2023高考数学二轮复习（知识点多）专题40 抛物线及其性质（原卷＋解析版）

这是一份2023高考数学二轮复习（知识点多）专题40 抛物线及其性质（原卷＋解析版）
专题40 抛物线及其性质 【考点预测】知识点一、抛物线的定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．知识点二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向【方法技巧与总结】1、点与抛物线的关系（1）在抛物线内（含焦点）．（2）在抛物线上．（3）在抛物线外．2、焦半径图形标准方程顶点范围，，，，对称轴轴轴焦点离心率准线方程焦半径抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．3、的几何意义为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．4、焦点弦若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：（1）．（2）．（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．5、抛物线的弦若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则（1）弦长公式：（2）（3）直线AB的方程为（4）线段AB的垂直平分线方程为6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）（1）焦点为，准线为（2）焦点为，准线为如，即，焦点为，准线方程为7、参数方程的参数方程为（参数）8、切线方程和切点弦方程抛物线的切线方程为，为切点切点弦方程为，点在抛物线外与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．9、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：11、焦点弦的常考性质已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2），（3）；（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上【题型归纳目录】题型一：抛物线的定义与方程题型二：抛物线的轨迹方程题型三：与抛物线有关的距离和最值问题题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题题型五：焦半径问题题型六：抛物线的性质【典例例题】题型一：抛物线的定义与方程例1．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（    ）A． B．C． D．【方法技巧与总结】求抛物线的标准方程的步骤为：（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：（2）根据题目条件列出P的方程（3）解方程求出P，即得标准方程例2．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为________.例3．（2022·湖南·高三开学考试）已知抛物线的焦点在轴上，直线与抛物线交于点，且.写出抛物线的一个标准方程___________.例4．（2022·全国·高三专题练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ）A． B．或C． D．或例5．（2022·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（    ）A． B． C． D．例6．（2022·北京·高三开学考试）抛物线W：的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4例7．（2022·全国·高三专题练习）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（    ）A． B． C．或 D．或例8．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，AB的长为8，求抛物线的方程．题型二：抛物线的轨迹方程例9．（2022·上海市复兴高级中学高三开学考试）在平面上，到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是（    ）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线【方法技巧与总结】常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.例10．（2022·全国·高三专题练习）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（     ）A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．直线例11．（2022·全国·高三专题练习）若动点满足，则点M的轨迹是（    ）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线例12．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（    ）A． B．C． D．例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知点､，若过､两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（    ）A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．抛物线例14．（2022·全国·高三专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ）A． B． C． D．例15．（2022·全国·高三专题练习）斜线段与平面所成的角为，平面内的动点满足，则点的轨迹是（    ）A．圆 B．椭圆C．抛物线 D．双曲线的一支例16．（多选题）（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （    ）A．点的轨迹为抛物线B．圆面积最小值为C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为D．存在点，使得，其中为坐标原点例17．（2022·全国·高三专题练习）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______．例18．（2022·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________．例19．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）已知动点到定点与定直线的距离的差为1．则动点的轨迹方程为________．例20．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（    ）A． B． C． D．例21．（2022·全国·高三专题练习）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．题型三：与抛物线有关的距离和最值问题例22．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线C：上一动点，过C的焦点F作：的切线，切点为A，则线段FA长度的最小值为（    ）A．3 B． C． D．【方法技巧与总结】抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解。例23．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））抛物线上任意一点P到点的距离最小值为___________.例24．（2022·全国·高三专题练习）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________.例25．（2022·全国·高三专题练习）若抛物线上一点到焦点的距离为6，P、Q分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为______．例26．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.例27．