2023陕西省西北工业大学附中高一上学期1月期末数学试题含答案

这是一份2023陕西省西北工业大学附中高一上学期1月期末数学试题含答案，共18页。
西工大附中2022-2023学年上学期1月期末高一数学一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则等于（    ）A． B．C． D．2．若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．已知向量与不共线，且，，若，，三点共线，则实数，应该满足的条件是A． B． C． D．4．已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（    ）A． B． C．－ D．－5．已知平面向量与的夹角为，则的最大值为（    ）A． B．2 C．4 D．86．在 中，点 满足 ，则（    ）公众号高中试卷资料下载A．点 不在直线 上 B．点 在 的延长线上C．点 在线段 上 D．点 在 的延长线上7．已知向量，且 与方向相同，则的取值范围是（    ）A．（1，+∞） B．（-1，1）C．（-1，+∞） D．（-∞，1）8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（    ）A． B．C． D．二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列函数中，定义域为的函数是（    ）A． B．C． D．10．下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，则11．已知是第一象限角，且，则下列关系正确的是（    ）A． B．C． D．12．设函数，对关于的方程，下列说法正确的是（    ）A．当时，方程有3个实根B．当时，方程有5个不等实根C．若方程有2个不等实根，则D．若方程有6个不等实根，则 三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知，则的值为____．14．已知函数的最小正周期是，且的图象过点，则的图象的对称中心坐标为___________.15．如图，在中， ，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则=________. 16．对任意，一元二次不等式都成立，则实数k的取值范围为______．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求的最大值和对应的取值；(3)求在的单调递增区间.18．在平面直角坐标系中,角的顶点坐标原点,始边为的非负半轴,终边经过点.(1)求的值;(2)求的值.19．已知定义在上的奇函数，在时，且．(1)求在上的解析式；(2)若，常数，解关于的不等式．20．已知函数．(1)若函数有唯一零点，求实数的取值范围；(2)若对任意实数，对任意，恒有成立，求正实数的取值范围．21．已知函数是奇函数，且.(1)求a，b的值；(2)证明函数在上是增函数.
参考答案1．B化简集合，求出补集，再根据交集的概念运算求解可得结果.，或，所以.故选：B2．D根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．∵﹣1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0，∴0＜cosx≤1，又sinx＜0，∴角x为第四象限角，故选D．本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．3．A试题分析：依题意，，∴，即，求得，故选A.考点：共线向量定理.4．C根据题意写出的表达式，结合二次函数知识求得，根据投影向量的定义即可求得答案.由题意得，,，当时，有最小值，即，则在上的投影向量为 ，故选：C5．C在三角形中利用数形结合构造关于不等式，解之即可求得的最大值以向量与为两边作△，，，则则在△中，即，则，当且仅当即时等号成立.故选：C6．B由已知条件可得，从而可得与共线，进而可得结论因为，得，所以，所以三点共线，且点 在 的延长线上，故选：B7．C与同向，用共线基本定理得到关系，表示依据的范围去求.因为与同向，所以可设 则有，又因为，，所以所以的取值范围是(-1，+∞)，故选：C.8．A根据三角函数的性质及函数的单调性可得函数的值域，再根据高斯函数的定义求出的值域即得.当时，，，所以，当时，单调递减，所以；综上，，所以函数的值域为.故选：A.9．AC根据基本初等函数的定义域逐项分析即得.对于A， 函数的定义域为，符合题意；对于B，函数的定义域为，不符合题意对于C，函数的定义域为，符合题意；对于D，函数的定义域为R，不符合题意.故选：AC.10．AD通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.对于A，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选项A正确；对于B，当，，，时，有，，但此时，，，故选项B错误；对于C，当，，时，有，，但此时，，，故选项C错误；对于D，∵，∴，∴，∴，∴，由不等式的同向可加性，由和可得，故选项D正确.