第一章+第七课时+1.4.1.1+空间中点、直线和平面的向量表示+课前-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课前课中课后同步试题精编

1.4.1.1  空间中点、直线和平面的向量表示

【知识要点】

知识点一  空间中点的位置向量

如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．

知识点二  空间中直线的向量表示式

直线l的方向向量为，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①

把代入①式得，②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式．

知识点三  空间中平面的向量表示式

1．平面的向量表示式

空间一点P位于平面内的充要条件是存在实数x，y，使．③

我们把③式称为空间平面的向量表示式．

2．平面的法向量

如图，若直线，取直线l的方向向量，我们称为平面α的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合．

【公式概念应用】

1．判断

（1）若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．（    ）

（2）平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．（    ）

（3）直线的方向向量是唯一的．（    ）

2．已知，则平面的一个法向量是（    ）

A．     B．    C．    D．

3.在如图所示的坐标系中，表示棱长为1的正方体，给出下列结论：

①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为；③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为．

其中正确的是________．（填序号）

参考答案

1．【答案】（1）（√）  （2）（×）  （3）（×）

【解析】

【分析】

【详解】

2．【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】．

设平面的法向量为，则有

取，则．

故平面的一个法向量是．

3．【答案】①②③

【解析】

【分析】

【详解】，故①正确；，故②正确；直线平面，，故③正确；向量的坐标为，与平面不垂直，∴④错．