2023高考数学二轮复习（知识点多）专题31 直线、平面垂直的判定与性质（原卷＋解析版）

这是一份2023高考数学二轮复习（知识点多）专题31 直线、平面垂直的判定与性质（原卷＋解析版），文件包含2023高考数学二轮复习知识点多专题31直线平面垂直的判定与性质解析版docx、2023高考数学二轮复习知识点多专题31直线平面垂直的判定与性质原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共79页， 欢迎下载使用。
专题31 直线、平面垂直的判定与性质
【考点预测】
知识点1：直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言
图形语言
符号语言
判断定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直



面⊥面⇒线⊥面
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直


_

_
a


平行与垂直的关系
一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直


_





平行与垂直的关系
两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直
a
_
b
_
a



知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行
a
_
b
_
a




文字语言
图形语言
符号语言

垂直与平行的关系
垂直于同一直线的两个平面平行


_





线垂直于面的性质
如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直



知识点4：平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直


_








知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言
图形语言
符号语言



性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直


_

_
a


【方法技巧与总结】
线线线面面面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质；
⑦平行线垂直直线的传递性（）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（）；
⑤面面垂直的性质（）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）．
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置．
性质
性质
性质
性质
性质
判定
判定
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
线⊥面
线⊥线
面⊥面

【题型归纳目录】
题型一：垂直性质的简单判定
题型二：证明线线垂直
题型三：证明线面垂直
题型四：证明面面垂直
【典例例题】
题型一：垂直性质的简单判定
例1．（2022·江西·高三阶段练习（理））如图，在四面体中，，，，，则四面体中存在面面垂直关系的对数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，是平面内的两条直线，是空间的一条直线，则“”是“且”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

例3．（2022·安徽省舒城中学三模（理））设，是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（       ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则

例4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知是正方体的中心O关于平面的对称点，则下列说法中正确的是（       ）


A．与是异面直线 B．平面
C． D．平面

例5．（2023·全国·高三专题练习（文））如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（       ）

A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线异面，直线平面
D．直线与直线相交，直线平面

例6．（2021·浙江·高三专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

例7．（2022·四川·模拟预测（文））已知是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则．
其中所有真命题的序号是（       ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④

【方法技巧与总结】
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
题型二：证明线线垂直
例8．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．证明：


例9．（2022·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在棱上．

（1）求四棱锥的全面积；
（2）求证：．

例10．（2023·全国·高三专题练习）已知空间几何体中，与均为等边三角形，平面平面平面．求证：．


例11．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．

（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．

例12．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知直三棱柱，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，．

若，试证；

例13．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．

证明：∠PAD＝∠PBC；

例14．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为的菱形，．

证明：；

例15．（2022·浙江·模拟预测）已知梯形，现将梯形沿对角线向上折叠，连接，问：

若折叠前不垂直于，则在折叠过程中是否能使？请给出证明；

例16．（2021·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，底面．

（1）当为何值时，平面？证明你的结论；
（2）若在边上至少存在一点，使，求的取值范围．

【方法技巧与总结】

题型三：证明线面垂直
例17．（2021·全国·高三专题练习（理））如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且E，F分别是BC，A1B1的中点．

（1）求证：BC1⊥A1C；
（2）求证：EF∥平面A1C1CA；
（3）在线段AB上是否存在点P，使得BC1⊥平面EFP？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

例18．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，
．

证明：平面；

例19．（2022·广东深圳·高三阶段练习）如图，在三棱柱中，平面，，且，为棱的中点．

求证：平面；

例20．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面．证明：平面


例21．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．证明：BD⊥平面PAC


例22．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，D为PC上一点，且．

（1）若E为AC的中点，求三棱锥与三棱锥的体积之比；
（2）若，，证明：平面ABD．

例23．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是的中点．

（1）证明：平面；
（2）点为线段上一点，设，若平面，试确定的值．

例24．（2022·江西宜春·模拟预测（文））如图所示的五面体中，平面平面，四边形为正方形，，，．

（1）求证：平面；
（2）若，求多面体的体积．

例25．（2021·全国·模拟预测（文））如图，在正方体中，，．

（1）求证：；
（2）在线段上，是否存在点，使得平面？并说明理由．

例26．（2022·江西九江·三模（理））如图1，矩形中，，，为上一点且．现将沿着折起，使得，得到的图形如图2．

证明：平面；

例27．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．

证明：PO⊥平面ABC；

例28．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，．求证：平面；


例29．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，．连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置．如图2．证明：直线平面．


例30．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面


例31．（2023·全国·高三专题练习）已知边长为2的等边（图1），点D和点E分别是边AC，AB上的中点，将沿直线DE折到的位置，使得平面平面BCDE，点O和点P分别是边DE，BE的中点（图2）．证明：平面


