资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩31页未读，
继续阅读
所属成套资源：九年级数学考试满分全攻略（苏科版）
成套系列资料，整套一键下载
苏科版九年级下册6.7用相似三角形解决问题精品课堂检测
展开
这是一份苏科版九年级下册6.7用相似三角形解决问题精品课堂检测，文件包含第15讲用相似三角形解决问题2大考点解析版docx、第15讲用相似三角形解决问题2大考点原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共119页， 欢迎下载使用。
第15讲用相似三角形解决问题（2大考点）
考点考向
相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
考点精讲
一．相似三角形的应用（共12小题）
1．（2022•东海县一模）如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5m的标准视力表制作了一个测试距离为3m的视力表如果标准视力表中“E”的高a是72.7mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是 mm．
2．（2021秋•苏州期末）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm，6cm，则实像CD的高度为（ ）
A．4cm B．4.5cm C．5cm D．6cm
3．（2022秋•靖江市校级月考）《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．
4．（2022•盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，
步骤：
第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（ ）
A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
5．（2022秋•苏州期中）如图，燃烧的蜡烛AB经小孔O在屏幕上成像A′B′，设AB＝30cm，小孔O到AB、A′B′的距离分别为32cm、20cm，则像A′B′的长是 cm．
6．（2022秋•吴江区月考）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为 ．
7．（2022•广陵区校级开学）为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为3.0米，树的底部与平面镜的水平距离为12.0米，若小文的眼睛与地面的距离为1.7米，则树的高度约为 米（注：反射角等于入射角）
8．（2022•姑苏区一模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝20m，则铁塔的高度为 m．
9．（2022秋•宜兴市月考）有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长为xcm．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当x取多少时，EFGH是正方形．
10．（2022•广陵区校级开学）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面AB的长为1.6m，标杆FC的长为3.2m，且BC的长为2m，CD的长为5m，求电视塔的高ED．
11．（2022•淮安区模拟）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC＝8.7m，窗口高AB＝1.8m，求窗口底边离地面的高BC．
12．（2022•工业园区校级二模）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（ ）
A．2米 B．3米 C．米 D．米
二．相似形综合题（共10小题）
13．（2022秋•天宁区校级月考）矩形ABCD中AB＝8，BC＝6；将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点C'落在AD延长线上（图1）．
（1）若∠ACB＝53°，求∠B'AD的度数与C'D的长度；
（2）如用2将△AB'C'向右平移得△A'B'C'，两直角边与矩形相交于点E、F；当平移的距离是多少时，能使△B'EF与△A'B'C'相似．（先填空，再完成解答）
解：设平移的距离为x，则B'E＝ ，B'F＝ （用含x的代数式表示）．
14．（2022秋•锡山区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，其中一个点停止时，另一个点亦停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t＝ s时，△PCQ∽△ACB；
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
（3）当t为几秒时，四边形ABPQ的面积最小？是多少？
15．（2022秋•姜堰区校级月考）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF．
（2）在∠EDF绕点D旋转过程中：①如图2，求证：CD2＝CE•CF；②若CE＝6，CF＝3，求DN的长．
16．（2022秋•清江浦区月考）【结论提出】：三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于夹这个角的两条边的比．
【思路说明】已知：如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D．试说明：＝．理由：过点C作CE∥AD，交BA延长线于点E，易得＝ ，由CE∥AD，AD平分∠BAC可得AE＝ ，代入上式得＝．
【直接应用】
（1）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD＝10，CD＝6，在不添加辅助线的情况下直接写出AB＝ ．
（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝6，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，延长EF、AF分别交AB，BC于M、H两点，当FH＝BH时，
①求BH的长；
②直接写出＝ ；
【拓展延申】
（3）如图4，若四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，当点E为CD边的三等分点时，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF与BC所在直线交于点P、与AD所在直线交于点Q，请直接写出CP的长 ．