故选：AD.11．BC由题意可知，利用特殊值可以排除AD选项，再根据同角三角函数的基本关系判断BC即可.是第一象限角，且，当时，此时，所以A错误；易知，，所以，又因为，即，所以，即C正确；又因为，所以，因此，即，故B正确；取，则，所以D不成立.故选：BC.12．ABD根据分段函数解析式可画出函数图象，再利用一元二次方程根的分布情况研究的根的个数，对选项逐一判断即可.由函数可知，图象如下：对于A，当时，方程即为，即，所以而，由图可知与有三个交点，即方程有3个不同的实根.故A正确；对于B，当时，方程为，即解得或；时，由图可知与有三个交点，即此时方程有3个不同的实根，时，由图可知与有两个交点，即此时方程有2个不同的实根；综合可知，当时，方程有5个不等实根；即B正确；对于C，令，则方程等价成；由图可知，若方程有2个不等实根，包括以下三种情况，①方程只有一根，且则，即或由A可知，时不合题意，舍去；当时，此时，方程只有一根，不合题意；②方程只有一根，且，由①知，此时也不符合题意；③方程有两个不相等的实数根，且或 或令若，需满足解得，不合题意；若，需满足，解得,即若，需满足，解得，不合题意；综上可知，若方程有2个不等实根，则；故C错误；对于D，若方程有6个不等实根，则需满足方程有两个不相等的实数根，且；则需满足解得即可得；故D正确.故选：ABD关键点点睛：根据分段函数的函数性质画出分段函数的图象，由方程根的个数并结合函数图象从而确定根的分布情况，确定根的取值范围，进而确定参数的取值范围.13．根据两角和与差的正弦、余弦公式展开后将弦化切即可求解..故答案为：.14．根据周期确定的值，再由的图象过点确定值，从而函数解析式确定，再根据正弦函数的对称中心可解得答案.由题意函数的最小正周期是，可知，再由的图象过点，可得，则,故,所以由知：，所以，令，可得，所以的图象的对称中心坐标为，故答案为：15．设扇形的半径为，则扇形的面积为，直角三角形中， ， ，面积为，由题意得，∴，∴，故答案为.点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论.16．由二次不等式恒成立结合图象即可求解因为对任意，一元二次不等式都成立，所以，解得，所以实数k的取值范围为17．(1)；(2)当时，函数有最大值；(3). （1）根据正弦型函数的周期公式即得；（2）根据正弦函数的图象和性质即得；（3）根据正弦函数的单调性结合条件即得.（1）因为函数，所以的最小正周期为；（2）因为，由，可得，当时，函数有最大值；（3）由，可得，又，函数的单增区间为.18．(1)(2) (1)根据角终边经过点,得出的值,即可求出;(2)根据诱导公式进行化简,代入角的三角函数值即可.（1）解:由题知角终边经过点,,,,,;（2）由(1)知,则原式 .19．(1)(2) （1）根据奇函数定义以及函数在上的解析式，结合即可写出在上的解析式；（2）将不等式转化成，再利用换元法以及，解出的取值范围即可得不等式的解集.（1）∵是上的奇函数且时，，∴当时，，又由于为奇函数，∴，∴，又，，∴，综上所述，当时，（2）时，，当时，，，即，所以，设，不等式变为，∵，∴，∴．而当时，，且，又在上单调递增，所以，所以，∴，即所以．综上可知，不等式的解集是．20．(1)(2) （1）将函数有唯一零点转化成方程有唯一解的问题，对二次项系数进行分类讨论即可；（2）由复合函数单调性可知，函数为上的减函数，将恒成立转化成在上恒成立，讨论对称轴与区间的位置关系，求出其在区间上的最小值，使最小值大于等于0即可求得正实数的取值范围.（1）函数有唯一零点，即①有唯一零点，即有唯一零点，当时，，解得，符合题意；当时，方程为一元二次方程，其当时，，方程有两个相等的实数根，符合题意；当时，，方程有两个不等的实数根，；若为①的解，则，解得；若为①的解，则，解得；要使①有唯一实数解，则．综上，实数的取值范围为．（2）函数，其中内部函数在上为减函数，外部函数为增函数，由复合函数性质知为上的减函数，，，不等式转化为，即转化为，即令，，即．二次函数对称轴为，由，开口向上（i）当时，，函数在上单调递减，，解得，不符合题意，舍去；（ii）当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，即，解得，即；（iii）当时，，函数在上单调递增，，解得，即；综上可知，正实数的取值范围．关键点点睛：本题第二小问的关键是将“对任意，恒有成立”进行等价转化，只需满足，再利用函数的单调性，即可将问题转化成不等式在上恒成立的问题，再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可求得参数的取值范围.21．(1)，(2)证明见解析 （1）由奇函数的性质可知，可求出b的值，再利用可求出a的值.（2）利用定义法证明函数的单调性即可.（1）∵函数是奇函数，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴.（2）由（1）得，任取，，且，∴，∵，∴，，，∴，即，∴函数在上是增函数.