第一章+第一课时+1.1.1+空间向量及其线性运算+课中-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课前课中课后同步试题精编

这是一份第一章+第一课时+1.1.1+空间向量及其线性运算+课中-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课前课中课后同步试题精编，共8页。
1.1.1  空间向量及其线性运算学习目标：1．理解空间向量的概念．（难点）2．掌握空间向量的线性运算．（重点）3．掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．（重点、难点）方法要点：1．空间向量的概念问题在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．2．利用数乘运算进行向量表示的注意点（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．3．向量共线的判定及应用（1）证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．（2）判断或证明两向量，共线，就是寻找实数，使成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．（3）判断或证明空间中的三点（如，，）共线的方法：是否存在实数，使＝；4．解决向量共面的策略（1）若已知点在平面内，则有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．（2）证明三个向量共面方法：①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若，则向量，，共面；②寻找平面，证明这些向量与平面平行．（3）证明空间四点，，，共面方法：①；②对空间任一点，；③对空间任一点，；④（或，或）．典型例题：题组一  向量概念的应用例1  （1）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ）A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量，满足，则D．相等向量其方向必相同（2）（多选）下列说法中正确的是（    ）A．若，则，的长度相同，方向相同或相反B．若向量是向量的相反向量，则C．空间向量的加法满足结合律D．任一向量与它的相反向量不相等变式：下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________．①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；②平行且模相等的两个向量是相等向量；③若，则；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．题组二  空间向量线性运算例2  在空间四边形中，为的重心，，，分别为边，和的中点，化简下列各表达式．（1）；（2）．变式：在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）A．     B．       C．       D．题组三  向量共线判定及应用例3  如图所示，已知四边形是空间四边形，，分别是边，的中点，，分别是边，上的点，且，．求证：四边形是梯形．变式：（1）已知，，三点共线，为直线外空间任意一点，若，则________．（2）如图所示，在正方体中，在上，且，在对角线上，且．求证：，，三点共线．题组三  向量共面的判定例4  已知，，三点不共线，平面外一点满足．（1）判断，，三个向量是否共面；（2）判断是否在平面内．变式（1）如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：向量，，共面．（2）已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点，求证：①，，，四点共面；②平面．当堂检测：1．设有四边形，为空间任意一点，且，则四边形是（    ）A．空间四边形        B．平行四边形         C．等腰梯形          D．矩形2．若空间中任意四点，，，满足，其中，则（    ）A．直线B．直线C．点可能在直线上，也可能不在直线上D．以上都不对3．在下列条件中，使与、、一定共面的是（    ）A．                   B．C．                      D．4．已知点在平面内，并且对空间任意一点，都有，则的值是（    ）A．1                 B．0                  C．3                 D．5．已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是________．参考答案例1（1）答案  D解析  A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D．（2）答案  BC解析  ，说明与模相等，但方向不确定；对于的相反向量，故，从而B正确；空间向量的加法满足结合律，C正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC．变式：答案  ①解析  根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当时，也有，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．例2  解  （1）因为是的重心，所以，所以，又因为，所以由向量的加法法则，可知．从而．（2）如图所示，分别取，的中点，，连接，，则四边形为平行四边形，且有，，而，，所以．变式答案  A解析  ．例3  证明  ∵，分别是，的中点，∴，，则，∴且．又不在直线上，∴四边形是梯形．变式：（1）答案  1解析  由于，，三点共线，所以存在实数，使得，即，所以，所以，，所以．（2）证明  设，，，因为，，所以，，所以，，所以．又，所以，所以，，三点共线．例4  解（1）∵，∴，∴，∴向量，，共面．（2）由（1）知，向量，，共面，而它们有共同的起点，且，，三点不共线，∴，，，共面，即在平面内．变式（1）证明  因为在上，且，所以．同理．所以．又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．（2）证明  如图，连接，．①因为，由向量共面的充要条件知向量，，共面，即，，，四点共面．②因为，所以．又平面，平面，所以平面．当堂检测：1．【答案】B【解析】【分析】由题意，化简可得，利用向量相等证明四边形为平行四边形．【详解】由已知得，即，是相等向量，因此，的模相等，方向相同，即四边形是平行四边形．故选B．【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量相等的意义，属于中档题．2．【答案】A【解析】【分析】利用减法法则化简已知得，再根据，有公共起点，即可判断得解．【详解】因为，所以，所以，即，即，所以与共线．又，有公共起点，所以，，三点在同一直线上，即直线．故选：A3．【答案】C【解析】【分析】根据四点共面需要满足的条件，对四个选项进行逐一分析即可得到结果．【详解】空间的四点、、、四点共面，只需满足，且即可，对于A，中，故此时四点、、、四点不共面；对于B，中，此时四点、、、四点不共面；对于C，，，即，，此时四点、、、四点共面；对于D，，则，，此时四点、、、四点不共面；故选：C【点睛】本题考查空间中四点共面的判断，注意四点共面判断的二级结论的使用即可．4．【答案】D【解析】【详解】试题分析：因为，且，，，四点共面，所以必有，解得，故选D．考点：空间向量的共面问题．5．【答案】【解析】【分析】由平面向量共线定理可设，由平面向量基本定理列方程即可求解．【详解】若与共线，则因为非零向量，不共线，所以，即，所以，故答案为：