2018-2022年广东省广州市近五年中考数学试卷Word版【含答案】

这是一份2018-2022年广东省广州市近五年中考数学试卷Word版【含答案】，共126页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018 年广东省广州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中，有


一项是符合题目要求的）


1．（3 分）四个数 0，1，

， 1 中，无理数的是( )
2
2



2
A. B．1 C． 1 2
D．0


2．（3 分）（2018•广州）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有( )



A.1 条 B．3 条 C．5 条 D．无数条

3．（3 分）（2018•广州）如图所示的几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，它的主视图是
( )






A． B．




C． D．

4．（3 分）（2018•广州）下列计算正确的是( )


A． (a + b)2 = a2 + b2 B． a2 + 2a2 = 3a4

C． x2 y ¸ 1 = x2 (y ¹ 0)
y
D． (-2x2 )3 = -8x6


5．（3 分）（2018•广州）如图，直线 AD ， BE 被直线 BF 和 AC 所截，则Ð1 的同位角和Ð5
的内错角分别是( )



A． Ð4 ， Ð2
B． Ð2 ， Ð6
C． Ð5 ， Ð4
D． Ð2 ， Ð4


6．（3 分）（2018•广州）甲袋中装有 2 个相同的小球，分别写有数字 1 和 2；乙袋中装有 2

个相同的小球，分别写有数字 1 和 2．从两个口袋中各随机取出 1 个小球，取出的两个小球上都写有数字 2 的概率是( )

A. 1
2
B. 1
3
C. 1
4
D. 1
6


7．（3 分）（2018•广州）如图， AB 是eO 的弦，OC ^ AB ，交eO 于点C ，连接OA ，OB ，
BC ，若ÐABC = 20° ，则ÐAOB 的度数是( )



A． 40° B． 50° C． 70° D． 80°

8．（3 分）（2018•广州）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金 9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银 11 枚（每
枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了 13 两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，根据题意得( )

í(10 y + x) - (8x + y) = 13
A． ì11x = 9 y
î
B． ì10 y + x = 8x + y
í9x + 13 = 11y
î



í(8x + y) - (10 y + x) = 13
C． ì9x = 11y
î
D． ì9x = 11y
í(10 y + x) - (8x + y) = 13
î


9．（3 分）（2018•广州）一次函数 y = ax + b 和反比例函数 y = a - b 在同一直角坐标系中的
x
大致图象是( )









A．








B．









C．









D．

10．（3 分）（2018•广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m ．其行走路线如图所示，第 1 次移动到 A1 ，第 2 次移动到 A2 ， ，第 n 次移动到 An ．则△ OA2 A2018 的面积是( )



A． 504m2
B． 1009 m2
2
C． 1011 m2 2
D．1009m2


二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

11．（3 分）（2018•广州）已知二次函数 y = x2 ，当 x > 0 时， y 随 x 的增大而 （填“增大”或“减小” ) ．
12．（3 分）（2018•广州）如图，旗杆高 AB = 8m ，某一时刻，旗杆影子长 BC = 16m ，则
tan C = ．


13．（3 分）（2018•广州）方程 1 = 4 的解是 ．



x x + 6

14．（3 分）（2018•广州）如图，若菱形 ABCD 的顶点 A ， B 的坐标分别为(3, 0) ， (-2, 0) ，

点 D 在 y 轴上，则点C 的坐标是 ．


a2 - 4a + 4
15．（3 分）（2018•广州）如图，数轴上点 A 表示的数为 a ，化简： a + = ．


16．（3 分）（2018•广州）如图，CE 是Y ABCD 的边 AB 的垂直平分线，垂足为点O ，CE 与
DA 的延长线交于点 E ．连接 AC ， BE ， DO ， DO 与 AC 交于点 F ，则下列结论：

①四边形 ACBE 是菱形；

② ÐACD = ÐBAE ；

③ AF : BE = 2 : 3 ；

④ S四边形AFOE : SDCOD = 2 : 3 ．

其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）


三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

í2x -1 < 3
17．（9 分）（2018•广州）解不等式组： ì1 + x > 0 ．
î

18．（9 分）（2018•广州）如图，AB 与CD 相交于点 E ，AE = CE ，DE = BE ．求证：ÐA = ÐC ．



a2 - 9 6
19．（10 分）（2018•广州）已知T = + ．

a(a + 3)2 a(a + 3)

（1） 化简T ；

（2） 若正方形 ABCD 的边长为 a ，且它的面积为 9，求T 的值．

20．（10 分）（2018•广州）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的 10 位居民，得到这
10 位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9．

