数学苏科版6.3 相似图形精品综合训练题

第12讲 比例线段及相似图形（4大考点）

一．比例的性质

（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．

（2）常用的性质有：

①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．

②合比性质．若＝，则＝．

③分比性质．若＝，则＝．

④合分比性质．若＝，则＝．

⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．

二．比例线段

（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．

三．黄金分割

（1）黄金分割的定义：

如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．

其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．

（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．

黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．

（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．

四．相似图形

（1）相似图形

我们把形状相同的图形称为相似图形．

（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：

①相似图形的形状必须完全相同；

②相似图形的大小不一定相同；

③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．

（3）相似三角形

 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．

一．比例的性质（共8小题）

1．（2022秋•邗江区月考）若＝，则下列式子正确的是（　　）

A．＝7 B．＝ C．＝4 D．＝

2．（2022秋•惠山区校级月考）已知，则的值是（　　）

A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4

3．（2022秋•建邺区校级月考）若，则＝　   　．

4．（2022•仪征市二模）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米．……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为 　   　升．

5．（2022秋•江阴市校级月考）（1）已知，2x+y≠0，求的值．

（2）已知＝＝＝x，求x的值．

6．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 　   　倍．

7．（2021秋•靖江市期末）设a，b，c是△ABC的三条边，且＝＝，判断△ABC为何种三角形？并说明理由．

8．（2022秋•惠山区校级月考）已知＝＝≠0，则的值是 　   　．

二．比例线段（共5小题）

9．（2022秋•相城区校级月考）已知A、B两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺为（　　）

A．10000：1 B．1000：1 C．1：100000 D．1：1000

10．（2022秋•靖江市期中）比例尺是1：3000的地图上，某条街道的长度为25cm，它的实际长度约为 　   　米．

11．（2021秋•淮安区期末）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．

（2）已知x：y＝4：3，求的值．

12．（2022秋•宜兴市月考）已知线段a＝4cm，b＝5cm，那么线段a、b的比例中项等于 　   　cm．

13．（2022•淮安区模拟）已知线段a＝4cm，线段b＝7cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．

三．黄金分割（共8小题）

14．（2020秋•宝应县月考）如图，点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，若AC＝2，求AB、BC的长．

15．（2022秋•宜兴市月考）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD（AD＝AB）、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为（　　）

A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定

16．（2022秋•邗江区校级月考）已知点C为线段AB的黄金分割点且AB＝5，则AC≈　   　（精确到0.1）．

17．（2022•建邺区二模）点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝5且PA＞PB，则PA长最接近的整数是 　   　．

18．（2022秋•靖江市期中）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），如果AC的长度为10cm，则BC的长度为 　   　cm．（结果保留根号）

19．（2022秋•苏州期中）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，D是边BC的“黄金分割”点，若AB＝AD＝CD＝2，且BD＜DC，则AC的长度是 　   　．

20．（2022秋•宜兴市月考）再读教材：

宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）

第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．

第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．

第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．

第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．

问题解决：

（1）图③中AB＝　   　（保留根号）；

（2）如图④中的黄金矩形是：　   　．

（3）请写出图④中的一个黄金矩形，说明理由．

21．（2022秋•邗江区月考）再读教材：

宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）

第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．

第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．

第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．

第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．

问题解决：

（1）图③中AB＝　   　（保留根号）；

（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；

（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．

四．相似图形（共6小题）

22．（2022秋•江阴市校级月考）下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是　   　．

23．（2022秋•靖江市期中）下列图形中，不一定是相似图形的是（　　）

A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 

C．两个长方形 D．两个圆

24．（2020秋•崇川区校级月考）如图，我们规定菱形与正方形，矩形与正方形的接近程度称为“接近度”，在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．

（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为|α﹣β|，于是|α﹣β|越小，菱形越接近正方形．

①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为　   　；

②当菱形的“接近度”等于　   　时，菱形是正方形；

（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），试写出矩形的“接近度”的合理定义．

25．（2020秋•宜兴市月考）下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是　   　．

26．（2020秋•徐州期末）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．

（1）A4纸较长边与较短边的比为　   　；

（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．

27．（2021•锡山区一模）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于　   　．

一、单选题

1．（2021·江苏宝应·九年级期中）已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（    ）

A．2 B．6 C．8 D．2

2．（2020·江苏·淮安外国语学校九年级月考）若，则下列各式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·江苏·九年级专题练习）已知，那么下列比例式中成立的是（        ）

A． B．

C． D．

4．（2021·江苏如皋·九年级期末）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（    ）  

A． B．

C． D．

5．（2021·江苏·常州外国语学校九年级月考）在比例尺为的宜宾交通游览图上，宜宾长江大桥长约，它的实际长度约为（   ）

A． B． C． D．

6．（2021·江苏海陵·九年级期末）下列各组图形中，一定相似的是（　　）

A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形

C．两个平行四边形 D．两个菱形

7．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，已知直线a//b//c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若，则＝(　　)

A． B． C． D．1

二、填空题

8．（2021·江苏姜堰·九年级期中）若，则的值为________．

9．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）若x﹣3y＝0，则＝___．

10．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如果在比例尺1：50000的地图上，A、B两地的图上距离为2cm，则A、B两地的实际距离为 ___m．

11．（2019·江苏南京·九年级期末）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝4，那么AP＝____．

12．（2021·江苏惠山·九年级期中）在比例尺为1:1000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是2.6cm,则甲、乙两地的实际距离为_______千米.

13．（2020·江苏·靖江外国语学校九年级月考）若a∶b=3∶2，且b是a，c的比例中项，则b∶c等于____．

14．（2021·江苏大丰·九年级期末）在比例尺为1：800000的盐城市地图上，大丰实验初中与滨海第一初级中学的图上距离为16cm，则实际距离为_____km．

15．（2021·江苏宜兴·九年级月考）已知，则________

16．（2020·江苏·宜兴市丁蜀镇陶都中学九年级月考）下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是_____．

17．（2021·江苏无锡·中考真题）下列命题中，正确命题的个数为________．

①所有的正方形都相似

②所有的菱形都相似

③边长相等的两个菱形都相似

④对角线相等的两个矩形都相似

18．（2021·江苏苏州·九年级期中）相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，从外形看最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于____厘米．（精确到0.01）

19．（2018·江苏相城·九年级期中）比例尺为1：9000的苏州市城区地图上，山塘街的长度约为40cm，它的实际长度约为_____km．

三、解答题

20．（2021·江苏阜宁·九年级期末）已知是和3的比例中项，求．

21．（2021·江苏江阴·九年级期中）求值：

（1）已知，求的值；

（2）已知，a＋b＋c＝22，求3a－b＋2c的值．

22．（2019·江苏武进·中考模拟）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形.如图，矩形是矩形的“加倍”矩形.

解决问题：

（1）当矩形的长和宽分别为3，2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由.

（2）边长为的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由.

23．（2018·江苏·沭阳县修远中学九年级期末）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长．

24．（2018·江苏赣榆·九年级期末）已知:．且2x+y﹣z＝6，求3x+2y﹣z的值．

25．（2021·江苏徐州·九年级期末）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．

（1）A4纸较长边与较短边的比为　   　；

（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．