17．（2022秋•射阳县月考）从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；
（3）如图②，在△ABC中，AC＝3，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
18．（2022秋•江阴市校级月考）（1）模型建立：如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB．
（2）类比探究：如图2，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，射线AE交DC的延长线于点M，射线AF交BC的延长线于点N，若AF＝4，CF＝2，AM＝10．
求：①CM的长；
②FN的长．
（3）解决问题：如图3，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E为AD的中点，在平面内存在点F，且满足FE＝1，以AF为一边作△FAP（顶点F、A、P按逆时针排列），使得AP＝2AF，且∠FAP＝120°，请直接写出2PD+PC的最小值．
19．（2022•吴中区模拟）如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：①∠CAF＝∠DAE；②FC＝DE；③当∠AEC＝135°时，E为△ADC的内心；④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．（2022秋•苏州期中）如图1，在直角△ABC中∠C＝90°，D是AC的中点，△ABC∽△DEC，AC＝2，BC＝4．
（1）求证：DE∥AB；
（2）如图2，将△DEC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AD，BE．
①求的值；
②若A，D，E三点共线，求∠DEB的度数．
21．（2022秋•工业园区校级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E．
①若DE＝2，BD＝3，求BC的长；
②试探究﹣是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCE＝2∠CBD，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥BC，交AC的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BCD的面积为S1．若S1•（S2﹣S3）＝S22，求cos∠CBD的值．
22．（2022秋•锡山区期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD＝∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：AE＝2PE；
（2）y关于x的函数解析式 ；
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
巩固提升
一．填空题（共4小题）
1．（2022春•海门市期中）如图，为了测量一栋楼的高度，小王在他的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同时量得BC＝0.3m，CE＝2m，则楼高DE为 m．
2．（2022•淮安区模拟）如图，小明在B时测得直立于地面的某树的影长为12米，A时又测得该树的影长为3米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米．
3．（2022•如皋市一模）如图，利用标杆DE测量楼高，点A、D、B在同一条直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E、C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，则楼高BC为 m．
4．（2022•亭湖区校级开学）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为 ．
二．解答题（共10小题）
5．（2022春•锡山区校级期中）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜3.6），请回答下列问题：
（1）求当t为何值时，△EFD∽△ABD？
（2）求当t为何值时，△EFD为等腰三角形；
（3）将△EMN沿直线MN进行翻折，形成的四边形能否是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
6．（2022春•宿豫区期中）在正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（与点B、C不重合），以AE为直角边在直线BC上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°．
（1）如图1，若EF与CD交于点G，连接CF．
①求证：△ABE∽△ECG；
②求的值；
③若正方形ABCD的边长为1，在点E运动过程中，则以A、D、F为顶点的三角形周长的最小值为 ；
（2）如图2，若AF与CD交于点P，连接BD分别与AE、AF交于点M、N，连接PM．求证：PM⊥AE．
7．（2022•姑苏区校级模拟）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．
（1）若AB＝8，AE＝6，BD＝2，则CF＝ ；
（2）求证：△EBD∽△DCF．
【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠BAC＝2α，则△AEF与△ABC的周长之比为 （用含α的表达式表示）．
8．（2022•仪征市二模）如图1，在锐角三角形ABC中，点D在边BC上，过点D分别作线段AC，AB的垂线，E垂足为点E、F．如果＝sin∠CAB，那么我们把AD叫做△ABC关于∠CAB的正DF平分线．
（1）如图2，AB＝AC，∠CAB＝45°，BD＝CD，试说明AD为△ABC关于∠CAB的正平分线；
（2）如图3，若AD为△ABC关于∠CAB的正平分线，过点D作DF⊥AB，DM//AB，MN⊥AB．
①试说明：四边形MNFD为正方形；
②若AB＝120，边AB上的高为80，tanB＝，求∠CAB的正平分线AD的长．
9．（2022•泰兴市一模）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，E是AB上的一点，BE＝5，点D是线段BC上的一个动点，沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，连接BC'．
