第3章 第5课时 函数的奇偶性 课前-高中数学人教A版（2019）必修第一册课前课中课后同步试题精编

函数的奇偶性

分层演练  综合提升

基础巩固

1．下列函数中：①；②；③；④，偶函数的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．已知函数是偶函数，则下列方程一定是函数的图象一条对称轴方程的是（　　）

A． B．  C． D．

3.函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（    ）.

A． B． C． D．

4.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，，则______；不等式的解集为______.

5．判断下列函数的奇偶性：

（1）．（2）．

（3）．（4）

能力提升

1．已知函数，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

2.如果存在一个非零常数，使得对定义域中的任意的，总有成立，则称为周期函数且周期为.已知是定义在上的奇函数，且的图象关于直线（，为常数）对称，证明：是周期函数.

3.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中.

（1）求函数的解析式;

（2）若函数在区间不单调，求出实数的取值范围;

（3）当时，若，不等式成立，求实数的取值范围.

挑战创新

1.已知函数我们定义其中

（1）判断函数的奇偶性，并给出理由；

（2）求方程的实数根个数；

（3）已知实数满足其中求实数的所有可能值构成的集合.

参考答案：

基础巩固

1．C

①，定义域是，满足，所以是奇函数；

②，定义域是，定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；

③，定义域是R，满足，所以是偶函数；

④，定义域是，当时，当时，满足，所以是偶函数．

故选：C.

2．B

由为偶函数，图象关于轴对称，

把的图象上所有点的横坐标缩小到原来的，再向左平移个单位可得，故此时函数的图象关于x＝对称．

故选：B．

4.D

解：由函数为奇函数，得，

不等式即为，

又在单调递减，所以得，即，

故选：D.

4.1       

依题意，，解得:，

故函数在上单调递增，

故等价于，解得:，

故不等式的解集为:

故答案为：1；

5．（1）由得，∴函数的定义域为，

不关于原点对称．故既不是奇函数也不是偶函数．

（2）由得，即．

∴函数的定义域是，关于原点对称．

又，∴既是奇函数又是偶函数．

（3）函数的定义域为，关于原点对称．

又∵，

∴是偶函数．

（4）当时，，则

，

当时，，则

综上，对，都有． ∴为奇函数．

能力提升

1．C

由题意可得：恒成立，所以函数在上递增，

又，所以函数是奇函数，

当 时，即，所以，即；

当时，即，所以，即，

所以“”是“”的充要条件.

故选：C.

2.∵是定义在上的奇函数，∴，

的图象关于直线（，为常数）对称，所以，

∴.

从而.

∴是周期函数，且周期为.

3.（1）；（2）；（3）.

解：（1）由是定义在上的奇函数，所以；

又时，，

所以时，，所以

所以的解析式为；

（2）①若，由图在上递增；

②，在上先减再增

综上，；

（3）当时，，可得函数是定义域上的单调增函数

又是定义域上的奇函数，

由，不等式成立，可得

，

挑战创新

1.（1）偶函数；答案见解析；（2）实数根个数为11；（3）.

（1）因为的定义域关于原点是对称的，

又，故函数是偶函数；

（2）令，则，

于是，

于是或

又，解得或或或，

则方程的实数根个数即为或或或的根的总个数，

解得或或或或或，

所以方程的实数根个数为11；

（3）因为，

当时，在单调递减，且，，

则的值域均为，

①当时，，于是，

因为当时，，

所以，

所以，即，

注意到在单调递减，

于是，

于是，

②当时，类比同理可得

，

于是当且时，，

若，其中，，

则，即，也就是；

当时，因为的值域为，所以存在使得，

又，

所以，

即，

所以实数的所有可能值构成的集合为.