2023高考数学二轮复习（知识点多）专题37 求曲线的轨迹方程（原卷＋解析版）

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专题37 求曲线的轨迹方程
【考点预测】
曲线的方程和方程的曲线
在直角坐标系中，如果是某曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线．事实上，曲线可以看作一个点集，以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集，上述定义中
【方法技巧与总结】
一．直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
二．定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
三．相关点法求动点的轨迹方程
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．
四．交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通
常选变角、变斜率等为参数．
五．参数方程法求动点的轨迹方程
动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.
六．点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程．
【题型归纳目录】
题型一：直接法
题型二：定义法
题型三：相关点法
题型四：交轨法
题型五：参数法
题型六：点差法
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
【典例例题】
题型一：直接法
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】因为轴，垂足为M，且PM的中点为，
所以，又因为P是椭圆上任意一点，
所以，即.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直接法．
例2．（2022·河南河南·模拟预测（理））已知平面上的动点到点和的距离之比为，则点到轴的距离最大值为_____.
【答案】
【解析】设，
因为动点到点和的距离之比为，
所以，
，
，

，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以点到轴的距离最大值为，
故答案为：
例3．（2022·全国·高三课时练习）已知点到定点的距离比它到x轴的距离大．
(1)求点P的轨迹C的方程；
【解析】依题意①，，
两边平方得，
②，
两边平方得，
整理得，
可得或，
当时，②转化为，所以，
此时①转化为，所以.
所以点的轨迹的方程为或.
例4．（2022·湖南·模拟预测）已知平面直角坐标系中有两点，且曲线上的任意一点P都满足．求曲线的轨迹方程并画出草图；
【解析】设，
由题设有，
整理得到，
故，其草图如下图所示：

例5．（2022·湖南湘潭·高三开学考试） 已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．求点的轨迹的方程;
【解析】设点P的坐标为，
由题设得，
故所求的点P的轨迹的方程为．
题型二：定义法
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知定点A（1，1）和直线L：x+y-2=0，那么到定点A和到定直线L距离相等的点的轨迹为（       ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
【答案】D
【解析】点A（1，1）在直线L上，所以到定点A和到定直线L距离相等的点的轨迹为过A（1，1）且与直线L垂直的直线.
故选：D.
【方法技巧与总结】
若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，动圆与圆外切，且与定直线相切，设动点的轨迹为．求的方程；
【解析】设，圆的半径为，由题可知，点在直线右侧，
因为圆与定直线相切，所以．
又圆与圆外切，所以，
所以，化简得，即的方程为．
例8．（2022·江西南昌·三模（理））已知两条直线：，：，有一动圆（圆心和半径都在变动）与，都相交，并且，被截在圆内的两条线段的长度分别是定值，，则动圆圆心的轨迹是（       ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．直线
【答案】C
【解析】设动圆圆心的坐标为，半径为，
圆心到，的距离分别是，，
则，，
所以，又因为，
，即，
得，即.
所以动圆圆心的轨迹方程为，
由方程可知，动圆圆心的轨迹为双曲线.
故选：C
例9．（2022·上海市大同中学高三开学考试）已知定点和定圆，动圆和圆外切，且经过点，求圆心的轨迹方程_______
【答案】双曲线的左支
【解析】结合图象可得，|MQ|﹣|MP|=4，可得a=2，c=4，则b=，
M的轨迹为双曲线的左支．
故答案为双曲线的左支．

例10．（2022·全国·高三专题练习）设动圆与轴相切且与圆:相外切,则动圆圆心的轨迹方程为______.
【答案】或
【解析】设，即轨迹方程为或
例11．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末）已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为______.
【答案】
【解析】由题，设动圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为,
当动圆与圆，圆外切时,,,
所以,
因为圆心,，即，又
根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的上支，其中，，
所以,则动圆圆心的轨迹方程是；
故答案为：
例12．（2022·全国·高三专题练习（理））设圆的圆心为A，直线过点且与轴不重合，交圆A于两点，过作的平行线交于点．证明为定值，并写出点E的轨迹
方程；
【解析】由题意可知，故，又，故,故,

所以，故,又圆A标准方程为，从而，所以．由题设得，由椭圆的定义可得点的轨迹方程为，()
例13．（2022·全国·高三专题练习）已知是圆上的动点，是线段上一点，，且，求点的轨迹的方程
【解析】由题意知,.
因为，所以,
所以点M的轨迹C是以A,B为左、右焦点,长轴长为4的椭圆.
设椭圆C的标准方程为，则a=2,c=1,
所以，所以点M的轨迹C的方程为.
例14．（2022·河南郑州·高三阶段练习（理））如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．

