高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程课时训练

第二章  章末复习

学习目标：

1．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养．

2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养．

3．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养．

4．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养．

方法要点：

1  一般式方程下两直线的平行与垂直：

已知两直线的方程为：（不同时为0），：（不同时为0），则且．

2 

3  直线与圆问题的类型

（1）求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得．

（2）弦长问题：常用几何法（垂径定理），也可用代数法结合弦长公式求解．

4  两圆的公共弦问题

（1）若圆：与圆：相交，则两圆公共弦所在直线的方程为．

（2）公共弦长的求法

①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．

典型例题：

题组一、两直线的平行与垂直

例1  已知四点，若直线与直线平行，则________．

变式  已知直线：，：．若，则实数a的值为________．

题组二、两直线的交点与距离问题

例2  过点作直线l使它被直线：和：截得的线段被点P平分，求直线l的方程．

变式  已知直线l过直线：与直线：的交点，且点到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为（    ）

A．0      B．1      C．2      D．3

题组三、直线与圆的位置关系

例3  已知直线l：和圆C：．

（1）时，证明l与C总相交；

（2）m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．

变式  已知圆C关于直线对称，且过点和原点O．

（1）求圆C的方程；

（2）相互垂直的两条直线，都过点，若，被圆C所截得的弦长相等，求此时直线的方程．

题组四、圆与圆的位置关系

例4  已知圆：与圆：．

（1）证明圆与圆相切，并求过切点的两圆公切线的方程；

（2）求过点且与两圆相切于（1）中切点的圆的方程．

变式  已知圆：与圆：．

①求证：两圆相交；

②求两圆公共弦所在直线的方程．

当堂检测：

1．设，直线和圆相切，则a的值为________．

2．在平面直角坐标系中，点A在圆C：上，点P的坐标为，则的最小值为________．

3．已知点C在直线l：上，点，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若，则圆的方程为________________．

4．如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥（是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路．规划要求：线段上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为和（C，D为垂足），测得（单位：百米）．

（1）若道路与桥垂直，求道路的长；

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由．

参考答案

例1．【答案】3

【解析】

【分析】

【详解】，

当，即时，

，的斜率不存在．

∴和不平行；

当时，．

由，得，即．

∴或．

当时，，

∴与平行．

当时，，

∴与重合．

∴当时，直线和直线平行．

变式【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

例2．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】设与l的交点为，

则由题意知，点A关于点P的对称点在上，

代入的方程得，

解得，即点在直线l上，

所以直线l的方程为．

变式【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】方法一  由得

即直线l过点．设点，因为，

所以满足条件的直线l有2条．故选C．

方法二  依题意，设经过直线与交点的直线l的方程为，即．由题意得，化简得，

解得或，代入得直线l的方程为或，故选C．

例3．【答案】（1）直线l与圆C总相交，证明见详解；（2）当时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为

【解析】

【分析】

【详解】（1）证明  直线的方程可化为，

由点斜式可知，直线恒过点．

由于，

所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．

（2）圆的方程可化为．

如图，当圆心到直线l的距离最大时，线段的长度最短．

此时，

又，所以直线l的斜率为，

则，所以．

在中，．

所以．

故当时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为．

变式【答案】（1）  （2）或

【解析】

【分析】

【详解】（1）由题意知，直线过圆C的圆心，设圆心．

由题意，得，

解得．

因为圆心，半径，

所以圆C的方程为．

（2）由题意知，直线，的斜率存在且不为0，

设的斜率为k，则的斜率为，

所以：，即，

：，即．

由题意，得圆心C到直线，的距离相等，

所以，解得，

所以直线的方程为或．

例4．【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

【详解】解  （1）把圆与圆都化为标准方程形式，得．

圆心与半径长分别为；

．

因为，

所以圆与圆相切．

由得，

即，就是过切点的两圆公切线的方程．

（2）由圆系方程，可设所求圆的方程为

．

点在此圆上，将点坐标代入方程解得．

所以所求圆的方程为，即．

变式【答案】（1）证明见详解；（2）

【解析】

【分析】

【详解】（1）证明  圆的方程可化为，圆的方程可化为，

∴，两圆的半径均为，

∵，

∴两圆相交．

（2）将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，

，即．

当堂检测

1．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】由已知条件可得圆的标准方程为，其圆心为，半径为2，由直线和圆相切可得，解得．

2．【答案】1

【解析】

【分析】

【详解】，

即，

圆心坐标为，半径长为1．

∵点P的坐标为，∴点P在圆C外．

又∵点A在圆C上，

∴．

3．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切，可得点C的横坐标为，圆的半径为1，．又因为，

所以，所以，

所以点C的纵坐标为．

所以圆的方程为．

4．【答案】（1）15百米；（2）P和Q均不能选在D处，理由见详解

【解析】

【分析】

【详解】（1）如图，过O作，垂足为H．

以O为坐标原点，直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

因为，

所以，直线l的方程为，点A，B的纵坐标分别为3，．

因为为圆O的直径，，

所以圆O的方程为．

从而，直线的斜率为．

因为，所以直线的斜率为，

直线的方程为．

所以，．

所以道路的长为15（百米）．

（2）①若P在D处，取线段上一点，则，

所以P选在D处不满足规划要求．

②若Q在D处，连接，由（1）知，又，

所以线段：．

在线段上取点，

因为，

所以线段上存在点到点O的距离小于圆O的半径．

因此Q选在D处也不满足规划要求．

综上，P和Q均不能选在D处．