（1）求证：△AEC'∽△AC'B；
（2）若点F是BC上的一点，且BF＝，
①若△BC'F与△BC'E的面积比是，请用无刻度的直尺和圆规在图（2）中作出折叠后的△AC'D（保留作图痕迹，不写作法）；
②求BC'+FC'的最小值．
10．（2022•武进区一模）阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是 ；
（2）若矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE•AD，这个矩形发生变形后为▱A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为（m＞0），▱A1B1C1D1的面积为（m＞0），求∠A1E1B1+∠A1D1B1的大小．
11．（2022春•崇川区校级月考）矩形ABCD中，AC，BD交于点O，E为射线AD上一点，且AE＝CE，作射线CE交BD所在的直线于F．
（1）当AD＞AB，
①求证：△EAC∽△OBC；
②若BD⊥CE，求的值；
（2）若，求的值．
12．（2022•常州一模）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．
（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”；
（2）请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数；
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD的长．
13．（2022•邳州市一模）已知OM⊥ON，垂足为点O，点E、F分别在射线OM、ON上，连接EF，点A为EF的中点，ED∥ON，ED＝DF，连接OA并延长交线段ED或DF于点G．
（1）如图1所示，当点G在ED上，若OG＝DE，则∠EDF＝ °；
（2）当点G在FD．上，请在图2中画出图形并证明△DEF∽△AOF；
（3）若DG＝2，AG＝4，求DF的长．
14．（2022•泗洪县二模）由教科书知道，相似三角形的定义：如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似；由教科书中实践操作可得基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（1）请依据上面定义和事实，完成下列问题：
①已知，如图甲，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC．问：△ADE与△ABC相似吗？试证明．
②你得到的结论是：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形 ．
（2）依据（1）中②的结论完成下列问题：
已知，如图乙，在△ABC和△A'B'C'中，，∠A＝∠A'．
①问：△A'B'C'与△ABC相似吗？试证明．
②你得到的结论是： 的两个三角形相似．
第15讲用相似三角形解决问题（2大考点）
考点考向
相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
考点精讲
一．相似三角形的应用（共12小题）
1．（2022•东海县一模）如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5m的标准视力表制作了一个测试距离为3m的视力表如果标准视力表中“E”的高a是72.7mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是 mm．
2．（2021秋•苏州期末）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm，6cm，则实像CD的高度为（ ）
A．4cm B．4.5cm C．5cm D．6cm
3．（2022秋•靖江市校级月考）《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．
4．（2022•盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，
步骤：
第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（ ）
A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
5．（2022秋•苏州期中）如图，燃烧的蜡烛AB经小孔O在屏幕上成像A′B′，设AB＝30cm，小孔O到AB、A′B′的距离分别为32cm、20cm，则像A′B′的长是 cm．
6．（2022秋•吴江区月考）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为 ．
7．（2022•广陵区校级开学）为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为3.0米，树的底部与平面镜的水平距离为12.0米，若小文的眼睛与地面的距离为1.7米，则树的高度约为 米（注：反射角等于入射角）
8．（2022•姑苏区一模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝20m，则铁塔的高度为 m．
9．（2022秋•宜兴市月考）有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长为xcm．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当x取多少时，EFGH是正方形．
10．（2022•广陵区校级开学）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面AB的长为1.6m，标杆FC的长为3.2m，且BC的长为2m，CD的长为5m，求电视塔的高ED．
11．（2022•淮安区模拟）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC＝8.7m，窗口高AB＝1.8m，求窗口底边离地面的高BC．
12．（2022•工业园区校级二模）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（ ）
A．2米 B．3米 C．米 D．米
二．相似形综合题（共10小题）
13．（2022秋•天宁区校级月考）矩形ABCD中AB＝8，BC＝6；将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点C'落在AD延长线上（图1）．
（1）若∠ACB＝53°，求∠B'AD的度数与C'D的长度；