求动圆圆心的轨迹的方程；
【解析】设动圆的半径为，∵动圆与圆内切，与圆外切，
∴，且.于是，，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，，
所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．
例15．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知圆与圆：外切，同时与圆：内切.
说明动点的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；
【解析】设圆M的半径为r，由圆M与圆: 外切，得: ,
由圆M与圆：内切，得: ，故，
则动点M的轨迹是，为焦点，长轴长为8的椭圆，
故椭圆的短半轴长为，故椭圆的方程为.
例16．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点，求点的轨迹方程．
【解析】因为，，故，
所以，故，
又圆的标准方程为，
从而，所以
由题设得，，，
由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
题型三：相关点法
例17．（2022·全国·高三课时练习）设分别是直线和上的动点，且满足，则的中点的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，，，
因为为的中点，则，故，，又因为，所以，即，所以点M的轨迹方程为．
故选: A.
【方法技巧与总结】
有些问题中，所求轨迹上点的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用表示，再将代入已知曲线方程，即得关系式．
例18．（2022·全国·高三课时练习）已知的顶点，，顶点A在抛物线上运动，则的重心G的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】设，．
由点G为的重心，得，所以．
又在抛物线上，所以，即．
又点A不在直线BC上，所以，即，所以所求轨迹方程为．
故答案为：
例19．（2022·全国·高三课时练习）当点P在圆上变动时，它与定点的连线PQ的中点的轨迹方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，PQ的中点M的坐标为，
∵，∴
∴
又∵点P在圆上，
∴，即，
故选：C．
例20．（2022·全国·高三课时练习）已知A、B分别是直线和上的两个动点，线段AB的长为，P是AB的中点．求动点P的轨迹C的方程．
【解析】设、、．
∵P是线段AB的中点，∴，
∵A、B分别是直线和上的点，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∴动点P的轨迹C的方程为．
题型四：交轨法
例21．（2022·四川凉山·高三期末（理））设椭圆的上、下顶点分别为A、B，直线与椭圆交于两点M、N，则直线AM与直线BN的交点F一定在下列哪种曲线上（       ）
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
【答案】B
【解析】设， 则，又，连结
则，即
由椭圆的对称性可得
又
所以，即
所以点F在双曲线上.
故选：B

【方法技巧与总结】
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
例22．（多选题）（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知椭圆C：（）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足.动点Q满足，则下列结论正确的是（       ）
A．
B．动点Q的轨迹方程为
C．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
D．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A：由椭圆的离心率为，得，所以，故正确；
对于B：设
，由，得两式相乘得，同理可得，
由题意知且，否则与矛盾，
动点的轨迹方程为，即直线，故正确；
对于C、D：所以线段长度的最小值即为原点到直线的距离，
min，
故C错误，D正确.
故选：ABD.
例23．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校高三阶段练习）在矩形中，，把边分成等份，在的延长线上，以的分之一为单位长度连续取点.过边上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为，如图建立平面直角坐标系，则点满足的方程是___________.

【答案】
【解析】设第组对应直线与交于点，与的延长交于点，作轴于点，作轴于点，设，
则，，
因为，所以，
所以，即，①
因为，所以，
所以，即，②
①②得，整理得，
所以点满足的方程是.
故答案为：.

例24．（河北省邢台市名校联盟2022届高三上学期开学考试数学试题）已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.求点的轨迹方程.
【解析】由题意得，，
设，，，
则，，
即，，得，
又∵点在C上，即，得，
∴；
例25．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三阶段练习（理））已知反比例函数的图像C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线.
(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；
(2)设､为双曲线C的两个顶点，点､是双曲线C上不同的两个动点.求直线与交点的轨迹E的方程；
【解析】(1)根据题意可得，反比例函数的顶点和焦点均在上，联立解得，故双曲线C的顶点坐标，.所以该等轴双曲线的焦距为，所以焦点坐标为，即，
(2)因为点､是双曲线C上不同的两个动点，故.设，，根据，分别共线，且在双曲线C上， ，有，且
，两式相乘有，即，化简得.即轨迹E的方程为
例26．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，过直线l：左侧且不在x轴上的动点P，作于点H，的角平分线交x轴于点M，且，记动点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C与x轴正半轴交于点，过点的直线交C于A，B两点，，点T满足，其中，证明：.
【解析】（1）设，因为轴，所以，
因为PM为的角平分线，所以，
所以，即，所以.
即，化简整理得，因为P不在x轴上，
即曲线C的方程为
（2）易知直线的斜率存在且不为0，设的方程为.
联立方程组，消x整理得，
所以，得或，
设，，则，.
由得，所以，
设，由，得，
所以，
所以，
所以点在直线上，且，
又因为与关于直线对称，所以是等腰三角形，
（或者证明直线TS与直线的斜率互为相反数）
所以，因为，所以，
综上所述，.

例27．（2022·全国·模拟预测（文））设抛物线C：，过点的直线l与C交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的切线，两切线相交于点P，求点P的轨迹方程；
【解析】如图，结合图象可知，当直线l的斜率不存在时，直线l与C只有一个交点，不合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，
联立，化简可得.
设，，则有，，
由，可得，所以，，
从而结合点A在抛物线C上有，
即①，同理得②，
联立①②可得交点，即，故点P的轨迹方程为y=-1.