（1） 这组数据的中位数是 ，众数是 ；

（2） 计算这 10 位居民一周内使用共享单车的平均次数；

（3） 若该小区有 200 名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．

21．（12 分）（2018•广州）友谊商店 A 型号笔记本电脑的售价是 a 元/ 台．最近，该商店对 A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过 5 台，每台按售价销售；若超过 5 台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买 A 型号笔记本电脑 x 台．

（1） 当 x = 8 时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？

（2） 若该公司采用方案二购买更合算，求 x 的取值范围．

22．（12 分）（2018•广州）设 P(x, 0) 是 x 轴上的一个动点，它与原点的距离为 y1 ．

（1） 求 y1 关于 x 的函数解析式，并画出这个函数的图象；



（2） 若反比例函数 y
= k 的图象与函数 y 的图象相交于点 A ，且点 A 的纵坐标为 2．


2 x 1
①求 k 的值；

②结合图象，当 y1 > y2 时，写出 x 的取值范围．

23．（12 分）（2018•广州）如图，在四边形 ABCD 中，ÐB = ÐC = 90° ，AB > CD ，AD = AB + CD ．

（1） 利用尺规作ÐADC 的平分线 DE ，交 BC 于点 E ，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）；

（2） 在（1）的条件下，

①证明： AE ^ DE ；

②若CD = 2 ， AB = 4 ，点 M ， N 分别是 AE ， AB 上的动点，求 BM + MN 的最小值．


24．（14 分）（2018•广州）已知抛物线 y = x2 + mx - 2m - 4(m > 0) ．

（1） 证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；

（2） 设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A ， B （点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点C ，

A ， B ， C 三点都在eP 上．

①试判断：不论 m 取任何正数， eP 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标； 若不是，说明理由；

②若点 C 关于直线 x = - m 的对称点为点 E ，点 D(0,1) ，连接 BE ， BD ， DE ， DBDE 的周
2
长记为l ， eP 的半径记为 r ，求 l 的值．
r

25．（14 分）（2018•广州）如图，在四边形 ABCD 中， ÐB = 60° ， ÐD = 30° ， AB = BC ．

（1） 求ÐA + ÐC 的度数；

（2） 连接 BD ，探究 AD ， BD ， CD 三者之间的数量关系，并说明理由；

（3） 若 AB = 1 ，点 E 在四边形 ABCD 内部运动，且满足 AE2 = BE2 + CE2 ，求点 E 运动路径的长度．


2018 年广东省广州市中考数学试卷

参考答案与试题解析


一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中，有


一项是符合题目要求的）


1．（3 分）四个数 0，1，

， 1 中，无理数的是( )
2
2



2
A. B．1 C． 1 2
D．0


【考点】22：算术平方根；26：无理数

【专题】511：实数

【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．


【解答】解：0，1， 1
2

是有理数，


2
是无理数， 故选： A ．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，

6
无限不循环小数为无理数．如p， ，0.8080080008¼（每两个 8 之间依次

多 1 个0) 等形式．

2．（3 分）（2018•广州）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有( )



A．1 条 B．3 条 C．5 条 D．无数条

【考点】 P3 ：轴对称图形

【专题】1：常规题型

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做 轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【解答】解：五角星的对称轴共有 5 条， 故选： C ．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．

3．（3 分）（2018•广州）如图所示的几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，它的主视图是
( )






A． B．




C． D．

【考点】U 2 ：简单组合体的三视图

【专题】55F ：投影与视图

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形， 故选： B ．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

4．（3 分）（2018•广州）下列计算正确的是( )


A． (a + b)2 = a2 + b2 B． a2 + 2a2 = 3a4


C． x2 y ¸ 1 = x2 (y ¹ 0)
y
D． (-2x2 )3 = -8x6


【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方； 4C ：完全平方公式； 6B ：分式的加减法

【专题】11：计算题

【分析】根据相关的运算法则即可求出答案．

【解答】解：（A）原式= a2 + 2ab + b2 ，故 A 错误；

（B） 原式= 3a2 ，故 B 错误；

（C） 原式= x2 y2 ，故C 错误； 故选： D ．
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

5．（3 分）（2018•广州）如图，直线 AD ， BE 被直线 BF 和 AC 所截，则Ð1 的同位角和Ð5
的内错角分别是( )



A． Ð4 ， Ð2
B． Ð2 ， Ð6
C． Ð5 ， Ð4
D． Ð2 ， Ð4


【考点】 J 6 ：同位角、内错角、同旁内角

【专题】55：几何图形

【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，

并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．

根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在 第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行分析即可．

