知识必备04 概率与统计（公式、定理、结论图表）-2023年中考数学必背知识手册

知识必备04概率与统计（公式、定理、结论图表）

考点一、数据的收集与处理
1.一般步骤：调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论．
2.调查收集数据的方法:普查与抽样调查.　　

要点诠释：

(1)通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的．

(2)一般地，当总体中个体数目较多，普查的工作量较大；受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；或调查具有破坏性时，不允许普查,这时我们往往会用抽样调查来体现估计总体的思想.

(3)用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样.

典例1：（2022•柳州）以下调查中，最适合采用抽样调查的是（　　）

A．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 

B．了解全班50名同学每天体育锻炼的时间 

C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试 

D．为保证神舟十四号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查

【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．

【解答】解：A、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，最适合采用抽样调查，故A符合题意；

B、了解全班50名同学每天体育锻炼的时间，最适合采用全面调查，故B不符合题意；

C、学校招聘教师，对应聘人员进行面试，最适合采用全面调查，故C不符合题意；

D、为保证神舟十四号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查，最适合采用全面调查，故D不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．

3.数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．
要点诠释：

这三种统计图各具特点：
条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；
折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；
扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．

典例2： 连云港市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际情况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业的女学生进行“一分钟仰卧起坐”次数测试．测试的情况绘制成表格如下：

⑴求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数；

⑵根据这一样本数据的特点，你认为该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准应定为多

少次较为合适？请简要说明理由；

⑶根据⑵中你认为合格的标准，试估计该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格率是多少？

【思路点拨】

本题是以统计初步知识在该市怎样定中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标

准的应用为背景，把制定体育成绩的某项合格指标转化为统计问题，求出了统计中的平均数、众数、中位数.

【答案与解析】

⑴该组数据的平均数
　　　　　
　　　　　众数为18，中位数为18；
　⑵该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准应定为 18次较为合适，因为众数及中位数均为18，且50人中达到18次的人数有41人，确定18次能保证大多数人达标；
　⑶根据⑵的标准，估计该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格率为 82%.

【总结升华】

确定众数的方法是找该组数据中出现次数最多的数，如果有多个数出现的次数相同,那这些出现次数相同的数都是这组数据的众数；平均数、众数、中位数及其应用，在中考试卷中它们有机地交汇于实际情境中，考查应用意识．

考点二.数据分析

1.基本概念：

总体：把所要考查的对象的全体叫做总体；

个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；

样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本；

样本容量：样本中包含的个体的个数叫做样本容量；

频数：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数；

频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率；

平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；
中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数；
极差：一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差；
方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差．
计算方差的公式：设一组数据是，是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：
　　
标准差：一组数据的方差的算术平方根，叫做这组数据的标准差．
用公式可表示为：
要点诠释：
    1．平均数、中位数和众数可以用来概括一组数据的集中趋势.

平均数的优点：平均数的计算过程中用到了一组数据中的每一个数，因此比中位数和众数更灵敏，反映了更多数据的信息.
平均数的缺点：计算较麻烦，而且容易受到极端值的影响.
中位数的优点：计算简单，不容易受到极端值的影响，确定了中位数之后，可以知道小于中位数的数值和大于中位数的数值在这组数据中各占一半.
中位数的缺点：除了中间的值以外，不能反映其他数据的信息.
众数的优点：众数很容易从直方图中获得，它可以清楚地告诉我们：在一组数据中哪个或哪些数值出现的次数最多.
众数的缺点：不能反映众数比其他数出现的次数多多少，而且也丢失了很多其他数据的信息.

2.极差、方差是表示一组数据离散程度的指标.极差就是一组数据中的最大值减去最小值所得的差.它可以反映一组数据的变化范围.极差的不足之处在于只和极端值相关，而方差则弥补了这一不足.方差可以比较全面地反映一组数据相对于平均值的波动情况，只是计算比较复杂.

2.绘制频数分布直方图的步骤
①计算最大值与最小值的差；

②决定组距和组数；

③决定分点；

④画频数分布表；

⑤画出频数分布直方图．

3.加权平均数
　　在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数．
要点诠释：
　　在通常计算平均数的过程中，各个数据在结果中所占的份量是相等的。而实际情况有时并非如此，如果要区分不同的数据的不同权重，就需要使用加权平均数.当我们改变一组数据中各个数值所占的权重时，这组数据的加权平均数就有可能随之改变.
典例3：（2022•德州）某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（　　）

A．众数是9 B．中位数是8.5 

C．平均数是9 D．方差是1.2

【分析】根据众数、中位数、平均数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．

【解答】解：A、∵10出现了4次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是10，故本选项不符合题意；

B、该组成绩的中位数是＝9，故本选项不符合题意；

C、该组成绩＝（7+9+10+8+9+8+10+10+9+10）＝9，故本选项符合题意；

D、该组成绩数据的方差S2＝[（7﹣9）2+2×（8﹣9）2+3×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝1，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．

考点三、概率
1．概率的定义：一般地，如果在一次实验中，有n种可能结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率P(A)= .
2．概率的求法
(1)用列举法
(2)用频率来估计：事件A的概率： 一般地，在大量重复进行同一实验时，事件A发生的频率 ，总是接近于某个常数，在它附近摆动.这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).
3.事件

必然事件:那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件．

不可能事件：那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件．

随机事件:无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件．

要点诠释：
　　①求一个事件概率的基本方法是通过大量的重复实验；
　　②当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件A的概率；
　　③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
　　④概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
　　⑤必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，因此0≤P(A)≤1；

⑥必然事件和不可能事件统称为确定事件．

典例4：（2022•朝阳）如图所示的是由8个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．1

【分析】根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．

【解答】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，

即这个点取在阴影部分的概率是，

故选：A．

【点评】本题主要考查几何概率的知识，熟练根据几何图形的面积得出概率是解题的关键．

典例5：（遵义）如图，4张背面完全相同的纸牌（用①、②、③、④表示），在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张（不放回），再随机摸出一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌出现的所有可能结果；
（2）以两次摸出牌上的结果为条件，求能判断四边形ABCD是平行四边形的概率．
 

【思路点拨】

（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）求得能判断四边形ABCD是平行四边形的情况，利用概率公式即可求得答案．

【答案与解析】

（1）画树状图得：

则共有12种等可能的结果；
（2）∵能判断四边形ABCD是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③共8种情况，
∴能判断四边形ABCD是平行四边形的概率为：=．

【总结升华】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=符合条件的情况数与总情况数之比．