数学八年级下册16.2 二次根式的运算优质ppt课件

教学目标

1.理解二次根式的乘法法则.

2.理解积的算术平方根的性质.

3.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.

教学重难点

重点：理解二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质.

难点：会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.

教学过程

复习巩固

1.二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.

“”叫做二次根号，a叫做被开方数.

2.二次根式的性质：

(1) 的性质：

，即二次根式的被开方数非负；，即二次根式的值非负.

(2)的性质：＝|a|＝

导入新课

问题1  运用运载火箭发射航天飞行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度v1.

问题2  飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2=v1，请结合问题1用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2.

【答案】（1）第一宇宙速度v1=.

（2）第二宇宙速度v2=.

探究新知

探究点一　二次根式的乘法

活动1（自学提纲，生成问题）阅读教材P6的内容，完成下面的练习.

问题1  分别计算下列各题你有什么发现？

（1）×与；

（2）×与；

（3）×与.

【解】（1）×＝2×3＝6，

＝＝6.

（2）×＝3×9＝27，

＝＝27.

（3）×＝0.5×10＝5，

＝＝5.

发现：×＝；×＝；×

思考：（学生交流，教师点评）

你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？

学生回答：·＝.

【师生总结】

二次根式的乘法法则:如果a≥0,b≥0，那么有·＝.

即两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.

【教师活动】你能对这条性质进行证明吗？

【学生活动】小组交流，在老师的指导下，写出证明过程.

因为当a≥0,b≥0时，==ab，

又=ab,ab的算术平方根只有一个，所以·＝.

【教师活动】若是三个或三个以上的二次根式相乘，该法则是否适合？

拓展：

二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即·…· (a≥0,b≥0,k≥0).

【教师活动】利用二次根式的性质进行计算时，应注意什么问题？

【学生活动】学生根据二次根式有意义的条件，进行小组总结.即利用二次根式的性质进行计算时，注意被开方数必须是非负数.

【教师活动】根据等式的基本性质，二次根式的乘法法则如何写？

【学生活动】可以写成=·.即积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.

【教师活动】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？

【学生活动】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数.

【师生总结】

通过上面的计算可得出下面的结论：

积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.

用式子表示为·（a≥0，b≥0）.

例题讲解

【例1】　计算：

（1）；（2）；（3）.

【解】（1）=；

（2）===3；

（3）==×=.

【教师活动】指导学生第三小题使用先使用乘法结合律，再运用乘法法则进行计算.

【学生活动】利用二次根式的乘法法则进行计算，总结规律.

归纳：(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘.

跟踪训练  1.计算：

(1)× ；(2)× ；

(3)×；(4) ×.

【教师活动】(引导学生思考)要利用二次根式的乘法法则进行计算.

解：(1)×＝.

(2)×＝＝.

(3)×＝＝=18.

(4)×＝＝.

【例2】　计算：；.

【解】

(2)×＝ (×)＝×9＝.

【教师活动】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？

【学生活动】根据老师的指导独立完成计算过程，再在小组内交流总结二次根式乘法的计算方法.

【师生总结】当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即·  (a≥0,b≥0).

跟踪训练  2.计算：

；（2）.

解：==×=9.

（2）=（-3）××2×=-6=-6

=-30.

【例3】　化简：

(1) ；(2) (a≥0，b≥0)；(3).

【解】(1)＝×＝4×9＝36.

(2)··2a2ab.

(3)=

=×=×=45.

【教师活动】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？

【学生活动】根据积的算术平方根等于算术平方根的积进行运算，交流在做题中的注意事项，对此类题的解题方法进行总结.

【题后总结】(学生总结，老师点评)运用性质进行二次根式的运算过程中，可以把被开方数中的“完全平方因式（因数）”，用它的算术平方根代替，由根号内移到根号外，从而对二次根式进行化简.

跟踪训练  3.化简:

（1） ；（2）;（3）.

解：（1）

（2）=×=6×16=96.

（3）==×=×=5.

【总结】

化简二次根式的步骤：

1.把被开方数分解因式(或因数) .

2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积.

3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用＝|a|把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.

课堂小结

1.二次根式的乘法法则.

2.两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.用式子·(a≥0,b≥0) ；··…·＝(a≥0，b≥0，k≥0).

3.积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.用式子表示为·

(a≥0，b≥0).

布置作业

教材第7页练习

板书设计

第1课时　二次根式的乘法与积的算术平方根

一、二次根式的乘法法则

（a≥0,b≥0）.

两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.

二、积的算术平方根

·（a≥0，b≥0）.

积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.