【解答】解： Ð1 的同位角是Ð2 ， Ð5 的内错角是Ð6 ， 故选： B ．
【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“ F “形，内错角的边构成“ Z “形，同旁内角的边构成“ U ”形．
6．（3 分）（2018•广州）甲袋中装有 2 个相同的小球，分别写有数字 1 和 2；乙袋中装有 2

个相同的小球，分别写有数字 1 和 2．从两个口袋中各随机取出 1 个小球，取出的两个小球上都写有数字 2 的概率是( )

A. 1
2
B. 1
3
C. 1
4
D. 1
6


【考点】 X 6 ：列表法与树状图法

【专题】1：常规题型

【分析】直接根据题意画出树状图，再利用概率公式求出答案．

【解答】解：如图所示：

，
一共有 4 种可能，取出的两个小球上都写有数字 2 的有 1 种情况，

故取出的两个小球上都写有数字 2 的概率是： 1 ．
4

故选： C ．

【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确得出所有的结果是解题关键．

7．（3 分）（2018•广州）如图， AB 是eO 的弦，OC ^ AB ，交eO 于点C ，连接OA ，OB ，
BC ，若ÐABC = 20° ，则ÐAOB 的度数是( )



A． 40° B． 50° C． 70° D． 80°

【考点】 M 2 ：垂径定理； M 5 ：圆周角定理

【专题】55：几何图形

【分析】根据圆周角定理得出ÐAOC = 40° ，进而利用垂径定理得出ÐAOB = 80° 即可．

【解答】解：Q ÐABC = 20° ，

\ÐAOC = 40° ，

Q AB 是eO 的弦， OC ^ AB ，

\ÐAOC = ÐBOC = 40° ，

\ ÐAOB = 80° ， 故选： D ．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理得出ÐAOC = 40° ．

8．（3 分）（2018•广州）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金 9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银 11 枚（每
枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了 13 两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，根据题意得( )

í(10 y + x) - (8x + y) = 13
A． ì11x = 9 y
î
B． ì10 y + x = 8x + y
í9x + 13 = 11y
î



í(8x + y) - (10 y + x) = 13
C． ì9x = 11y
î
D． ì9x = 11y
í(10 y + x) - (8x + y) = 13
î



【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组

【专题】1：常规题型

【分析】根据题意可得等量关系：①9 枚黄金的重量= 11 枚白银的重量；② (10 枚白银的重量+1 枚黄金的重量） -(1 枚白银的重量+8 枚黄金的重量） = 13 两，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，由题意得：

ì9x = 11y
î
í(10 y + x) - (8x + y) = 13 ，


故选： D ．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题 目中的等量关系．
9．（3 分）（2018•广州）一次函数 y = ax + b 和反比例函数 y = a - b 在同一直角坐标系中的
x
大致图象是( )









A．









B．









C．









D．

【考点】 F 3 ：一次函数的图象； G 2 ：反比例函数的图象

【专题】532：函数及其图象

【分析】先由一次函数的图象确定 a 、b 的正负，再根据 a - b 判断双曲线所在的象限．能统一的是正确的，矛盾的是错误的．

【解答】解：图 A 、 B 直线 y = ax + b 经过第一、二、三象限，

\ a > 0 、b > 0 ，

Q y = 0 时， x = - b ，即直线 y = ax + b 与 x 轴的交点为(- b ， 0)
a a

由图 A 、 B 的直线和 x 轴的交点知： - b > -1 ，
a

即b < a ，

所以b - a < 0

\ a - b > 0 ，

此时双曲线在第一、三象限． 故选项 B 不成立，选项 A 正确．
图C 、 D 直线 y = ax + b 经过第二、一、四象限，

\ a < 0 ， b > 0 ，

此时 a - b < 0 ，双曲线位于第二、四象限， 故选项C 、 D 均不成立；
故选： A ．

【点评】本题考查了一次函数、反比例函数的性质．解决本题用排除法比较方便．

10．（3 分）（2018•广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m ．其行走路线如图所示，第 1 次移动到 A1 ，第 2 次移动到 A2 ， ，第 n 次移动到 An ．则△ OA2 A2018 的面积是( )



A． 504m2
B． 1009 m2
2
C． 1011 m2 2
D．1009m2


【考点】 D2 ：规律型：点的坐标

【专题】 2A ：规律型；531：平面直角坐标系

【分析】由OA = 2n 知OA = 2016 + 1 = 1009 ，据此得出 A A = 1009 - 1 = 1008 ，据此利


4n 2017 2
2 2018

用三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：由题意知OA4n = 2n ，
Q 2018 ¸ 4 = 504¼2 ，