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））已知抛物线上一点到y轴的距离与到点的距离之和的最小值为2，则实数p的值为_____，例28．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值为_______.例29．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）已知F为抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，点，则的最小值为______．例30．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（    ）A．4 B．6 C．8 D．10例31．（2022·广西桂林·高三开学考试（理））已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（    ）A． B． C． D．例32．（2022·全国·高三专题练习）已知A，F为抛物线的焦点，点M在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（    ）A． B． C． D．例33．（2022·上海市向明中学高三开学考试）设抛物线的焦点为F，准线为，为C上一动点，，则下列结论错误的是（    ）A．当时，的值为6B．当时，抛物线C在点P处的切线方程为C．的最小值为3D．的最大值为例34．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（    ）A． B． C． D．例35．（2022·全国·高三专题练习）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点（在的右边），为上一点，，则的最小值为（    ）A．3 B． C． D．5例36．（2022·全国·高三专题练习）已知定点，点为拋物线上一动点，到轴的距离为，则的最小值为（    ）A．4 B．5 C． D．例37．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（    ）A．当时，最小值为1B．当时，的最小值为3C．当时，的最小值为4D．当时，的最大值为2例38．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（    ）A．的最小值为1 B．的最小值为C．的最小值为4 D．的最小值为例39．（多选题）（2022·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知抛物线，圆为圆心），点在抛物线上，点在圆上，点，则下列结论中正确的是（    ）A．的最小值是B．的最小值是C．当最大时，D．当最小时，例40．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题例41．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（    ）A． B．1 C．2 D．4【方法技巧与总结】解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比。例42．（2022·河南·高三开学考试（文））已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．例43．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________．例44．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上，已知点A的横坐标为，，则的面积___________.例45．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线交拋物线于、两点，延长交准线于点，分别过点、作准线的垂线，垂足分别记为、，若，则的面积为________.例46．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知点F为抛物线的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则的面积S的取值范围为______．例47．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为_______．例48．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________.例49．（多选题）（2022·河北廊坊·高三开学考试）已知抛物线：的焦点为，坐标原点为，直线与抛物线交于A，两点（与均不重合），以线段为直径的圆过原点，则与的面积之和可能为（    ）A． B． C． D．例50．（多选题）（2022·云南大理·模拟预测）设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．的面积为（为坐标原点）例51．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（文））已知为抛物线的焦点，点A为上一点，点的坐标为，若，则的面积为（    ）A．2 B．4 C．8 D．16例52．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为（    ）A． B． C． D．例53．（2022·山西运城·高三阶段练习（文））过点P作抛物线的切线，切点分别为，若的重心坐标为，则P点坐标为（    ）A． B． C． D．题型五：焦半径问题例54．（2022·云南·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（    ）A．2 B． C． D．4【方法技巧与总结】（1）． （2）．（3）． 例55．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．例56．（2022·广东·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（    ）A．4 B．5 C．6 D．8例57．（2022·全国·高三专题练习（文））已知抛物线C：的焦点为，A是C上一点，|AF|=，则=（    ）A．1 B．2 C．4 D．8例58．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（    ）A．23 B．26 C．36 D．62例59．（2022·河南·模拟预测（文））设抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，若轴，且，则（    ）A．或 B．或 C．或 D．例60．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（    ）A．3 B．6 C．9 D．12例61．（2022·江西·高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点A满足，则直线的斜率为（    ）A． B． C． D．例62．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于、两点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．9例63．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取最大值时，直线方程为（    ）A． B． C． D．例64．（多选题）（2022·重庆八中高三阶段练习）已知为坐标原点，为轴上的动点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，，若，则（    ）A．B．C．当时，的纵坐标一定大于D．不存在使得例65．（多选题）（2022·湖南师大附中高三阶段练习）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（    ）A．直线过焦点时，最小值为4B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），C．若中点的横坐标为3，则最大值为8D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：例66．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））设​是抛物线​的焦点，点A​在抛物线​上，​，若​，则​____________.