2023聊城冠县武训高级中学高一上学期12月月考（模拟选课走班调研）数学试题含解析

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高一模拟选课走班调考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式得到，从而求出交集.【详解】，故.故选：A2. 关于命题“”，下列判断正确的是（    ）A. 该命题是全称量词命题，且是真命题B. 该命题是存在量词命题，且是真命题C. 该命题是全称量词命题，且是假命题D. 该命题是存在量词命题，且是假命题【答案】B【解析】【分析】举出实例，得到命题为真命题，选出答案.【详解】显然为存在量词命题，不妨令，此时满足，故为真命题.故选：B3. 下列函数在定义域上为增函数的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式直接判断出ACD的单调性，B选项先化为分段函数，再得到单调性，选出答案.【详解】在R上单调递减，不合题意，A错误；，在上单调递减，在上单调递增，B错误；在上单调递增，但在定义域上不具有单调性，C错误；在上单调递增，D正确.故选：D4. 已知符号函数，则“”是“”的（    ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据题意结合充分条件和必要条件的概念判断即可．【详解】若，则一个值为1另一个值为－1或两个值全为0，则或；若，则异号，则一个值为1另一个值为－1，所以．故“”是“”的必要不充分条件．故选：C．5. 函数部分图象大致是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先求出的奇偶性，排除AC，再代入特殊值，排除D，选出正确答案.【详解】定义域为R，且，故为偶函数，关于y轴对称，AC错误；，，故B正确，D错误.故选：B.6. 设，则的最小值为（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】对变形后，利用基本不等式求出最小值.【详解】因为，所以，故，当且仅当，即时，等号成立.故选：D7. 已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得，，又由，可得，化简得，代入即可得答案.【详解】解：因为，所以，所以，又因为，所以，所以.故选：A.8. 已知函数，满足，若与图象的交点为，则（    ）A.  B. 0 C. 4 D. 8【答案】C【解析】【分析】判断出与均关于轴对称，从而得到与图象的交点关于轴对称，从而得到.【详解】因为，所以关于轴对称，又关于轴对称，故与图象的交点关于轴对称，不妨设关于轴对称，关于轴对称，则.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知集合，，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】由题意可得，，根据补集的运算判断A；根据元素与集合的关系或集合与集合的关系判断；由题意可得，从而即可判断C，D.【详解】解：因为，，所以，所以A错误；对于B，由题意可得或，故错误；对于C，由题意可得，所以，故正确；对于D，由题意可得，故正确.故选：CD.10. 某城市有一个面积为1的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道宽度使矩形草坪为黄金矩形？下列选项不正确的是（    ）A. 步行道的宽度为m B. 步行道的宽度为mC. 步行道的宽度为5m D. 草坪不可能为黄金矩形【答案】ABC【解析】【分析】设广场的宽为m，则长为m，步行道的宽度为m，根据黄金矩形的比例关系列出方程，求出，从而得到D正确，ABC错误.【详解】设该广场的宽为m，则长为m，所以，设步行道的宽度为m，使得草坪为黄金矩形，由于，则，解得：，故草坪不可能为黄金矩形，D正确，ABC错误.故选：ABC11. 已知定义在上的偶函数，，，且当时，，则（    ）A.  B. 当时，C. 在上为减函数 D. 恰有两个零点【答案】ABD【解析】【分析】A选项，赋值法得到；C选项，根据当时，，结合单调性的定义得到在上为减函数，结合函数奇偶性得到在上为减函数；B选项，根据单调性及得到当时，；D选项，由单调性及作出判断.【详解】中，令得：，解得：，A正确；因为为上的偶函数，所以，不妨设，且，令，则，故，所以在上为减函数，因为为上的偶函数，所以在上为增函数，C错误；故当时，，B正确；因为在上为增函数，且，在上为减函数，，所以恰有两个零点，D正确.故选：ABD12. 高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．如，，，记函数，则（    ）A.  B. 的值域为C. 在上有5个零点 D. ，方程有两个实根【答案】BD【解析】【分析】根据高斯函数的定义，结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，选项A错误；当时，，当时，，；当时，，……以此类推，可得的图象如下图所示，由图可知，的值域为，选项B正确；由图可知，在上有6个零点，选项C错误；，函数与的图象有两个交点，如下图所示，即方程有两个根，选项D正确．故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上13. ____________．【答案】5【解析】【分析】根据指数幂运算公式和对数运算性质计算即可.【详解】．故答案为：5．14. 写出一个与的定义域和值域均相同，但是解析式不同的函数：____________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先求出的定义域和值域，从而写出满足要求.【详解】的定义域为R，值域为，故可令，定义域为R，值域为，满足要求.故答案为：.15. 表示p，q两者中较大的一个．