初中沪科版第18章 勾股定理18.1 勾股定理优秀课件ppt

教学目标

1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在教学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.

2.通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理并且会运用勾股定理.

教学重难点

重点：会验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题.

难点：经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.

教学过程

导入新课

教师提出问题：

1.勾股定理的内容是什么？（学生回答）

2.上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？

教师：事实上，现在已经有数百种勾股定理的验证方法，这节课我们就来验证一下勾股定理.

设计意图：回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度，介绍世界上一些验证方法，激发学生的学习兴趣.

探究新知

预习新知

让学生自主预习课本第53页.

提出问题：如下图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？

先让学生独立作图、验证，并让学生发表自己的见解，再小组讨论勾股定理是否正确.

设计意图：通过让学生自己动手作图、验证，不仅能锻炼学生的动手能力，还能加深对勾股定理的理解.

合作探究

探究一   验证勾股定理

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.

求证：.

证明:取4个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图1所示的正方形.

      图1                        图2

问题1  四边形是正方形吗？

学生：四边形是正方形.

∵ =c, 

∠H=∠E，∴∠E+∠H=90°，∴ ∠=90°.

同理∠=∠=∠=90°,

∴ 四边形是正方形.

问题2  你可以利用两种方法来表示图1中的大正方形的面积吗？

学生先独立思考，再小组交流得到答案和2ab+

问题3  你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？

学生： = 2ab+，化简后得到.

从而利用图1验证了勾股定理，此方法称为毕达哥拉斯法.

教师：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，利用整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理.

你还能利用图2验证勾股定理吗？

问题4  图2中小正方形的边长是多少？

问题5  你可以利用两种方法来表示图2中的大正方形的面积吗？

问题6  你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？

提出几个问题让学生根据问题独立探究，再小组交流，最后请一位同学上台讲解利用图2验证勾股定理.

图2中小正方形边长是b－a.和都可以表示图2中小正方形的面积，根据同一图形面积相等得到，化简后得到.

从而利用图2也验证了勾股定理，图2我们又称为赵爽弦图.

设计意图：教师层层设问引导学生来完成勾股定理的验证，通过两个图形让学生体会数形结合的思想并体会成功的快乐，学生先拼图从形上感知，再利用面积验证，比较容易掌握本节课的重点内容.

探究二   非直角三角形的三边是否满足

前面已经讨论了直角三角形的三边长满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形是否也满足这一关系呢？

观察下图，利用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足.

【教师活动】引导学生数出图形中每个正方形所占的格子数，验证是否满足.

【学生活动】根据网格特点数出每个正方形的面积，小组交流，得出结论.

【结论】如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边长a，b，c不满足，通过这个结论，学生将对直角三角形的三边关系有进一步认识.

跟踪训练  根据下图，利用面积法证明勾股定理.

【教师活动】提示学生从不同的角度计算图形的面积.

【学生活动】先小组交流图形面积的计算，再写出证明过程.

证明：∵ S梯形ABCD = S△ABE +S△BCE +S△EDA，

又∵ S梯形ABCD = (a+b)2，S△BCE = S△EDA = ab，S△ABE = c2，

∴ (a+b)2 = 2×ab+c2，∴ a2+b2 = c2，即勾股定理得证.

典型例题

【例1】  作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，再作三个边长分别为a，b，c的正方形，将它们如下图所示拼成两个正方形.

证明：a2+b2 = c2.

【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a+b，∴ 它们的面积相等.

左边大正方形面积可表示为a2+b2+ab×4，

右边大正方形面积可表示为c2+ab×4.

∵ a2+b2+ab×4 = c2+ab×4，∴ a2+b2 = c2.

【教师活动】（引导学生分析）从整体上看，这两个大正方形的边长都是a+b，因此它们的面积相等.我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理.

【学生活动】用不同的方法表示图形的面积，小组内交流，利用“等积法”列式整理.

【师生总结】根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理.

【例2】  如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本为5 000万元/km，该沿江高速公路的造价预计是多少？

【解】在Rt△OMN中，根据勾股定理得MN 2+ON 2 = OM 2，

∴ 302+402 = OM 2，

∴ OM = 50 km.

同理OQ = 130 km，

∴ 造价为（50+130）5 000 = 900 000（万元）.

答：造价预计是900 000万元.

【教师活动】分析总造价计算公式是：总造价=每千米造价千米数；巡视学生做题，及时纠正做题中出现的错误.

【学生活动】先理清楚思路，知道先求什么?再如何求总造价，独立完成计算，小组内交流答案.

【师生总结】解答本题的关键是先利用勾股定理求出高速公路的长度，再求总造价.

【例3】  现有一楼房发生火灾,消防队员决定用消防车上的云梯救人,如图，已知云梯最多只能伸长到10 m,消防车高3 m.救人时云梯伸至最长,在完成从9 m高处救人后,还要从12 m高处救人,这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米?(精确到0.1 m)

图（1）                   图（2）

分析:如图(2),设A是云梯的下端点，AB是伸长后的云梯,B是第一次救人的地点,D是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房ED的交点为O.求出OB,

OD的长度，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AO，设AC = x m，则OC = 8-x，

在Rt△COD中，根据勾股定理得出关于x的一元二次方程，解方程即可.

【解】如图所示，根据题意得：BE=9 m,OE=3 m, DE=12 m,

∴ OB=9-3=6(m),OD=12-3=9(m).

在Rt△AOB中，AB=10 m,∠AOB=90°，,

∴ ==64,

∴ AO=8（m）.

设AC=x m，则OC=8-x，在Rt△COD中，,

即，

解得x=8±.

∴ ≈12.4,≈3.6.

∵ AC＜AO＜AB，∴x=3.6.

答：消防车要从原处再向着火的楼房靠近3.6米.

【教师活动】引导学生分析问题的思路，巡视学生做题情况，纠正做题中出现的问题.

【学生活动】两名学生到黑板上书写证明过程，其余学生先自主完成证明过程，再小组内交流合作，互相纠正.

课堂小结

(学生总结，老师点评)

勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

验证方法：两种证法.

布置作业

教材第57页习题18.1第5,6题.

板书设计

第2课时　勾股定理的证明及应用

1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.两种证明方法.