例28．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知双曲线C：的离心率为2，，为双曲线C的左、右焦点，是双曲线C上的一个点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点且不与渐近线平行的直线l（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点P为直线与直线的交点，试求点P的轨迹方程（注：若双曲线的方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）
【解析】(1)据题意，则，
点在双曲线上，则，
又，则，
∴，，，
∴双曲线的方程为．
(2)设，，直线l：，
联立，
，，
由题知，切线：，切线：，
记，则，
两式相加得，
将代入得③；
两式相减得得，
由得④，联立③和④得，
故，又，所以，则，
故点的轨迹方程为．
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
【解析】(1)设抛物线的方程为，
∵抛物线的焦点到直线的距离为，
∴，解得或（舍去，
∴，，
∴抛物线的方程为．
(2)设，，设切点为，曲线，，
则切线的斜率为，化简得，
设，，，则，是以上方程的两根，
则，，
，
直线的方程为：，整理得，
∵切线的方程为，整理得，且点，在切线上，
∴，即直线的方程为：，化简得，
又∵，∴，
故直线过定点．
(3)设，，，
过的切线，过的切线，
则交点，
设过点的直线为，
联立，得，
∴，，
∴，
∴．
∴点满足的轨迹方程为．
例30．（2022·上海·高三专题练习）双曲线的实轴为，点是双曲线上的一个动点，引，， 与的交点为，求点的轨迹方程.
【解析】设，，，，
由题意可知，，否则点（或点）和点（或点）重合，不符合题意；
，，
利用垂直斜率关系可得，两式相乘得①
又点在双曲线上，，即
将其代入①式得，化简整理得：
所以点的轨迹方程为：
例31．（2022·全国·高三课时练习）已知点、以及直线，设长为的线段在直线l上移动（如图所示），求直线和的交点M的轨迹方程．

【解析】如图所示，∵点A、B在直线上，设点A、B、M的坐标分别为，，，其中．
当时，由、、三点共线，
得，解出a，得①，
由、、三点共线，
得，解出b，得．②
由条件，得．∴．③，
由①、②、③式得．
整理得①．④，
当时，两直线和的交点M与点或点重合，得点P和点Q的坐标都满足方程④．
总之，④式就是点M的轨迹方程．
④式可改写成．
∴轨迹的图形是双曲线，它的中心是点，焦点在直线上．

题型五：参数法
例32．（2022·新疆·皮山县高级中学高三期末（文））已知，，当时，线段的中点轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】中点坐标为，
即，
，
，
，
．
故选：B
【方法技巧与总结】
有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法．
例33．（2022·全国·高三专题练习（理））已知曲线和直线l：y=kx(k≠0)，若C与l有两个交点A和B，求线段AB中点的轨迹方程.
【解析】依题意，由分别消去x，y得：
(k2-1)x2+2x-2=0，①
(k2-1)y2+2ky-2k2=0，②
设AB的中点为P(x，y)，则在①②中分别有：
，③
，④
又对②应满足，解得，
所以所求轨迹方程是x2-y2-x=0(x>2，y>).
例34．（2022·江西景德镇·高三期末（理））已知两条动直线与（，为参数）的交点为.求点的轨迹的方程；
【解析】设点，联立，消去参数得，
因此，点的轨迹的方程为；
例35．（2022·北京市第五十七中学高三期中）P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足.

(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过作弦且弦被Q平分，求此弦所在的直线方程及弦长；
(3)过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.
【解析】(1)设，则，由，得，
因为点P在圆上，所以，
故点M的轨迹C的方程为：；
(2)设该弦所在的直线为，且与椭圆交于点，
则①，②；又点是弦长的中点，
则，，由①-②得，
即，又该直线过点，所以直线方程为：，
即，联立椭圆方程，得，解得，
所以弦长为；
(3)设，由题意知直线l的斜率存在，设l：，
代入方程，得，
，得，设，
则，所以，
又四边形OAEB为平行四边形，
所以，
又，所以，消k得，，
又，所以，
所以顶点E的轨迹方程为：().
例36．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l1：y＝k1x和l2：y＝k2x与抛物线y2＝2px（p＞0）分别相交于A，B两点（异于原点O）与直线l：y＝2x+p分别相交于P，Q两点，且．

