第一章+第七课时+1.4.1.1+空间中点、直线和平面的向量表示+课后-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课前课中课后同步试题精编

1.2  空间向量基本定理

学习目标：

1．理解空间向量的正交分解，空间向量的基本定理，

2．能用空间一个基底表示空间的任意向量．（重点）

知识要点：

1．基底的判断思路

（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．

（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．

2．用基底表示向量的步骤

（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．

（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．

（3）下结论：利用空间的一个基底可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量．

典型例题：

题组一  空间的基底

例1  已知是空间的一个基底，且，试判断能否作为空间的一个基底．

变式  （1）设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③，其中可以作为空间一个基底的向量组有（    ）

A．1个      B．2个      C．3个      D．0个

（2）已知空间的一个基底，，若与共线，则________．

题组二  空间向量基本定理

例2  如图，在三棱柱中，已知，点M，N分别是的中点，试用基底表示向量．

变式  如图，四棱锥的底面为一矩形，平面，设，E，F分别是和的中点，试用表示．

当堂检测：

1. 以下四个命题中正确的是（    ）

A．基底中可以有零向量

B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底

C．为直角三角形的充要条件是

D．空间向量的基底只能有一组

2. 已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，不能构成空间基底的向量是（    ）

A．      B．      C．      D．或

3. 下列能使向量成为空间的一个基底的关系式是（    ）

A．      B．

C．      D．

4．已知，若，则的值分别为________．

5．如图，在梯形中，，点O为空间任一点，设，则向量用表示为________．

6．如图，已知平面，四边形为正方形，G为的重心，，试用基底表示向量．

答案

例1  【答案】证明见详解

【解析】

【分析】

【详解】解  假设共面．

则存在实数使得，

∴

，

∵不共面，

∴此方程组无解，

∴不共面，

∴可以作为空间的一个基底．

变式（1）  【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】因为，所以向量共面．

如图，

令，则，

．

可知向量，，和不共面，故选B．

（2）【答案】0

【解析】

【分析】

【详解】因为与共线，所以．

所以

所以

所以．

例2  【答案】

【解析】

【分析】

【详解】解  连接（图略）．

．

．

变式  【答案】

【解析】

【分析】

【详解】解  连接，

则

．

．

．

．

当堂检测：

1．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；为直角三角形并不一定是，可能是，也可能是，故C不正确；空间基底可以有无数多组，故D不正确．

2．【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】∵且，不共线，∴，，共面，∴与，不能构成一组空间基底．

3．【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】对于选项A，由四点共面知，共面；对于选项B，D，可知共面，故选C．

4．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】∵

，

∴∴

5．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】∵，

∴，∴，∴．

6．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】延长交于点N，则N为的中点，

．

．