初中数学16.2 二次根式的运算精品ppt课件

教学目标

1.理解二次根式的除法法则；理解商的算术平方根的性质.

2.会运用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行简单运算.

3.理解最简二次根式的概念，会运用分母有理化将二次根式化简.

4.了解比较两个不含字母的二次根式的大小.

教学重难点

重点：理解二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质，理解最简二次根式.

难点：会运用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行简单运算.

教学过程

复习巩固

1.二次根式的乘法法则

=（a≥0,b≥0）.

两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.

2.积的算术平方根

积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.

用式子表示为·（a≥0，b≥0）.

3.二次根式的性质

（1）的性质：

 a≥0，即二次根式的被开方数非负；≥0，即二次根式的值非负.

（2）的性质：

=∣a∣=

导入新课

活动1  阅读教材P7的内容，完成下面的练习.

计算：（1）　　　　　　　　　；＝　　　　　　　.

（2）　　　　　　　　　；＝　　　　　　　.

通过上面的计算，你有什么发现？

【解】（1），＝；

（2），.

发现： ；.

【教师活动】提问：你能用字母表示你所发现的规律吗？

【学生活动】计算每个式子的结果，进行比较试着用字母表示规律.

探究新知

探究点一　二次根式的除法

问题1  在前面发现的规律＝中，a，b的取值范围有没有限制呢？

学生思考并回答：a≥，.

【教师活动】通过上面的探究我们得到两个二次根式相除的运算法则：

＝(a≥0,b>0).

即：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根.

探究点二　商的算术平方根

【教师活动】我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.

类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到

二次根式的商的算术平方根的性质:

商的算术平方根，等于两个算术平方根的商.

探究三  最简二次根式

计算：（1）；（2）.

【解】（1）；

（2）4.

【教师活动】(引发学生思考)要利用二次根式的除法运算法则进行计算.

【学生活动】先根据老师的提示进行计算，把最后的结果要化成最简的形式分析计算结果，总结规律.

【教师活动】根据上面（1）的计算，发现我们把分子、分母同乘以一个相同的二次根式，这样分母中的根号就去掉了，这种方法就是分母有理化.

二次根式的除法运算,通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行,把分母中的根号化去,就是分母有理化.

对于二次根式运算的结果,我们通常还需把它化成最简.

满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式.

 (1)被开方数的因数是整数,因式是整式;

 (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

化简时注意：

（1）有时需将被开方数分解因式；

（2）当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把分母有理化.

例题讲解

【例1】  计算：

（1）；（2）；（3）；（4）.

【解】（1）=.

（2）＝

（3）=.

（4）=

【教师活动】(引导学生思考) 类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算；巡视学生做题情况，及时纠正错误.

【学生活动】在老师的指导下，利用二次根式的除法法则进行计算.

跟踪训练  1.计算：

(1)； (2)÷；(3).

【探索思路】(引导学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算，需要注意什么？

解：(1) ＝＝＝2 .

 (2)÷＝＝＝＝2.

(4)＝＝＝2.

【题后总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数.

【例2】　化简： (1)； 　(2)；　(3)(x>0).

【解】（1）＝＝.

（2）方法1：＝＝＝.

方法2：＝＝＝.

（3）方法1：＝＝.

方法2：

＝＝＝.

【教师活动】(引发学生思考)利用商的算术平方根的性质进行计算，分别用两种不同的方法计算.

【学生活动】小组内同学分两部分，分别用不同的方法，计算结束后交流做题结果，总结做题过程中注意的问题.

【师生总结】(学生总结，老师点评)商的平方根是二次根式除法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数.

跟踪训练  2.化简:

（1）；（2）；（3）.

解：（1）；

（2）.

（3）.

【例3】  比较2和3的大小.

【解】2===，

3===.

∵ 12＜18，∴

∴ .

你还有其他的证明方法吗？

方法1：=∴ .

方法2： < 1，∴ .

【教师活动】(引发学生思考)比较两个有理数的大小方法有哪些？我们是不是可以类比有理数的大小比较来比较二次根式的大小.

【学生活动】学生根据自己想到的方法对二次根式进行比较，小组内进行交流，小组间进行交流，总结二次根式的大小比较，进行总结.

【归纳】比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用作差法、作商法、平方法等.

跟踪训练  3.比较大小：

（1）2与3；

（2）-2与-3.

 解：（1）∵ 2==，3==，

且20＜27，∴ ＜，即2＜3.

（2）∵ -2=-=，

-3=-=，

且52＜54，∴ ＜，

∴ ＞，即＞.

课堂小结

 (学生总结，老师点评)

布置作业

教材第9页练习第1，2题.

板书设计

第2课时　二次根式的除法与商的算术平方根

一、二次根式的除法法则　　　　　　　　　 

,a≥0,b＞0.

两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根.

二、商的算术平方根

商的算术平方根，等于两个算术平方根的商.

三、最简二次根式

（1）二次根式被开方数不含分母；

（2）被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.