求线段AB的中点M的轨迹方程；
【解析】联立，解得：，
把代入得：，
所以，
同理可得：，
则线段AB的中点M的坐标为，
因为，
所以，
消去得：
所以线段AB的中点M的轨迹方程为
例37．（2022·江苏·周市高级中学高三阶段练习）已知直线与坐标轴的交点分别为A，B，则线段的中点C的轨迹与坐标轴围成的图形面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设为直线与的轴的交点，为直线与的轴的交点，
则，故，
设，则且，
故C的轨迹与坐标轴为，
故选：D.
例38．（2022·全国·高三课时练习）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆的半径为，记是以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点，(O为坐标原点，)，当点A在椭圆上运动时，求点M的轨迹方程．
【答案】(1);
(2).
【解析】（1）
,
的轨迹为对角线长分别为，边长为，原点为内切圆圆心的菱形，
其顶点分别为，
所以由题意得
所以，，所以的标准方程为．
（2）设，当AB所在直线的斜率存在且不为0时，设AB所在直线的方程为，
由 可得，，
所以，
设，由题意得，即，
又因为直线l的方程为，即，所以，
又因为，所以．
易得当AB所在直线的斜率不存在时，且；AB所在直线斜率为0时，
且，上式仍然成立．
综上所述，点M的轨迹方程为．
题型六：点差法
例39．（2022·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
【答案】
【解析】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，
设中点坐标为，则，
所以，两式相减可得，
，即，
由于在椭圆内部，由得，
所以时，即直线与椭圆相切，
此时由解得或，
所以，
所求得轨迹方程为．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法．
例40．（2022·全国·高三课时练习）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是______．
【答案】(或).
【解析】设直线为，与双曲线交点为，
联立双曲线可得：，则，即或，
所以，故，则弦中点为，
所以弦的中点的轨迹方程为(或).
故答案为：(或)
例41．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.
【解析】设，弦的中点，则，
将代入椭圆方程得，
两式相减得，
所以，
当时，，
因为，所以，则，
整理得；
当时，则直线方程为，代入椭圆方程解得
所以满足上述方程，
故点的轨迹方程.
例42．（2022·上海市行知中学高三开学考试）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点的直线与曲线相交于点，．
(1)求曲线的方程；
(2)动弦满足：，求点的轨迹方程；
【解析】（1）因为动点到两定点，的距离之和为，
所以曲线是以，为焦点的椭圆，，，
所以，，所以曲线的方程为；
（2）因为，所以为中点，设，
当的斜率存在且不为0时，将，代入椭圆方程中得：两式相减得，故故得，
所以，所以，整理得；
当的斜率不存在或为0时，或，出满足；
所以点的轨迹方程是；
例43．（2022·全国·高三期中）（1）若双曲线的一条渐近线方程为，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程．（2）一组平行直线与椭圆相交，求弦的中点的轨迹方程．
【解析】（1）若焦点在轴上，渐近线方程为，所以
，又，所以
所以双曲线的标准方程为
若焦点在轴上，渐近线方程为，所以
，又，所以
所以双曲线的标准方程为
（2）设与椭圆的两交点，，， 的中点为，
则，
两式相减得：，
即即，
又，消去得，解得，
所以弦的中点的轨迹方程为．
例44．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆，，是椭圆上的两个不同的点.
（1）若点满足，求直线的方程；
（2）若，的坐标满足，动点满足(其中为坐标原点)，求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
【解析】（1）由已知可得，是线段中点
，
由已知
两式相减化简整理得
所以
直线的方程是
（2）设，，
由，可得
由②
结合①②可得，
又，是椭圆上的点，故
所以，即
根据椭圆的标准方程可知，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆.
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
例45．（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，E为的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为．若该正方体外接球的表面积为，则动点F的轨迹长度为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

如图1，取AD的中点H，连接EH，则.
在正方体中，底面ABCD，所以底面ABCD.
所以为EF与底面ABCD所成的角，则．
设正方体的棱长为a，因为该正方体外接球的表面积为，
所以，解得，
所以，从而，
所以F的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，如图2．
在图2中，，
所以，则，
根据对称性可知，所以，
故动点F的轨迹周长为．
故选：A
【方法技巧与总结】
利用坐标法解决．
例46．（2022·全国·高三专题练习）如图，点是平面外一定点，过作平面的斜线斜线与平面所成角为．若点在平面内运动，并使直线与所成角为则动点的轨迹是（       ）

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线的一支
【答案】B
【解析】用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线．
故可知动点P的轨迹是椭圆的一部分．
故选：B．
例47．（2022·北京市第十三中学高一阶段练习）如图，正方体中，为底面上的动点，且于，且，则点的轨迹是（       ）

A．线段 B．圆弧
C．抛物线的一部分 D．以上答案都不对
【答案】A
【解析】连接、，如下图所示：

因为平面，平面，，
因为，，，所以，，，
所以，为定点，取线段的中点，连接，
因为，则，所以点在过点且垂直于线段的垂面上，
而此垂面与底面相交于一条线段，故点的轨迹为线段.
故选：A.
例48．（多选题）（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图所示，在棱长为2的正六面体中，O为线段的中点（图中未标出），以下说法正确的有（       ）．