【方法技巧与总结】
垂直关系中线面垂直是重点．
线垂面哪里找
线垂面有何用
证明线面垂直常用两种方法．
方法一：线面垂直的判定．
线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么．
方法二：面面垂直的性质．
面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么．
题型四：证明面面垂直
例32．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，，．求证：平面PCD⊥平面PAC；


例33．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，．在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．


例34．（2020·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．

例35．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱中，，．

（1）证明：平面平面．
（2）设P是棱上一点，且，求三棱锥体积．

例36．（2022·安徽合肥·二模（理））如图，在矩形中，，点为边的中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，使得，连结，，．

证明：平面平面；

例37．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，，，F分别是棱的中点，二面角为．
证明：平面平面


例38．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，
，侧面底面ABC．

（1）若D是BC的中点，求证：；
（2）过侧面的对角线的平面交侧棱于M，若，求证：截面侧面．

例39．（2022·云南师大附中模拟预测（理））如图，已知四棱台的底面是矩形，平面平面，，为的中点，且．

证明：平面平面

例40．（2022·浙江·三模）如图，四面体的棱平面，．

证明：平面平面；

例41．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，F
为棱上一点，，连接AF，．

证明：平面平面；

【方法技巧与总结】
主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．
【过关测试】
一、单选题
1．若和分别为空间中的直线和平面，则“”是“垂直内无数条直线”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．数学试题）现有边长为的正四面体，其中点M为的重心，点N，H分别为，中点．下列说法正确的有（       ）

A． B． C． D．
3．设m，n是空间两条不同直线，，是空间两个不同平面，则下列选项中正确的是（       ）
A．当时，“”是“”的充分不必要条件
B．当时，“”是“”的充分不必要条件
C．当时，“”是“”的必要不充分条件
D．当时，“”是“”的必要不充分条件
4．数学试题）设，是两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列说法正确的是（       ）
A．若，，，，则
B．若，，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5．设，，是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个命题：
①若，，则；②若，，则；
③若，，则；④若，，，则．
其中所有正确命题的序号是（       ）
A．①② B．② C．④ D．②③
6．在三棱锥中．作平面，垂足为．
①若三条侧棱与底面所成的角相等，则是的（       ）心；
②若三个侧面与底面所成的二面角相等，则是的（       ）心：
③若三组对棱与与与中有两组互相垂直，则是的（       ）心
以上三个空依次填（       ）
A．外，垂，内 B．内，外，垂 C．垂，内，外 D．外，内，垂
7．棱长为2的正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，下列命题中错误的是（       ）
A． B．EF∥平面
C．EF⊥平面 D．四面体的体积等于
8．试题）为正方体对角线上的一点，且，下面结论不正确的是（       ）
A． B．若平面PAC，则
C．若为钝角三角形，则 D．若，则为锐角三角形
二、多选题
9．若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．试题）如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30°的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是（       ）

A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD
11．在矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成，若点为线段的中点，则在翻折过程中，下述选项正确的是（       ）
A．是定值
B．点在某个球面上运动
C．存在某个位置，使
D．存在某个位置，使平面
12．如图所示，在四棱锥中中，为正方形，，E为线段的中点，F为与的交点，．则下列结论正确的是（       ）


A．平面 B．平面
C．平面平面 D．线段长度等于线段长度
三、填空题
13．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，写出以之间的部分位置关系为条件（除外），为结论的一个真命题：_____________．
14．如图，在直三棱柱中，底面是为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在线段上，当_______时，平面．

15．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=x，AC与BD交于点O，将△ACD沿直线AC翻折，形成三棱锥D-ABC，若在翻折过程中存在某个位置，使得OB⊥AD，则x的取值范围是___________．

16．如图，在正方体中，点F是棱上的一个动点，平面交棱于点E，则下列正确说法的序号是___________．


①存在点F使得平面；
②存在点F使得平面；
③对于任意的点F，都有；
④对于任意的点F三棱锥的体积均不变．
四、解答题
17．在四棱锥中，四边形为菱形，，且平面平面．证明：平面；





18．如图所示，在四棱锥中，平面底面，，，，，，．设平面与平面的交线为，为的中点．

（1）求证：平面；
（2）若在棱上存在一点，使得平面，当四棱锥的体积最大时，求的值．




19．如图，四面体中，，E为的中点．证明：平面平面





20．如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面ABCD．

（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积．




21．如图1，在直角梯形ABCD中，，∠BAD=90°，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中的位置，使平面平面BCDE，得到四棱锥．当四棱锥的体积为，求a的值．





22．如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点．

（1）求证：CD⊥平面SAD；
（2）若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．