\OA2017
= 2016 + 1 = 1009 ，
2

\ A2 A2018 = 1009 - 1 = 1008 ，
则△ OA A 的面积是 1 ´1´1008 = 504m2 ，

2 2018 2


故选： A ．

【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为 4 的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

11．（3 分）（2018•广州）已知二次函数 y = x2 ，当 x > 0 时， y 随 x 的增大而 增大 （填 “增大”或“减小” ) ．
【考点】 H 3 ：二次函数的性质

【专题】1：常规题型

【分析】根据二次函数的二次项系数 a 以及对称轴即可判断出函数的增减性．

【解答】解：Q二次函数 y = x2 ，开口向上，对称轴为 y 轴，

\当 x > 0 时， y 随 x 的增大而增大． 故答案为：增大．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴为 y 轴，

开口向上，此题难度不大．

12．（3 分）（2018•广州）如图，旗杆高 AB = 8m ，某一时刻，旗杆影子长 BC = 16m ，则 tan C =

1 ．
2


【考点】T 8 ：解直角三角形的应用； U 5 ：平行投影

【专题】55：几何图形

【分析】根据直角三角形的性质解答即可．

【解答】解：Q旗杆高 AB = 8m ，旗杆影子长 BC = 16m ，

\tan C = AB = 8 = 1 ，

BC

故答案为： 1
2
16 2


【点评】此题考查解直角三角形的应用，关键是根据正切值是对边与邻边的比值解答．


13．（3 分）（2018•广州）方程 1 = 4 的解是

x = 2 ．



x x + 6

【考点】 B3 ：解分式方程

【专题】11：计算题；522：分式方程及应用

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得： x + 6 = 4x ， 解得： x = 2 ，
经检验 x = 2 是分式方程的解， 故答案为： x = 2
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

14．（3 分）（2018•广州）如图，若菱形 ABCD 的顶点 A ， B 的坐标分别为(3, 0) ， (-2, 0) ，点 D 在 y 轴上，则点C 的坐标是 (-5, 4) ．


【考点】 D5 ：坐标与图形性质； L8 ：菱形的性质

【专题】556：矩形 菱形 正方形

【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出 DO 的长，进而求出C 点坐标．

【解答】解：Q菱形 ABCD 的顶点 A ， B 的坐标分别为(3, 0) ， (-2, 0) ，点 D 在 y 轴上，

\ AB = 5 ，

\ AD = 5 ，


AD2 - OA2
52 - 32
\由勾股定理知： OD = = = 4 ，

\点C 的坐标是： (-5, 4) ．

故答案为： (-5, 4) ．


【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出 DO 的长是解题关键．


a2 - 4a + 4
15．（3 分）（2018•广州）如图，数轴上点 A 表示的数为 a ，化简： a + = 2 ．


【考点】29：实数与数轴；73：二次根式的性质与化简

【专题】1：常规题型

【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出 a 的取值范围进而化简即可．

【解答】解：由数轴可得：

a2 - 4a + 4
0 < a < 2 ， 则 a +
(2 - a)2
= a +

= a + (2 - a)

= 2 ．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出 a 的取值范围是解题关键．

16．（3 分）（2018•广州）如图，CE 是Y ABCD 的边 AB 的垂直平分线，垂足为点O ，CE 与
DA 的延长线交于点 E ．连接 AC ， BE ， DO ， DO 与 AC 交于点 F ，则下列结论：

①四边形 ACBE 是菱形；

② ÐACD = ÐBAE ；

③ AF : BE = 2 : 3 ；

④ S四边形AFOE : SDCOD = 2 : 3 ．

其中正确的结论有 ①②④ ．（填写所有正确结论的序号）



【考点】KG ：线段垂直平分线的性质； L5 ：平行四边形的性质； LA ：菱形的判定与性质；

S 9 ：相似三角形的判定与性质

【专题】555：多边形与平行四边形

【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一 判断即可；
【解答】解：Q四边形 ABCD 是平行四边形，

\ AB / /CD ， AB = CD ，

Q EC 垂直平分 AB ，

\OA = OB = 1 AB = 1 DC ， CD ^ CE ，
2 2

Q OA / / DC ，

\ EA = EO = OA = 1 ，
ED EC CD 2

\ AE = AD ， OE = OC ，

Q OA = OB ， OE = OC ，

\四边形 ACBE 是平行四边形，

Q AB ^ EC ，

\四边形 ACBE 是菱形，故①正确，

Q ÐDCE = 90° ， DA = AE ，

\ AC = AD = AE ，

\ÐACD = ÐADC = ÐBAE ，故②正确，

Q OA / /CD ，

\ AF = OA = 1 ，
CF CD 2

\ AF = AF = 1 ，故③错误，
AC BE 3

设DAOF 的面积为 a ，则DOFC 的面积为 2a ， DCDF 的面积为 4a ， DAOC 的面积= DAOE
的面积= 3a ，

\四边形 AFOE 的面积为 4a ， DODC 的面积为6a

\S四边形AFOE : SDCOD = 2 : 3 ．故④正确，

故答案为①②④．


【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高 模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