A．线段CD中点为E，则直线OE与平面所成角的正弦值为．
B．在线段上取靠近B点的三等分点F，则直线与直线不共面．
C．在平面上存在一动点P，满足，则P点轨迹为一椭圆．
D．在平面上存在一动点Q，点Q到点O的距离和点Q到直线AB的距离相等，则点Q的轨迹为抛物线，其准线到焦点的距离为．
【答案】AD
【解析】选项A：取中点H，连接

正六面体中，
则平面，则为直线与平面所成角
，中，
则，即直线与平面所成角的正弦值为．
由O为线段的中点，E为线段CD中点，可得
则直线OE与平面所成角的正弦值为．判断正确；
选项B：在线段上取靠近点的三等分点H，连接

正六面体中，
则四边形为平行四边形，则相交且互相平分，则
又，则四边形为平行四边形，
则相交且互相平分，则
又四边形为平行四边形，则
则直线与直线共面．判断错误；
选项C：在平面上一动点P，满足，
又正六面体的棱长为2 ，则P点轨迹为线段．判断错误；
选项D：连接

则正六面体中，
则O点为矩形的中心.
在平面上一动点Q，点Q到点O的距离和点Q到直线的距离相等，
则点Q的轨迹是以O为焦点以直线AB为准线的抛物线，
焦点O到准线AB的距离为．判断正确.
故选：AD
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
例49．（2022·河南开封·高三阶段练习（文））已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，表示点，
故复数的轨迹是以为圆心，半径为1的圆.
故选：C
【方法技巧与总结】
（1）利用坐标法解决．
（2）利用复数几何意义
例50．（多选题）（2022·重庆一中高一期末）若复数z在复平面对应的点为Z，则下来说法正确的有（       ）
A．若，则Z在复平面内的轨迹为圆
B．若，则Z在复平面内的轨迹为椭圆
C．不可能存在复数z同时满足和
D．若，则的取值范围为[8，10]
【答案】AD
【解析】对于A，设，则有，可知Z在复平面内的轨迹为圆，故A正确；
对于B，设且，所以，
所以在复平面内的轨迹是以和为端点的线段，故B不正确；
对于C，设且，所以，
所以在复平面内的轨迹是以和为焦点，长轴为的椭圆，其方程为，若，则有，两者联立，有解，，所以存在复数z同时满足和，故C不正确；
对于D，设，若，则有，令


则，（）
令，可得，
所以，于是得，故D正确.
故选：AD
例51．（2022·上海市徐汇中学高三期末）如果复数满足，则复数对应的点的轨迹是（       ）
A．直线 B．椭圆 C．线段 D．圆
【答案】B
【解析】复数满足条件，设，因为表示复数在复平面内对应的点到点的距离，同理表示复数在复平面内对应的点到点的距离，
所以表示复数对应的点到点和到点的之和等于，因为，故点的轨迹是以、为焦点的椭圆，
故选：B．
例52．（2022·全国·高一课时练习）已知复数z满足，则复数z对应的点的轨迹是___________．
【答案】圆
【解析】由题意，复数z满足，可得，
解得或，
因为，所以，
所以复数z对应的点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆．
故答案为：圆.
例53．（2022·江西赣州·高三期末（文））设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点的轨迹方程为___________.
【答案】
【解析】由题意，，故，故的轨迹方程为
故答案为：
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
例54．（2022·全国·高三课时练习）已知，，O为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点P的轨迹方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即．
故选：B
【方法技巧与总结】
（1）利用坐标法解决．
（2）利用向量几何意义
例55．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知向量，是单位向量，若，且
，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】因为向量，是单位向量，且，所以不妨设，，设，
，，，
则由得，
设，，则，
所以表示的点在线段上．
表示到的距离，如图，
，，
直线方程为，即，
到直线的距离为，
所以的取值范围是．
故答案为：

例56．（2022·全国·高三课时练习）设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若，且，则点P的轨迹方程是______．
【答案】
【解析】设点，则，设，，则，
，，
，，，
又，，，
，即.
故答案为：.
例57．（2022·陕西师大附中高一期中）已知向量，，，满足，与的夹角为，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
设，点在轴上，
设点在第一象限，，
设，则，
则，
整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，设圆心为，
又，
当直线过点且垂直于轴时，取得最小值，最小值为，
即的最小值为.
故选：D.