例67．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则__________.例68．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线，的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于__________.题型六：抛物线的性质例69．（2022·湖南·新邵县教研室高三期末（文））已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（    ）A．1 B．3 C．6 D．8【方法技巧与总结】在处理抛物线的考题的时候，要更加注意定义优先原则，考察频率更高，很多问题用上抛物线定义可以简化计算．例70．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）关于抛物线，下列说法正确的是（    ）A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴例71．（2022·江西·高三阶段练习（文））若抛物线上一点P到焦点的距离为6，则点P到x轴的距离为____________．例72．（2022·四川省南充市白塔中学高三阶段练习（理））已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足，则______．例73．（2022·江西南昌·模拟预测（文））抛物线的焦点到准线的距离为（    ）A．4 B．2 C．1 D．例74．（2022·全国·高三专题练习）下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（    ）A． B．C． D．例75．（2022·湖北十堰·三模）下列四个抛物线中，开口朝左的是（    ）A． B． C． D．例76．（2022·江西南昌·高三阶段练习）若抛物线上的点到焦点的距离比到直线的距离小1，则=（    ）A． B． C．6 D．例77．（2022·全国·高三专题练习）对抛物线，下列描述正确的是（    ）A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为例78．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（理））抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（    ）A．B．C．直线AQ与BQ的斜率之和为0D．准线l上存在点M，若为等边三角形，可得直线AB的斜率为例79．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线的焦点为F，点F到直线的距离为，则p的值为_____________．例80．（2022·河北邯郸·高三开学考试）若抛物线的准线与圆相切，则___________.例81．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知点为抛物线的焦点，经过点的直线交于两点，交轴于点，若，则点的纵坐标为___________.例82．（2022·全国·高三专题练习）抛物线的准线方程是，则实数___________.例83．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题：①；②；③//；④与的交点在轴上；⑤与交于原点.其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号）例84．（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，，⊙M：与抛物线C：有且仅有两个公共点，直线l过圆心M且交抛物线C于A，B两点，则______．例85．（2022·全国·高三专题练习）已知直线过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则______.【过关测试】一、单选题1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且若，则（    ）A．2 B． C． D．42．（2022·安徽·高三开学考试）已知点在抛物线上，若以点为圆心半径为5的圆与抛物线的准线相切，且与轴相交的弦长为6，则（    ）A．2 B．8 C．2或8 D．63．（2022·安徽·高三开学考试）设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（    ）A．3 B．4 C．7 D．134．（2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（    ）A．6 B．8 C．2 D．45．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则的最小值为（    ）A． B． C．8 D．56．（2022·福建师大附中高三阶段练习）设抛物线的焦点为， 若与抛物线有四个不同的交点， 记轴同侧的两个交点为， 则的取值范围是（    ）A． B． C． D．7．（2022·广东广东·高三阶段练习）在曲线上有两个动点，且满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．18．（2022·山东师范大学附中高三期中）抛物线C：的焦点为F，P是其上一动点，点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是（    ）A．的最小值是2B．动点P到点的距离最小值为3C．存在直线l，使得A，B两点关于直线对称D．与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点，则点N在抛物线C的准线上二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线C上，，若为等腰三角形，则直线的斜率可能为（    ）A． B． C． D．10．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知为曲线上一动点，则（    ）A．的最小值为2B．到直线的距离的最小值为C．的最小值为6D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离11．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有（    ）A．焦点F到抛物线准线的距离为2B．若，则点P的坐标为C．过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2D．若点M的坐标为，则的最小值为412．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ）A．的坐标为 B．C． D．三、填空题13．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，若，则___________.14．（2022·全国·高三专题练习）设过抛物线焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是______．15．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，若，则______.16．（2022·四川·成都七中高三开学考试（文））已知抛物线的准线交轴于点，过点作斜率为的直线交于两点，且，则直线的斜率是__________.四、解答题17．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在y轴上，且C经过点，过F且斜率为的直线l与C交于M，N两点，．(1)求C和的方程；(2)求过点M，N且与C的准线相切的圆的方程．18．（2022·全国·高三专题练习）已知点在抛物线上.(1)求抛物线C的方程；(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.19．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.(1)求抛物线的方程.(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.20．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．