í2x -1 < 3
17．（9 分）（2018•广州）解不等式组： ì1 + x > 0 ．
î


【考点】CB ：解一元一次不等式组

【专题】524：一元一次不等式（组) 及应用

【分析】根据不等式组的解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案．

ì1 + x > 0①
î
【解答】解： í2x - 1 < 3② ，

解不等式①，得 x > -1 ， 解不等式②，得 x < 2 ，
不等式①，不等式②的解集在数轴上表示，如图

，

原不等式组的解集为-1 < x < 2 ．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键．

18．（9 分）（2018•广州）如图，AB 与CD 相交于点 E ，AE = CE ，DE = BE ．求证：ÐA = ÐC ．


【考点】 KD ：全等三角形的判定与性质

【专题】552：三角形

【分析】根据 AE = EC ，DE = BE ，ÐAED 和ÐCEB 是对顶角，利用 SAS 证明DADE @ DCBE

即可．

【解答】证明：在DAED 和DCEB 中，

ì AE = CE
í
ïÐAED = ÐCEB ，
î
ïDE = BE


\DAED @ DCEB(SAS ) ，

\ ÐA = ÐC （全等三角形对应角相等）．

【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度 不大，要求学生应熟练掌握．
a2 - 9 6
19．（10 分）（2018•广州）已知T = + ．

a(a + 3)2 a(a + 3)

（1） 化简T ；

（2） 若正方形 ABCD 的边长为 a ，且它的面积为 9，求T 的值．

【考点】 6D ：分式的化简求值

【专题】11：计算题；513：分式

【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；

（2）由正方形的面积求出边长 a 的值，代入计算即可求出T 的值．

a2 - 9 6(a + 3) (a + 3)2 1
【解答】解：（1） T = a(a + 3)2 + a(a + 3)2 = a(a + 3)2 = a ；
（2）由正方形的面积为 9，得到 a = 3 ，

则T = 1 ．
3

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（10 分）（2018•广州）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的 10 位居民，得到这
10 位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9．

（1） 这组数据的中位数是 16 ，众数是 ；

（2） 计算这 10 位居民一周内使用共享单车的平均次数；

（3） 若该小区有 200 名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．

【考点】V 5 ：用样本估计总体； W 4 ：中位数； W 5 ：众数

【专题】11：计算题；541：数据的收集与整理

【分析】（1）将数据按照大小顺序重新排列，计算出中间两个数的平均数即是中位数，出现 次数最多的即为众数；

（2） 根据平均数的概念，将所有数的和除以 10 即可；

（3） 用样本平均数估算总体的平均数．

【解答】解：（1）按照大小顺序重新排列后，第 5、第 6 个数分别是 15 和 17，所以中位数是(15 + 17) ¸ 2 = 16 ，17 出现 3 次最多，所以众数是 17，

故答案是 16，17；

（2） 1 ´ (0 + 7 + 9 + 12 + 15 + 17 ´ 3 + 20 + 26) = 14 ，
10

答：这 10 位居民一周内使用共享单车的平均次数是 14 次；

（3） 200 ´14 = 2800

答：该小区居民一周内使用共享单车的总次数为 2800 次．

【点评】本题考查了中位数、众数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．抓住概念 进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求， 以免出错．

21．（12 分）（2018•广州）友谊商店 A 型号笔记本电脑的售价是 a 元/ 台．最近，该商店对 A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过 5 台，每台按售价销售；若超过 5 台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买 A 型号笔记本电脑 x 台．

（1） 当 x = 8 时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？

（2） 若该公司采用方案二购买更合算，求 x 的取值范围．

【考点】C9 ：一元一次不等式的应用

【专题】12：应用题

【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买 8 台所需费用，比较后即可得出结论；

（2）根据购买 x 台时，该公司采用方案二购买更合算，即可得出关于 x 的一元一次不等式， 解之即可得出结论．

【解答】解：设购买 A 型号笔记本电脑 x 台时的费用为 w 元，

（1） 当 x = 8 时，

方案一： w = 90%a ´ 8 = 7.2a ，

方案二： w = 5a + (8 - 5)a ´ 80% = 7.4a ，

\当 x = 8 时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是 7.2a 元；

（2） Q若该公司采用方案二购买更合算，

\ x > 5 ，

方案一： w = 90%ax = 0.9ax ，

方案二：当 x > 5 时， w = 5a + (x - 5)a ´ 80% = 5a + 0.8ax - 4a = a + 0.8ax ， 则0.9ax > a + 0.8ax ，
x > 10 ，

