0,b>0,c<0，
∴abc<0，故①正确；
∴2a+2b+c=2a+2×12-1-a=a>0，故②正确；
∵当x=1时，则y=a+b+c=-12，当x=-1时，则有y=a-b+c=-32，
∴当y=0时，则方程0=ax2+bx+c的两个根一个小于-1，一个根大于1，
∴抛物线与x轴正半轴必有一个交点，故③正确；
由题意可知抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-14a<0，
∴当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，有最小值，即为y=4a+2b+c=4a+1-1-a=3a，故④正确；
联立抛物线y=ax2+bx+c及直线y=x-c可得：x-c=ax2+bx+c，整理得：ax2-12x+2c=0，
∴Δ=14-8ac>0，
∴该抛物线与直线y=x-c有两个交点，故⑤正确；
∴正确的个数有5个；
故答案为：D．