例58．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的标准方程为．
(1)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
(2)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在点，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】(1)设椭圆上一点为，椭圆上的点，，
令，椭圆的方程为，，
可得是以为圆心，半径为2的圆上的点，记仿射变换下，在圆上对应的点为，，
直线与的斜率之积为
．可得.
，四边形为正方形，于是，
则点的轨迹方程为，因此点的轨迹方程为，即.，
由椭圆的定义可得，存在符合题意的点，坐标为（即椭圆的两个焦点）．
(2)，由（1）可知，此时四边形为矩形，于是，点的轨迹方程为，因此点的轨迹方程为，即.，，
直线为椭圆的右准线.
由椭圆的定义可得，存在符合题意的点，坐标为（即椭圆的右焦点）．
例59．（2022·重庆八中高三阶段练习）抛物线的焦点为F，P在抛物线C上，O是坐标原点，当与x轴垂直时，的面积为1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B都在抛物线C上，且，过坐标原点O作直线的垂线，垂足是G，求动点G的轨迹方程.
【解析】(1)当与x轴垂直时，，故，故，
故抛物线的方程为：.
(2)设，直线，
因为，故，整理得到：，
故.
由可得，故即，
故直线，此直线过定点.
因为，故的轨迹为以为直径的圆，
其方程为：即.
因为直线与轴不重合，故不为原点，
故的轨迹方程为：.
例60．（2022·全国·高三专题练习）已知平面上一定点 和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·=0．求动点P的轨迹方程；
【解析】设 ，则，
由·=0，得，
即
化简得，
所以点P在椭圆上，即动点P的轨迹方程为．
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
例61．（2022·全国·高三课时练习）设椭圆的方程为，斜率为1的动直线交椭圆于A，B两点，以线段的中点为圆心，为直径作圆，圆心的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】设动直线的方程为，联立消去，得，
则，即,
设，，，由根与系数的关系得，，则，故，即，
∴圆心C的轨迹方程为．
故答案为：.
【方法技巧与总结】
联立直线与曲线方程得出两根之和与之积关系，再进行转化.
例62．（2022·全国·高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足．求点M的轨迹方程.
【解析】①若直线AB的斜率不存在，由已知得点M的坐标为；
②若直线AB的斜率存在，设直线AB为，联立椭圆，得：，
设，，则，，
以线段AB为直径的圆过原点O，即，
所以，
所以，又，故O到AB的距离．
综合①②，点M的运动轨迹为O以为圆心，以1为半径的圆，轨迹方程为：．
例63．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高三期末）已知椭圆C的离心率为，其焦点是双曲线
的顶点.
(1)写出椭圆C的方程；
(2)直线l：与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴､y轴于，两点，当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
【解析】(1)设椭圆C的方程为，，由题意，双曲线的顶点为，故.又，故，故，故椭圆C的方程为
(2)由题意，直线l与椭圆C相切，联立得，故，即.设，则，故，故.所以直线的方程为，即，当时，，故，当时，，故，故.又，故则，又在上，故，即，由题意可得，故点的轨迹方程为，为椭圆除去4个顶点
例64．（2022·广东·高三阶段练习）已知椭圆的离心率是，其左、右顶点分别是、，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点、是椭圆上异于、的不同两点，设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程．
【解析】(1)由题意可得，解得，，故椭圆的标准方程为．
(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设点、．
联立，整理得，
，可得，
则，，
，
因为，所以，则，
且，则，，
因为，
所以，解得或（舍去）．
则直线的方程为，所以直线过定点．
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，其中，
将代入椭圆的方程可得，设点、，
，，
则，因为，解得，
故直线过定点．
因为为的中点，为的中点，所以过线段的中点．
因为两圆相交，则连心线垂直平分公共弦，所以，，
线段的中点为，则，且点不能与点重合，
所以点在以为直径的圆上运动，且该圆圆心为，半径为.
故动点的轨迹方程为．
例65．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
【解析】（1）设，BC中点为()，F(2，0)，
则有，，
两式相减，得 ，
即，        ①
F(2，0)为三角形重心，所以由，得；由，得，代入①得 ，素以直线BC的方程为.
（2）由AB⊥AC得，所以 ②
设直线BC方程为，与椭圆方程联立消元，得，
所以，， ，
代入②式得，解得(舍)或，
所以，所以直线过定点，
设，则，即，
所以所求点D的轨迹方程是.
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足，则动点Z的轨迹为（       ）
A．直线 B．线段 C．两条射线 D．圆
【答案】A
【解析】设动点Z坐标为，则，所以，即，化简得：，故动点Z的轨迹为直线.
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（       ）
A．线段 B．直线 C．射线 D．圆
【答案】D
【解析】方法一：由题可知：，

又


所以，即
所以点C的轨迹是圆.
方法二：由题可知：，
如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，

所以
设 ，

又
所以
整理得：
所以点C的轨迹是圆.
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）四边形为梯形，且，，，点
是四边形内及其边界上的点.若，则点的轨迹的长度是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，即.
设向量与的夹角为，则，
因为，所以，
由向量投影定义得，向量在向量上的投影为2，
即动点在过点且垂直于的直线上.
在中，，，，
由余弦定理得，所以；
则，所以.
因为是四边形内及其边界上的点，所以点的轨迹为线段.
所以点的轨迹的长度为.
故选：B.

