山东省聊城市冠县武训高级中学2022-2023学年高一数学上学期12月月考试题（Word版附解析）

高一模拟选课走班调考

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式得到，从而求出交集.

【详解】，

故.

故选：A

2. 关于命题“”，下列判断正确的是（    ）

A. 该命题是全称量词命题，且是真命题

B. 该命题是存在量词命题，且是真命题

C. 该命题是全称量词命题，且是假命题

D. 该命题是存在量词命题，且是假命题

【答案】B

【解析】

【分析】举出实例，得到命题为真命题，选出答案.

【详解】显然为存在量词命题，不妨令，此时满足，故为真命题.

故选：B

3. 下列函数在定义域上为增函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数解析式直接判断出ACD的单调性，B选项先化为分段函数，再得到单调性，选出答案.

【详解】在R上单调递减，不合题意，A错误；

，在上单调递减，在上单调递增，B错误；

在上单调递增，但在定义域上不具有单调性，C错误；

在上单调递增，D正确.

故选：D

4. 已知符号函数，则“”是“”的（    ）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意结合充分条件和必要条件的概念判断即可．

【详解】若，则一个值为1另一个值为－1或两个值全为0，则或；

若，则异号，则一个值为1另一个值为－1，所以．

故“”是“”的必要不充分条件．

故选：C．

5. 函数部分图象大致是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出的奇偶性，排除AC，再代入特殊值，排除D，选出正确答案.

【详解】定义域为R，

且，

故为偶函数，关于y轴对称，AC错误；

，，故B正确，D错误.

故选：B.

6. 设，则的最小值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】对变形后，利用基本不等式求出最小值.

【详解】因为，所以，

故，

当且仅当，即时，等号成立.

故选：D

7. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得，，又由，可得，化简得，代入即可得答案.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

又因为，

所以，

所以.

故选：A.

8. 已知函数，满足，若与图象的交点为，则（    ）

A.  B. 0 C. 4 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】判断出与均关于轴对称，从而得到与图象的交点关于轴对称，从而得到.

【详解】因为，所以关于轴对称，

又关于轴对称，

故与图象的交点关于轴对称，

不妨设关于轴对称，关于轴对称，

则.

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】由题意可得，，

根据补集的运算判断A；

根据元素与集合的关系或集合与集合的关系判断；

由题意可得，从而即可判断C，D.

【详解】解：因为，

，

所以，所以A错误；

对于B，由题意可得或，故错误；

对于C，由题意可得，所以，故正确；

对于D，由题意可得，故正确.

故选：CD.

10. 某城市有一个面积为1的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道宽度使矩形草坪为黄金矩形？下列选项不正确的是（    ）

A. 步行道的宽度为m B. 步行道的宽度为m

C. 步行道的宽度为5m D. 草坪不可能为黄金矩形

【答案】ABC

【解析】

【分析】设广场的宽为m，则长为m，步行道的宽度为m，根据黄金矩形的比例关系列出方程，求出，从而得到D正确，ABC错误.

【详解】设该广场的宽为m，则长为m，

所以，

设步行道的宽度为m，使得草坪为黄金矩形，

由于，

则，

解得：，

故草坪不可能为黄金矩形，D正确，ABC错误.

故选：ABC

11. 已知定义在上的偶函数，，，且当时，，则（    ）

A.  B. 当时，

C. 在上为减函数 D. 恰有两个零点

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，赋值法得到；

C选项，根据当时，，结合单调性的定义得到在上为减函数，结合函数奇偶性得到在上为减函数；

B选项，根据单调性及得到当时，；

D选项，由单调性及作出判断.

【详解】中，令得：，

解得：，A正确；

因为为上的偶函数，所以，

不妨设，且，令，

则，故，

所以在上为减函数，

因为为上的偶函数，所以在上为增函数，C错误；

故当时，，B正确；

因为在上为增函数，且，在上为减函数，，

所以恰有两个零点，D正确.

故选：ABD

12. 高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．如，，，记函数，则（    ）

A.  B. 的值域为

C. 在上有5个零点 D. ，方程有两个实根

【答案】BD

【解析】

【分析】根据高斯函数的定义，结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】，选项A错误；

当时，，

当时，，；

当时，，

……以此类推，可得的图象如下图所示，

由图可知，的值域为，选项B正确；

由图可知，在上有6个零点，选项C错误；

，函数与的图象有两个交点，如下图所示，

即方程有两个根，选项D正确．

故选：BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上

13. ____________．

【答案】5

【解析】

【分析】根据指数幂运算公式和对数运算性质计算即可.

【详解】．

故答案为：5．

14. 写出一个与的定义域和值域均相同，但是解析式不同的函数：____________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】先求出的定义域和值域，从而写出满足要求.

【详解】的定义域为R，值域为，

故可令，定义域为R，值域为，满足要求.

故答案为：.

15. 表示p，q两者中较大的一个．记，，，则的最小值为____________．

【答案】

【解析】

【分析】作出函数，图像，进而结合题意，数形结合求解即可.

【详解】解：如图，作出函数，图像，

所以，图像实线图像即为函数的图像，

由图可知，当时，有最小值

所以，的最小值为

故答案为：

16. 已知函数的最大值为0，不等式的解集为，则____________，m的值为____________．

【答案】    ①. 0    ②. -4

【解析】

【分析】根据二次函数的最大值为0得到，利用韦达定理得到，代入到中，求出.

