人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数一课一练

幂函数

学习目标：

1.理解幂函数的定义；

2.掌握幂函数的图象和性质，理解研究函数的一般方法；

3.能利用幂函数的图象和性质解决一些简单的数学问题.

知识要点：

1.幂函数

（1）一般地，函数_____叫做幂函数，其中是自变量，是常数.

2.完成下面的表格

3.幂函数的性质

（1）幂函数均过_______；

（2）幂函数中，是奇函数的是_______；是偶函数的是______；

（3）幂函数中，在上为增函数的是______，为减函数的是________；

（4）幂函数图象的渐近线为_________.

典型例题：

题组一　幂函数的定义与判断

例1. 已知幂函数是偶函数，则________.

变式：已知函数，当m为何值时，：

（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；

（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数.

题组二　幂函数的图象和性质的应用

例2. 已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

变式：幂函数在上单调递增，则的值为（    ）

A． B． C． D．或

题组三　与幂函数有关的复合函数的研究

例3. 点在幂函数的图象上，求函数的值域

变式：已知幂函数为奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）求函数的值域．

当堂检测：

1. 设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值有（   ）

A． B． C． D．

2. 若，则实数m的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

3. 已知幂函数的图象经过点，则函数____，若，则实数的取值范围是____．

4. 已知幂函数的图像关于y轴对称，且在区间内是减函数，则的解析式为________．

参考答案：

知识要点：

1.（1）.

2.完成下面的表格

3.（1）；（2），；（3），，（4）直线.

典型例题：

例1.

因为函数为幂函数，所以，解得或.

当时，，函数为奇函数，不合题意；

当时，，函数为偶函数，所以.

故答案为：.

变式：（1）因为函数是幂函数，所以，解得：或；

（2）当时，，函数在上是减函数，

当时，，函数在上是增函数，

综上可知：时，满足条件；

（3）若函数是正比例函数，则，解得：；

（4）若函数是反比例函数，则，解得：；

（5）若函数是二次函数，则，解得：.

例2. D

由题意得：，得或

当时，图象关于y轴对称，不成立；

当时，是奇函数，成立；

所以不等式转化为，即，解得.

故选：D

变式：A

解：幂函数在上单调递增，

，且，解得或，

当时符合题意；

当时不符合题意；

故选：．

例3.因为点在幂函数的图象上，

所以，即，，所以，

故，，

，

因为，所以，所以，

所以函数的值域为.

变式：（1）∵函数为幂函数，

，解得或5，

当时，，为奇函数，

当时，，为偶函数，

函数为奇函数，；

（2）由（1）可知，，则，，

令，则，，

则，，

函数为开口向下，对称轴为的抛物线，

当时，函数，

当，函数取得最大值为1，

的值域为，故函数的值域为．

当堂检测：

1. BC

时，的定义域是，不正确；

时，函数的定义域是，且是奇函数，故正确；

是，函数的定义域是，且是奇函数，故正确；

时，函数的定义域是，不正确.

故选：BC

2.C

因为幂函数在和上都是单调递减的，

所以，由可得或或

解得或，

即实数m的取值范围为.

故选：C.

3.        

设幂函数，由，得到，于是；

若，则，所以，解得．

故答案为；

4.

因幂函数在区间内是减函数，

则有，解得，而，于是得，

又的图象关于y轴对称，则函数为偶函数，即幂指数为偶数，

而或时是奇数，时为偶数，

所以，的解析式为.

故答案为：