（2）如用2将△AB'C'向右平移得△A'B'C'，两直角边与矩形相交于点E、F；当平移的距离是多少时，能使△B'EF与△A'B'C'相似．（先填空，再完成解答）
解：设平移的距离为x，则B'E＝ ，B'F＝ （用含x的代数式表示）．
14．（2022秋•锡山区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，其中一个点停止时，另一个点亦停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t＝ s时，△PCQ∽△ACB；
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
（3）当t为几秒时，四边形ABPQ的面积最小？是多少？
15．（2022秋•姜堰区校级月考）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF．
（2）在∠EDF绕点D旋转过程中：①如图2，求证：CD2＝CE•CF；②若CE＝6，CF＝3，求DN的长．
16．（2022秋•清江浦区月考）【结论提出】：三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于夹这个角的两条边的比．
【思路说明】已知：如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D．试说明：＝．理由：过点C作CE∥AD，交BA延长线于点E，易得＝ ，由CE∥AD，AD平分∠BAC可得AE＝ ，代入上式得＝．
【直接应用】
（1）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD＝10，CD＝6，在不添加辅助线的情况下直接写出AB＝ ．
（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝6，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，延长EF、AF分别交AB，BC于M、H两点，当FH＝BH时，
①求BH的长；
②直接写出＝ ；
【拓展延申】
（3）如图4，若四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，当点E为CD边的三等分点时，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF与BC所在直线交于点P、与AD所在直线交于点Q，请直接写出CP的长 ．
17．（2022秋•射阳县月考）从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；
（3）如图②，在△ABC中，AC＝3，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
18．（2022秋•江阴市校级月考）（1）模型建立：如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB．
（2）类比探究：如图2，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，射线AE交DC的延长线于点M，射线AF交BC的延长线于点N，若AF＝4，CF＝2，AM＝10．
求：①CM的长；
②FN的长．
（3）解决问题：如图3，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E为AD的中点，在平面内存在点F，且满足FE＝1，以AF为一边作△FAP（顶点F、A、P按逆时针排列），使得AP＝2AF，且∠FAP＝120°，请直接写出2PD+PC的最小值．
19．（2022•吴中区模拟）如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：①∠CAF＝∠DAE；②FC＝DE；③当∠AEC＝135°时，E为△ADC的内心；④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．（2022秋•苏州期中）如图1，在直角△ABC中∠C＝90°，D是AC的中点，△ABC∽△DEC，AC＝2，BC＝4．
（1）求证：DE∥AB；
（2）如图2，将△DEC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AD，BE．
①求的值；
②若A，D，E三点共线，求∠DEB的度数．
21．（2022秋•工业园区校级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E．
①若DE＝2，BD＝3，求BC的长；
②试探究﹣是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCE＝2∠CBD，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥BC，交AC的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BCD的面积为S1．若S1•（S2﹣S3）＝S22，求cos∠CBD的值．
22．（2022秋•锡山区期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD＝∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：AE＝2PE；
（2）y关于x的函数解析式 ；
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
巩固提升
一．填空题（共4小题）
1．（2022春•海门市期中）如图，为了测量一栋楼的高度，小王在他的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同时量得BC＝0.3m，CE＝2m，则楼高DE为 m．
2．（2022•淮安区模拟）如图，小明在B时测得直立于地面的某树的影长为12米，A时又测得该树的影长为3米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米．
3．（2022•如皋市一模）如图，利用标杆DE测量楼高，点A、D、B在同一条直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E、C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，则楼高BC为 m．
4．（2022•亭湖区校级开学）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为 ．
二．解答题（共10小题）
