第一章+第二课时+2.1.2+两条直线平行和垂直的判定+课前-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课前课中课后同步试题精编

1.3.1.空间直角坐标系

学习目标：

1．了解空间直角坐标系．

2．能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．

方法要点：

1．建立空间直角坐标系的原则

①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面．

②充分利用几何图形的对称性．

（2）求某点M的坐标的方法

作垂直平面，垂足，求的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标．

2．空间点对称问题的解题策略

（1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．

（2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．

3．向量坐标的求法

（1）点A的坐标和向量的坐标形式完全相同；

（2）起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．

典型例题：

题组一  求空间点的坐标

例1  （1）画一个正方体，若以A为坐标原点，以棱所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则

①顶点A，C的坐标分别为________________；

②棱中点的坐标为________；

③正方形对角线的交点的坐标为________．

（2）已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．

变式  在棱长为1的正方体中，E，F分别是的中点，G在棱上，且，H为的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．

题组二  空间点的对称问题

例2  在空间直角坐标系中，已知点．

（1）求点P关于x轴对称的点的坐标；

（2）求点P关于平面对称的点的坐标；

（3）求点P关于点对称的点的坐标．

变式已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则点的坐标为________．

题组三  空间向量的坐标

例3  已知直三棱柱中，，M为的中点，N为的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．

变式已知，设点A，B在平面上的射影分别为，则向量的坐标为__________．

当堂检测：

1．点在空间直角坐标系中的位置是在（    ）

A．y轴上    B．面上    C．面上    D．面上

2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ）

A．    B．    C．    D．

3．在空间直角坐标系中，点到平面的距离是（    ）

A．1    B．2    C．3    D．

4．点关于平面的对称点的坐标为______；点P关于z轴的对称点的坐标为________．

5．在长方体中，若，则向量的坐标为________．

参考答案

典型例题：

例1．【答案】（1）①  ②  ③；（2），答案不唯一．

【解析】

【分析】

【详解】（1）；

（2）解∵正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为10，

∴正四棱锥的高为．

以正四棱锥的底面中心为原点，平行于所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面的直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则正四棱锥各顶点的坐标分别为，答案不唯一．

变式  【答案】坐标为．F点坐标为．G点坐标为．H点坐标为．（答案不唯一）

【解析】

【分析】

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系．

点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0，

而E为的中点，

故其坐标为．

由F作，垂足分别为M，N，

由平面几何知识知，，

故F点坐标为．

因为，G，C均在y轴上，

故G点坐标为．

由H作，可得，

故H点坐标为．（答案不唯一）

例2．【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

【分析】

【详解】（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为．

（2）由点P关于平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为．

（3）设对称点为，则点M为线段的中点，

由中点坐标公式，可得，

，

所以的坐标为．

变式：【答案】

【解析】

【分析】

【详解】点关于坐标平面的对称点的坐标为，点关于坐标平面的对称点的坐标为，点关于z轴的对称点的坐标是．

例3：【答案】

【解析】

【分析】

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设，

，

，

∴

．

变式【答案】

【解析】

【分析】

【详解】点在平面上的射影分别为，

∴向量的坐标为．

当堂检测

1．【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

2．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

3．【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

4．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】点关于平面的对称点的坐标为，点P关于z轴的对称点的坐标为．

5．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】．