4．（2022·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的轨迹为（       ）
A．线段 B．直线
C．椭圆 D．椭圆的一部分
【答案】A
【解析】，根据复数的几何意义知表示点到定点与的距离之和为2，而，故点的轨迹为线段.
故选：A
5．（2022·河南安阳·高三开学考试（文））平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线，的距离之和为2的点P的轨迹为曲线，则曲线围成的图形面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

由题意知，曲线围成的图形为平行四边形，且，y＝0为两条对角线所在直线，
则曲线和，的交点即为平行四边形的四个顶点；
设曲线和的交点为，曲线和的交点为，
则到直线的距离为0，到直线的距离为2，
作轴于，则；同理可得到直线的距离为2，
作于，则，又，
则，则，
则曲线围成的图形面积为.
故选：A.
6．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））下列四个命题中不正确的是（       ）
A．若动点P与定点、连线PA、PB的斜率之积为定值，则动点P的轨迹为双曲线的一部分．
B．设m，，常数，定义运算“*”：，若，则动点的轨迹是抛物线的一部分．
C．已知两圆、圆，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆．
D．已知，，，椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线．
【答案】D
【解析】A，设，则，变形得：
，即动点P的轨迹为双曲线的一部分，A正确；
B，设点纵坐标为，则，即，
即动点的轨迹是抛物线的一部分，B正确；
C，两圆心坐标分别是，半径分别为1,5，
设动圆圆心，半径为 r ，则，
，动圆的圆心的轨迹是椭圆，故C正确；
D，设另一焦点为，因为，由椭圆定义得，
，即，
所以，即椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线的一支，故D错误.
故选：D.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为分别是棱､的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（       ）

A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中点，连接，如图所示：

分别是棱､的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以.
又因为平面，平面，所以平面.
因为，所以平面平面.
因为点为底面四边形内（包括边界）的一动点，直线与平面无公共点，
所以的轨迹为线段，则.
故选：B
8．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段和一段圆弧组成，如图所示.假设圆弧所在圆的方程为，若某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由于某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，
故,所以直线所在的方程为：，
代入，解得 或 （舍，离y轴较远的点），
所以点的坐标为.
由于起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，
故设抛物线方程为：，则，
则由M点处切线斜率为1可得，，
又，解得，
所以该抛物线的轨迹方程为，即，
故选：C.
二、多选题
9．（2022·福建省福州第一中学三模）已知曲线C是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则下列结论正确的是（       ）
A．曲线C关于x轴对称 B．曲线C关于y轴对称
C． D．
【答案】BD
【解析】由题，曲线C上任意一点，则.当时，即，
化简得，且；当时，，
化简可得，且，画出曲线C的图象：