【详解】由题意得：，

两根为，

则，

故，

故，解得：，

故答案为：0，-4

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知命题，．

（1）当时，p是q的什么条件？

（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．

【答案】（1）充分不必要条件   

（2）

【解析】

【分析】（1）解不等式得到，，从而得到p是q的充分不必要条件；

（2）分和两种情况，不合要求，当时，结合p是q的必要不充分条件，得到是的真子集，求出m的取值范围.

【小问1详解】

，解得：，故，

时，，解得：，故，

因为是的真子集，故p是q的充分不必要条件；

【小问2详解】

，

即，

当时，不等式解集为，

即，此时，，不合题意，舍去；

当时，不等式解集为，

若p是q的必要不充分条件，

则是的真子集，

故，

m的取值范围是.

18. 已知函数

（1）证明：当时，至少有一个零点．

（2）当时，关于x的方程在上没有实数解，求m的取值范围．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】(1)根据零点存性定理可得；（2）判断单调性求值域，最后求解.

【小问1详解】

当时，

因为，

根据零点存在性定理，可知在上至少一个零点.

【小问2详解】

当时，于x的方程变为：

又因为函数上单调递减，所以的值域为

方程在上没有实数解，则

19. 已知幂函数的图象过点．

（1）求的解析式；

（2）若，，求a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数为幂函数，得到，求出或-1，检验后得到；

（2）化为，，根据单调性得到，从而求出a的取值范围.

【小问1详解】

为幂函数，故，

解得：或-1，

当时，，显然图象不过点，不合题意，舍去；

当时，，图象过点，满足要求，

综上：；

【小问2详解】

，，

即，，

其中在上单调递减，

故，

所以，a的取值范围是.

20. 已知函数（，且）．

（1）判断的奇偶性，并证明你的结论．

（2）当（其中，且m为常数）时，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

（3）当时，解不等式．

【答案】（1）为奇函数，理由见解析   

（2）答案见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）先求出定义域，再判断出，故为奇函数；

（2）分与两种情况，结合复合函数单调性得到的单调性，从而得到结论；

（3）由奇偶性和单调性解不等式，得到不等式组，求出解集.

【小问1详解】

为奇函数，理由如下：

令，解得：，

故的定义域为，

又，

故奇函数，

【小问2详解】

由（1）可知：，时，，

当时，单调递减，

而在，上单调递减，

故在，上单调递增，

所以不存在最小值，

当时，单调递增，

此时在，上单调递减，

所以存在最小值，最小值为，

综上：当时，不存在最小值，

当时，存在最小值，最小值为.

【小问3详解】

当时，

故在上单调递增，

因为为奇函数，

所以，

故，解得：，

综上：不等式的解集为.

21. 对于函数，若在定义域内存在两个不同的实数x，满足，则称为“类指数函数”．

（1）已知函数，试判断是否为“类指数函数”，并说明理由；

（2）若为“类指数函数”，求a的取值范围．

【答案】（1）不是 “类指数函数”   

（2）

【解析】

【分析】（1）是否为“类指数函数”，可以转化为方程是否存在两个不同的实数根；

（2）是否为“类指数函数”， 转化为方程是否存在两个不同的实数根，进一步化简、换元转化为一元二次方程求解.

【小问1详解】

若函数为“类指数函数”，则在定义域内存在两个不同的实数x满足方程，.

由于函数与在R上均单调递增，所以在R上均单调递增，至多有一个零点，所以不是 “类指数函数”.

【小问2详解】

若函数为“类指数函数”，则方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，

整理得，

设，则方程有两个不等的正根，

，由，解得或；

由，解得；由，解得.

所以.

故a的取值范围．

22. 某地在曲线C的右上角区域规划一个科技新城，该地外围有两条相互垂直的直线形回道，为交通便利，计划修建一条连接两条国道和曲线C的直线形公路．记两条相互垂直的国道分别为，，计划修建的公路为．如图所示，为C的两个端点，测得点A到，的距离分别为5千米和20千米，点B到，的距离分别为25千米和4千米．以，所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．假设曲线C符合函数（其中m，n为常数）模型．

（1）求m，n的值．

（2）设公路与曲线C只有一个公共点P，点P的横坐标为．

①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域．

②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．

【答案】（1）；   

（2）①，；

当时，公路当的长度最短，最短长度为千米.②

【解析】

【分析】(1)由题意得函数过点，点，列方程组就可解出m，n值；

(2)①求公路长度的函数解析式，就是求出直线与轴交点，再利用两点间距离公式计算即可，关键是利用导数几何意义求出直线方程，再根据为的两个端点的限制条件得定义域为；

②对函数解析式解析式根式内部分利用基本不等式求最小值，即可得的最小值及此时t的值.

【小问1详解】

解：由题意知，点，点，

将其分别代入，

得，解得.

【小问2详解】

解：①由（1）知，，

则点的坐标为，

设在点处的切线交轴分别于点，

因为，

∴的方程为，

由此得.

故，；

②因为，

又因为，当且仅当，即时，等号成立，

所以，当时，等号成立，

所以当时，公路当的长度最短，最短长度为千米.