\ x 的取值范围是 x > 10 ．

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据优惠方案，列式计算；

（2）找准不等量关系，正确列出一元一次不等式．

22．（12 分）（2018•广州）设 P(x, 0) 是 x 轴上的一个动点，它与原点的距离为 y1 ．

（1） 求 y1 关于 x 的函数解析式，并画出这个函数的图象；



（2） 若反比例函数 y
= k 的图象与函数 y 的图象相交于点 A ，且点 A 的纵坐标为 2．


2 x 1
①求 k 的值；

②结合图象，当 y1 > y2 时，写出 x 的取值范围．

【考点】G 4 ：反比例函数的性质； G 6 ：反比例函数图象上点的坐标特征

【专题】534：反比例函数及其应用

【分析】（1）写出函数解析式，画出图象即可；

（2）①分两种情形考虑，求出点 A 坐标，利用待定系数法即可解决问题；

②利用图象法分两种情形即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意 y1 =| x | ．函数图象如图所示：





（2）①当点 A 在第一象限时，由题意 A(2, 2) ，

\ 2 = k ，
2

\ k = 4 ．

同法当点 A 在第二象限时， k = -4 ，

②观察图象可知：当 k > 0 时， x > 2 时， y1 > y2 或 x < 0 时， y1 > y2 ． 当 k < 0 时， x < -2 时， y1 > y2 或 x > 0 时， y1 > y2 ．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征，正比例函数的应用等知识，解题的关键是学 会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．

23．（12 分）（2018•广州）如图，在四边形 ABCD 中，ÐB = ÐC = 90° ，AB > CD ，AD = AB + CD ．

（1） 利用尺规作ÐADC 的平分线 DE ，交 BC 于点 E ，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）；

（2） 在（1）的条件下，

①证明： AE ^ DE ；

②若CD = 2 ， AB = 4 ，点 M ， N 分别是 AE ， AB 上的动点，求 BM + MN 的最小值．


【考点】 N 2 ：作图- 基本作图； PA ：轴对称- 最短路线问题

【专题】555：多边形与平行四边形

【分析】（1）利用尺规作出ÐADC 的角平分线即可；

（2）①延长 DE 交 AB 的延长线于 F ．只要证明 AD = AF ， DE = EF ，利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；

②作点 B 关于 AE 的对称点 K ，连接 EK ，作 KH ^ AB 于 H ，DG ^ AB 于G ．连接 MK ．由MB = MK ，推出 MB + MN = KM + MN ，根据垂线段最短可知：当 K 、 M 、 N 共线， 且与 KH 重合时， KM + MN 的值最小，最小值为 KH 的长；
【解答】解：（1）如图， ÐADC 的平分线 DE 如图所示．




（2）①解法一：在 DA 上截取 DG = CD ，连接GE ， 由（1）知ÐGDE = ÐCDE ，
又 DE = DE ，

\ DGDE @ DCDE ，

\ÐDGE = ÐC = 90° ， ÐDEC = ÐDEC ， 在DAGE 和DABE 中，
ÐAGE = ÐABE = 90° ，

而 AD = AG + DG = AB + CD ， DG = CD ，

\ AG = AB ， 又 AE = AE ，
\ RtDAEG @ RtDAEB

\ÐAEG = ÐAEB ，

\ÐDEG + ÐAEG = ÐDEC + ÐAEB = 90° ， 即ÐAED = 90° ，故 AE ^ DE ．
解法二：延长 DE 交 AB 的延长线于 F ．