对A,B，显然图象不关于轴对称，关于轴对称，故A错误，B正确；
对C，当时，解得，故，故C错误；
对D，因为即的焦点为，故抛物线的焦点为，
同理也是抛物线的焦点.
故的最小值为到的距离1，最大值为方程左右端点到的距离，故，故D正确；
故选：BD
10．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：(>0)的焦点F与圆的圆心重合，直线与C交于两点，且满足：(其中O为坐标原点且A、B均不与O重合)，则(       )
A． B．直线恒过定点
C．A、B中点轨迹方程： D．面积的最小值为16
【答案】ABD
【解析】圆可化为，则，半径r=1，
∴抛物线的焦点为，∴，，∴抛物线C的方程为，
由题可知直线l斜率若存在，则斜率不为0，故设l为，
由，得，则，即，
∴，，
则，
解得或(舍，否则直线l过原点)，
∴，，故A正确；
直线方程为，恒过定点，故B正确；
设中点为，
则，，消去参数得，故C错误；
，
原点到直线的距离为，
∴，
∴时，为最小值，故D正确．
故选：ABD．
11．（2022·福建·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（       ）
A．若，则
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为
【答案】ACD
【解析】对A，根据焦点三角形的面积公式：，
将代入可得：，故A正确；
对 B，当时，即，
即，
又，
故，
由，
即
解得：，故B错误；
对 C，当时，，
当时，，
，故C正确；
对 D，设，，
则，
由题设知，
则，
，故D正确.
故选：ACD.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知、两点的坐标分别是，，直线、相交于点，且两直线的斜率之积为，则下列结论正确的是（       ）
A．当时，点的轨迹圆（除去与轴的交点）
B．当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（除去与轴的交点）
C．当时，点的轨迹为焦点在轴上的抛物线
D．当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线（除去与轴的交点）
【答案】ABD
【解析】设点P的坐标为，直线AP，BP的斜率为，
由已知得，
化简得点P的轨迹方程为
当时，点的轨迹圆（除去与轴的交点）所以正确；
当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（除去与轴的交点），所以B正确；
当时，点的轨迹为焦点在轴上的抛物线，不正确，应该是双曲线，所以C不正确；
当时，点P的轨迹为焦点在轴上的双曲线（除去与轴的交点），所以D正确；
故选：ABD
三、填空题
13．（2022·浙江·高三开学考试）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴､轴于两点，当点运动时，点的轨迹方程是___________.
【答案】
【解析】由得，，
因为与双曲线有唯一的公共点，即相切于点，
所以
化简得，，
所以过点且与垂直的直线为，
所以，
所以
所以点的轨迹是.
故答案为：
14．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））①已知点，直线，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为；
②已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记点，到直线l的距离分别为，，动点P满足，；
③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且，动点P满足；
在①，②，③这三个条件中，动点P的轨迹W为椭圆的是______．
【答案】①②③
【解析】对于①，
设，根据题意，，整理得，
所以轨迹方程为；
对于②，
设，直线l与圆相切于点H，则，
由椭圆定义知点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，所以，，
故，所以轨迹方程为；
对于③，
设，，，则，
因为，所以，整理得，
代入得，
所以轨迹方程为；
故答案为：①②③
15．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）已知在直角坐标平面内，两定点，，动点Q满足以FQ为直径的圆与x轴相切．直线FQ与动点Q的轨迹E交于另一点P，当时，直线PQ的斜率为______．
【答案】
【解析】设，的中点坐标为，
由于动点Q满足以FQ为直径的圆与x轴相切，
所以，整理得点的轨迹方程为.
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去并化简得，，
设，
则，
由于，所以，
即，
，
，
，，解得.
故答案为：
16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是__．
【答案】
【解析】设这组平行直线的方程为，
联立方程组，整理得，
由可得，
则，所以它们与椭圆交点的中点坐标为，
即这些点均在轨迹上，
即直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是.
故答案为：．
四、解答题
17．（2022·四川内江·模拟预测（理））在中，，，与BC斜率的积是．
(1)求点的轨迹方程；
(2)，求PC的中点的轨迹方程．
【解析】（1）设点C坐标为，由题知
整理得点的轨迹方程为
（2）设点M坐标为，点C坐标为
由中点坐标公式得，即
将代入得点的轨迹方程为：，即
18．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C，曲线C的两条切线PA、PB交于点P，且与C分别切于A、B两点，求的最小值．
【解析】设椭圆的两切线为，．
①当轴或 轴时，对应 轴或轴，可知切点为；
②当与x轴不垂直且不平行时，，设的斜率为k，则，
的斜率为，并设 的交点为 ，
则的方程为，联立，
得： ，
∵直线与椭圆相切，∴，得，
∴，
∴k是方程的一个根，
同理是方程的另一个根，
∴得，其中，
∴交点的轨迹方程为：，∵也满足上式；
综上知：轨迹C方程为；

设 ，，则在与中应用余弦定理知，
，
即 ，即，
，
令，则，
，
当且仅当，即时，取得最小；
综上，的最小为.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的离心率与抛物线的方程；
(2)过焦点的动直线与抛物线交于，两点，从原点作直线的垂线，垂足为，求动点的轨迹方程；
(3)点为椭圆上的点，设直线与平行，且直线与椭圆交于，两点，若的面积为1，求直线的方程．
【解析】（1）因，，故，从而椭圆的离心率为．                 
且椭圆的右焦点坐标为．
于是由椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，得，即．
从而抛物线的方程为．
（2）设动点的坐标为，由条件，且点，在直线上，可得．
于是．                 
即．
故动点的轨迹方程为：．
（3）由于，设直线方程为，，．
由得，故．
则．                 
又点到直线的距离，故由
，
解得，从而．因此，直线的方程为．
20．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为曲线，是曲线上的点，若直线，均过曲线的右焦点且互相垂直，线段的中点为，线段的中点为. 是否存在点，使直线恒过点，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.
【解析】(1)设，因为直线相交于点，且它们的斜率之积为，
所以，
整理可得，
所以点的轨迹方程为.
(2)因为曲线的方程为，
所以直线的斜率都存在且不为0.   
设直线：，则直线：，
设
由可得：，
当时，即，方程为，此时只有一解，不符合题意，
当时，，
由韦达定理可得：，所以点的横坐标为，
代入直线：可得：，
所以线段的中点，
用替换可得，，
所以线段的中点，
当时，，
直线的方程为：，
整理可得：
，
此时直线过定点，
若时，
则， ，或，，直线的方程为，
此时直线也过点，
综上所述：直线过定点
21．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知双曲线C：的离心率为2，，为双曲线C的左、右焦点，是双曲线C上的一个点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点且不与渐近线平行的直线l（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点P为直线与直线的交点，试求点P的轨迹方程（注：若双曲线的方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）
【解析】(1)据题意，则，
点在双曲线上，则，
又，则，
∴，，，
∴双曲线的方程为．
(2)设，，直线l：，
联立，
，，
由题知，切线：，切线：，
记，则，
两式相加得，
将代入得③；
两式相减得得，
由得④，联立③和④得，
故，又，所以，则，
故点的轨迹方程为．
方法点睛 ：求某点的轨迹方程，可以先设出该点，然后运用已知条件寻求横纵坐标之间的关系.