初中数学人教版九年级下册27.3 位似教案

 位似

《位似》是图形变换的知识，它是在学生学习了平移、轴对称和旋转这三种图形全等变换知识之后的又一种新的变换，是初中阶段学习的第四种图形变换知识.位似是一种特殊的相似，它研究的是对应点的连线都交于一点的两个相似图形之间的关系.

位似这节内容，主要解决两个问题：一是研究位似图形的定义、画法和性质；二是研究在平面直角坐标系中位似图形的对应点坐标的变化.同时，教材还对学生已学四种图形变换知识进行了总结，让学生在一个设计图案中辨析这些变换.

1. 了解位似图形及其相关概念；掌握位似图形的画法，知道会用位似将一个图形放大或缩小；在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与图形是位似的.
2. 经历平面直角坐标系下的位似图形坐标的变化规律的探索过程，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.
3. 经历位似变换作图，培养学生学习数学的兴趣.

【教学重点】

 位似图形的有关概念、作图及两个位似图形坐标之间的关系.

【教学难点】

1．位似图形的作图；

2．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标的变化规律.

多媒体课件、教具等.

一、创设情境，引入新课

问题1  在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？ 

问题2  如图所示的五边形，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2.应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？

二、合作交流，探究新知

问题3    观察下图，图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？

归纳位似图形的概念：

每幅图的两个多边形不仅是相似图形，而且是每组对应点连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时我们说这两个图形关于这点位似.

问题4    你能利用位似，把一个图形放大或缩小吗？请把图中的四边形ABCD缩小到原来的.

分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 .

作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；

（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；

（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得；

（4）顺次连接、、、，得到所要画的四边形.

追问：你还有其它方法作出符合条件的图形吗？

作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；

（2）过点O分别作射线OA， OB， OC，OD；

（3）分别在射线OA， OB， OC， OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得；

（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′.

作法三：

（1）在四边形ABCD内任取一点O；

（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；

（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，

使得；

（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′.

问题5    (1)如图(1)，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0).以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？

(2)如图(2)，△AOC三个顶点坐标分别为A(4，4)，B(0，0)，C(5，0)，以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大.观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？

问题6    至此，我们已经学习了平移、轴对称、旋转和位似等图形的变化方式.在下面的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？

分析：观察的角度不同，答案就不同.如：它可以看作是一排图案顺时针旋转60°角，连续旋转六次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心在图形的正中心……，等等.

三、运用新知

例1：如图，△ABO三个顶点坐标分别为A(-2，4)，B(-2，0)，O(0，0).以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为.

解：如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A′（-3，6），B′（-3，0），O（0，0）.顺次连接点A′，B′，O，△A′B′O就是要画的一个图形.

追问：还可以得到其它图形吗？自己试一试.

例2：如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.

（1）图中△ABC与△ADE是否位似？为什么？

（2）求古塔的高度.

解析：根据位似图形的概念，△ABC与△ADE中，BC与DE平行，两个三角形相似，且对应顶点的连线相交于一点，所以△ABC与△ADE位似.利用相似三角形对应边成比例，可求出DE的长，故古塔的高度是16 m.

四、巩固新知

练习1  下列说法正确的是（    ）

A、相似的两个五边形一定是位似图形

B、两个大小不同的正三角形一定是位似图形

C、两个位似图形一定是相似图形

D、所有的正方形都是位似图形

解析：位似图形是相似图形的特例，相似图形不一定是位似图形，故答案应选择C.

练习2  两个位似多边形一对对应顶点到位似中心的距离比为1∶2，且它们面积和为80，则较小的多边形的面积是（    ）

A、16                 B、32                C、48                D、64

解析：位似图形必定相似，具备相似形的性质，其相似比等于一对对应顶点到位似中心的距离比.相似比为1∶2，则面积比为1∶4，由面积和为80，得到它们的面积分别为16，64.故答案应选择A.

练习3  如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2).

（1）将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标；

（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标；

（3）将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，写出A3、B3、C3三点的坐标.

练习4   利用位似的方法把下图缩小到原来的一半，要求所作的图形在原图内部.

答案：

解析：利用位似的方法作图，要求所作图要位于原图内部，关键是确定位似中心，本题的位似中心取在原图内部，（1）在五边形ABCDE内部任取一点O.

（2）以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.

（3）分别在射线OA、OB、OC、OD、OE上取点A′、B′、C′、D′，使OA∶OA′=OB∶OB′=OC∶OC′=OD∶OD′=OE∶OE′=2∶1.

（4）连接A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′.

五、归纳小结

回顾本节课的学习，回答下列问题：

什么样的图形叫做位似图形？位似中心是什么？利用位似如何给一个多边形放大或缩小？在直角坐标系中，如何研究两个位似图形对应点的坐标之间的关系？我们以前学过的平移、对称、旋转变换，它们的特点是什么？位似变换的特点是什么？

略.