Q CD / / AF ，

\ ÐCDE = ÐF ，Q ÐCDE = ÐADE ，

\ÐADF = ÐF ，

\ AD = AF ，

Q AD = AB + CD = AB + BF ，

\ CD = BF ，

Q ÐDEC = ÐBEF ，

\ DDEC @ DFEB ，

\ DE = EF ，

Q AD = AF ，

\ AE ^ DE ．



②作点 B 关于 AE 的对称点 K ，连接 EK ，作 KH ^ AB 于 H ， DG ^ AB 于G ．连接 MK ．

Q AD = AF ， DE = EF ，

\ AE 平分ÐDAF ，则DAEK @ DAEB ，

\ AK = AB = 4 ，


AD2 - AG2
2
在RtDADG 中， DG = = 4 ，

Q KH / / DG ，

\ KH = AK ，
DG AD

4 2
\ KH = 4 ，
6

8 2
3
\ KH = ，

Q MB = MK ，

\ MB + MN = KM + MN ，

\当 K 、 M 、 N 共线，且与 KH 重合时， KM + MN 的值最小，最小值为 KH 的长，


8 2
3
\ BM + MN 的最小值为 ．




【点评】本题考查作图- 基本作图，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．

24．（14 分）（2018•广州）已知抛物线 y = x2 + mx - 2m - 4(m > 0) ．

（1） 证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；

（2） 设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A ，B（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点C ，
A ， B ， C 三点都在eP 上．

①试判断：不论 m取任何正数， eP 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标； 若不是，说明理由；

②若点 C 关于直线 x = - m 的对称点为点 E ，点 D(0,1)，连接 BE ， BD ， DE ， DBDE 的周
2

长记为l ， eP 的半径记为 r ，求 l
r

的值．


【考点】 HF ：二次函数综合题

【专题】15：综合题

【分析】（1）令 y =0，再求出判别式，判断即可得出结论；

（2）先求出OA = 2 ， OB = m + 2 ， OC = 2(m+ 2) ，

①判断出ÐOCB = ÐOAF ，求出tanÐOCB = 1 ，即可求出OF = 1，即可得出结论；
2

②先设出 BD = n ，再判断出ÐDCE = 90° ，得出 DE 是eP 的直径，进而求出 BE = 2 n ，


DE =
5n ，即可得出结论．


【解答】解：（1）令 y =0，


\x2 +mx-2m-4=0，

\△ = m2 - 4[-2m - 4] = m2 + 8m +16 ，

Q m > 0 ，

\△ > 0 ，

\该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；



（2）

令 y =0，


\x2 +mx-2m-4=0，

\(x -2)[x +(m+ 2)] = 0 ，

\ x = 2 或 x = -(m+2) ，

\A(2,0) ， B(-(m + 2) ， 0) ，

\ OA = 2 ， OB = m + 2 ， 令 x = 0 ，
\y = -2(m+ 2)，

\C(0 ， -2(m+2)) ，

\OC =2(m+2)，

①通过定点(0,1) 理由：如图，

Q点 A ， B ， C 在eP 上，

\ Ð OCB = Ð OAF ，

在RtDBOC 中， tan ÐOCB = OB = m + 2 = 1 ，

OC 2(m + 2) 2

在RtDAOF 中， tanÐOAF = OF = OF = 1 ，
OA 2 2

\ OF = 1 ，

\点 F 的坐标为(0,1) ；

②如图 1，由①知，点 F(0,1) ，

QD(0,1) ，

\点 D 在eP 上，
Q点 E 是点 C 关于抛物线的对称轴的对称点，

\ ÐDCE = 90° ，

\ DE 是eP 的直径，

\ ÐDBE = 90° ，

Q ÐBED = ÐOCB ，

\tanÐBED = 1 ，
2

设 BD = n ，

在RtDBDE 中， tan ÐBED = BD = n = 1 ，
BE BE 2

\ BE = 2n ，


BD2 + BE2
根据勾股定理得， DE = = 5n ，

\l = BD + BE + DE = (3 + 5)n ， r = 1 DE = 5 n ，
2 2

\ l = (3 + 5)n = 10 + 6 5 ．
r 5 n 5
2





【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的根的判别式，圆周角定理，锐 角三角函数，勾股定理，对称性，求出点 A ， B ， C 的坐标是解本题的关键．

25．（14 分）（2018•广州）如图，在四边形 ABCD 中， ÐB = 60° ， ÐD = 30° ， AB = BC ．

（1） 求ÐA + ÐC 的度数；

（2） 连接 BD ，探究 AD ， BD ， CD 三者之间的数量关系，并说明理由；

（3） 若 AB =1 ，点 E 在四边形 ABCD 内部运动，且满足 AE2 = BE2 +CE2 ，求点 E 运动路径的长度．


【考点】 LO ：四边形综合题

【专题】152：几何综合题

【分析】（1）利用四边形内角和定理计算即可；

（2） 连接 BD ．以 BD 为边向下作等边三角形DBDQ．想办法证明 DDCQ 是直角三角形即可解决问题；
（3） 如图 3 中，连接 AC ，将DACE 绕点 A 顺时针旋转60° 得到DABR ，连接 RE ．想办法证明ÐBEC = 150° 即可解决问题；
【解答】解：（1）如图 1 中，