记，，，则的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】作出函数，图像，进而结合题意，数形结合求解即可.【详解】解：如图，作出函数，图像，所以，图像实线图像即为函数的图像，由图可知，当时，有最小值所以，的最小值为故答案为：16. 已知函数的最大值为0，不等式的解集为，则____________，m的值为____________． 【答案】    ①. 0    ②. -4【解析】【分析】根据二次函数的最大值为0得到，利用韦达定理得到，代入到中，求出.【详解】由题意得：，两根为，则，故，故，解得：，故答案为：0，-4四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知命题，．（1）当时，p是q的什么条件？（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．【答案】（1）充分不必要条件    （2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，，从而得到p是q的充分不必要条件；（2）分和两种情况，不合要求，当时，结合p是q的必要不充分条件，得到是的真子集，求出m的取值范围.【小问1详解】，解得：，故，时，，解得：，故，因为是的真子集，故p是q的充分不必要条件；【小问2详解】，即，当时，不等式解集为，即，此时，，不合题意，舍去；当时，不等式解集为，若p是q的必要不充分条件，则是的真子集，故，m的取值范围是.18. 已知函数（1）证明：当时，至少有一个零点．（2）当时，关于x的方程在上没有实数解，求m的取值范围．【答案】（1）见解析    （2）【解析】【分析】(1)根据零点存性定理可得；（2）判断单调性求值域，最后求解.【小问1详解】当时，因为，根据零点存在性定理，可知在上至少一个零点.【小问2详解】当时，于x的方程变为：又因为函数上单调递减，所以的值域为方程在上没有实数解，则19. 已知幂函数的图象过点．（1）求的解析式；（2）若，，求a的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数，得到，求出或-1，检验后得到；（2）化为，，根据单调性得到，从而求出a的取值范围.【小问1详解】为幂函数，故，解得：或-1，当时，，显然图象不过点，不合题意，舍去；当时，，图象过点，满足要求，综上：；【小问2详解】，，即，，其中在上单调递减，故，所以，a的取值范围是.20. 已知函数（，且）．（1）判断的奇偶性，并证明你的结论．（2）当（其中，且m为常数）时，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（3）当时，解不等式．【答案】（1）为奇函数，理由见解析    （2）答案见解析    （3）【解析】【分析】（1）先求出定义域，再判断出，故为奇函数；（2）分与两种情况，结合复合函数单调性得到的单调性，从而得到结论；（3）由奇偶性和单调性解不等式，得到不等式组，求出解集.【小问1详解】为奇函数，理由如下：令，解得：，故的定义域为，又，故奇函数，【小问2详解】由（1）可知：，时，，当时，单调递减，而在，上单调递减，故在，上单调递增，所以不存在最小值，当时，单调递增，此时在，上单调递减，所以存在最小值，最小值为，综上：当时，不存在最小值，当时，存在最小值，最小值为.【小问3详解】当时，故在上单调递增，因为为奇函数，所以，故，解得：，综上：不等式的解集为.21. 对于函数，若在定义域内存在两个不同的实数x，满足，则称为“类指数函数”．（1）已知函数，试判断是否为“类指数函数”，并说明理由；（2）若为“类指数函数”，求a的取值范围．【答案】（1）不是 “类指数函数”    （2）【解析】【分析】（1）是否为“类指数函数”，可以转化为方程是否存在两个不同的实数根；（2）是否为“类指数函数”， 转化为方程是否存在两个不同的实数根，进一步化简、换元转化为一元二次方程求解.【小问1详解】若函数为“类指数函数”，则在定义域内存在两个不同的实数x满足方程，.由于函数与在R上均单调递增，所以在R上均单调递增，至多有一个零点，所以不是 “类指数函数”.【小问2详解】若函数为“类指数函数”，则方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，整理得，设，则方程有两个不等的正根，，由，解得或；由，解得；由，解得.所以.故a的取值范围．22. 某地在曲线C的右上角区域规划一个科技新城，该地外围有两条相互垂直的直线形回道，为交通便利，计划修建一条连接两条国道和曲线C的直线形公路．记两条相互垂直的国道分别为，，计划修建的公路为．如图所示，为C的两个端点，测得点A到，的距离分别为5千米和20千米，点B到，的距离分别为25千米和4千米．以，所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．假设曲线C符合函数（其中m，n为常数）模型．（1）求m，n的值．（2）设公路与曲线C只有一个公共点P，点P的横坐标为．①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域．②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．【答案】（1）；    （2）①，；当时，公路当的长度最短，最短长度为千米.②【解析】【分析】(1)由题意得函数过点，点，列方程组就可解出m，n值；(2)①求公路长度的函数解析式，就是求出直线与轴交点，再利用两点间距离公式计算即可，关键是利用导数几何意义求出直线方程，再根据为的两个端点的限制条件得定义域为；②对函数解析式解析式根式内部分利用基本不等式求最小值，即可得的最小值及此时t的值.【小问1详解】解：由题意知，点，点，将其分别代入，得，解得.【小问2详解】解：①由（1）知，，则点的坐标为，设在点处的切线交轴分别于点，因为，∴的方程为，由此得.故，；②因为，又因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，当时，等号成立，所以当时，公路当的长度最短，最短长度为千米.