5．（2022春•锡山区校级期中）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜3.6），请回答下列问题：
（1）求当t为何值时，△EFD∽△ABD？
（2）求当t为何值时，△EFD为等腰三角形；
（3）将△EMN沿直线MN进行翻折，形成的四边形能否是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
6．（2022春•宿豫区期中）在正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（与点B、C不重合），以AE为直角边在直线BC上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°．
（1）如图1，若EF与CD交于点G，连接CF．
①求证：△ABE∽△ECG；
②求的值；
③若正方形ABCD的边长为1，在点E运动过程中，则以A、D、F为顶点的三角形周长的最小值为 ；
（2）如图2，若AF与CD交于点P，连接BD分别与AE、AF交于点M、N，连接PM．求证：PM⊥AE．
7．（2022•姑苏区校级模拟）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．
（1）若AB＝8，AE＝6，BD＝2，则CF＝ ；
（2）求证：△EBD∽△DCF．
【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠BAC＝2α，则△AEF与△ABC的周长之比为 （用含α的表达式表示）．
8．（2022•仪征市二模）如图1，在锐角三角形ABC中，点D在边BC上，过点D分别作线段AC，AB的垂线，E垂足为点E、F．如果＝sin∠CAB，那么我们把AD叫做△ABC关于∠CAB的正DF平分线．
（1）如图2，AB＝AC，∠CAB＝45°，BD＝CD，试说明AD为△ABC关于∠CAB的正平分线；
（2）如图3，若AD为△ABC关于∠CAB的正平分线，过点D作DF⊥AB，DM//AB，MN⊥AB．
①试说明：四边形MNFD为正方形；
②若AB＝120，边AB上的高为80，tanB＝，求∠CAB的正平分线AD的长．
9．（2022•泰兴市一模）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，E是AB上的一点，BE＝5，点D是线段BC上的一个动点，沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，连接BC'．
（1）求证：△AEC'∽△AC'B；
（2）若点F是BC上的一点，且BF＝，
①若△BC'F与△BC'E的面积比是，请用无刻度的直尺和圆规在图（2）中作出折叠后的△AC'D（保留作图痕迹，不写作法）；
②求BC'+FC'的最小值．
10．（2022•武进区一模）阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是 ；
（2）若矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE•AD，这个矩形发生变形后为▱A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为（m＞0），▱A1B1C1D1的面积为（m＞0），求∠A1E1B1+∠A1D1B1的大小．
11．（2022春•崇川区校级月考）矩形ABCD中，AC，BD交于点O，E为射线AD上一点，且AE＝CE，作射线CE交BD所在的直线于F．
（1）当AD＞AB，
①求证：△EAC∽△OBC；
②若BD⊥CE，求的值；
（2）若，求的值．
12．（2022•常州一模）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．
（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”；
（2）请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数；
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD的长．
13．（2022•邳州市一模）已知OM⊥ON，垂足为点O，点E、F分别在射线OM、ON上，连接EF，点A为EF的中点，ED∥ON，ED＝DF，连接OA并延长交线段ED或DF于点G．
（1）如图1所示，当点G在ED上，若OG＝DE，则∠EDF＝ °；
（2）当点G在FD．上，请在图2中画出图形并证明△DEF∽△AOF；
（3）若DG＝2，AG＝4，求DF的长．
14．（2022•泗洪县二模）由教科书知道，相似三角形的定义：如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似；由教科书中实践操作可得基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（1）请依据上面定义和事实，完成下列问题：
①已知，如图甲，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC．问：△ADE与△ABC相似吗？试证明．
②你得到的结论是：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形 ．
（2）依据（1）中②的结论完成下列问题：
已知，如图乙，在△ABC和△A'B'C'中，，∠A＝∠A'．
①问：△A'B'C'与△ABC相似吗？试证明．
②你得到的结论是： 的两个三角形相似．
相关试卷
初中6.4 探索三角形相似的条件优秀达标测试： 这是一份初中6.4 探索三角形相似的条件优秀达标测试，文件包含重难点01相似三角形6种解题模型解析版docx、重难点01相似三角形6种解题模型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共148页， 欢迎下载使用。
初中数学苏科版九年级下册6.5 相似三角形的性质精品练习： 这是一份初中数学苏科版九年级下册6.5 相似三角形的性质精品练习，文件包含第14讲相似三角形的性质与图形位似6大考点解析版docx、第14讲相似三角形的性质与图形位似6大考点原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共98页， 欢迎下载使用。
数学第6章 图形的相似6.4 探索三角形相似的条件精品精练： 这是一份数学第6章 图形的相似6.4 探索三角形相似的条件精品精练，文件包含第13讲探索三角形相似的条件2大考点解析版docx、第13讲探索三角形相似的条件2大考点原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共88页， 欢迎下载使用。