在四边形 ABCD 中，Q ÐA + ÐB + ÐC + ÐD = 360° ， ÐB = 60° ， ÐC = 30° ，

\ ÐA + ÐC = 360° - 60° - 30° = 270° ．



（2） 如图 2 中，结论： DB2 = DA2 + DC2 ．

理由：连接 BD ．以 BD 为边向下作等边三角形 DBDQ．


QÐABC = ÐDBQ = 60° ，

\ÐABD = ÐCBQ ，

Q AB = BC ， DB= BQ，

\DABD @ DCBQ ，

\AD =CQ ， ÐA = ÐBCQ ，

QÐA+ÐBCD=ÐBCQ+ÐBCD= 270°，

\ÐDCQ=90°，


\DQ2 = DC2 + CQ2 ，

QCQ = DA， DQ = DB ，

\DB2 = DA2 + DC2 ．



（3） 如图 3 中，连接 AC ，将DACE 绕点 A 顺时针旋转60° 得到DABR ，连接 RE ．



则DAER 是等边三角形，QEA2 = EB2 + EC2 ， EA = RE ， EC = RB ，

\ RE 2 = RB 2 + EB 2 ，

\ ÐEBR = 90° ，

\ ÐRAE + ÐRBE = 150° ，

\ ÐARB + ÐAEB = ÐAEC + ÐAEB = 210° ，

\ ÐBEC = 150° ，

\点 E 的运动轨迹在 O 为圆心的圆上，在eO 上取一点 K ，连接 KB ， KC ， OB ， OC ，

Q ÐK + ÐBEC = 180° ，

\ ÐK = 30° ， ÐBOC = 60° ，

Q OB = OC ，

\ DOBC 是等边三角形，

\点 E 的运动路径= 60gpg1 = p．
180 3

【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、弧长公 式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

1
（A）-6 （B）6 （C） - （D） 1
6 6
2. 广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群

百姓美好生活的好去处，到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：

6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（ ）

（A）5 （B）5.2 （C）6 （D）6.4

3. 如图 1，有一斜坡 AB，坡顶 B 离地面的高度 BC 为 30m，斜坡的倾斜角是∠B

则次斜坡的水平距离 AC 为（ ）

（A）75m （B）50m （C）30m （D）12m


4. 下列运算正确的是（ ）

ç
（A）-3-2=-1 （B） 3´æ-
è

1 ö2
3
÷
ø

= - 1
3


（C） x3 × x5


= x15



（D）


5. 平面内，⊙O 的半径为 1，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作⊙O 的切线条数

（A）0 条 （B）1 条 （C）2 条 （D）无数条

6. 甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做 8 个，甲做 120 个所用的

时间相等，设甲每小时做 x 个零件，下列方程正确的是（ ）


（A）
120 =
x
150


x - 8

（B）
120


x + 8
= 150
x

（C）
120


x - 8
= 150
x
（D） 1

7. 如图 2，平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=4，对角线 AC，BD 相交于点 O， 且 E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的重点，则下列说法正确的是（ ）
（A）EH=HG （B）四边形 EFGH 是平行四边形
（C）AC⊥BD （D） DABO 的面积是DEFO 的面积的 2 倍

10. 关于 x 的一元二次方程 x2 - (k -1)x - k + 2 = 0 有两个实数根 x , x ，若
1 2

(x1 - x2 + 2)(x1 - x2 - 2) + 2x1x2 = -3 ，则 k 的值（ ）

（A）0 或 2 （B）-2 或 2 （C）-2 （D）2


第二部分 非选择题（共 120 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）

11. 如图 4，点 A，B，C 在直线 l 上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则

到直线 l 的距离是 cm.


x - 8
12. 代数式 1

有意义时，x 应满足的条件是 .



13. 分解因式： x2 y + 2xy + y = .

14. 一副三角板如图 5 放置，将三角板 ADE 绕点 A 逆时针旋转a(0o < a< 90o )

三角板 ADE 的一边所在的直线与 BC 垂直，则a的度数为 .
15. 如图 6 放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为 2 的等腰直角三角形，则侧面展开扇形的弧长为 .（结果保留p）

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明，证明过程或

17. （本小题满分 9 分）

ìx - y = 1
î
解方程组： íx + 3y = 9
























18. （本小题满分 9 分）
如图 8，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE=FE，FC∥AB，求证： DADE






20. （本小题满分 10 分）

某中学抽取了 40 名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘

布表和扇形统计图。

频数分布表

组别
时间/小时
频数/人数
A 组
0 £ t < 1
2
B 组
1 £ t < 2
m
C 组
2 £ t < 3
10
D 组
3 £ t < 4
12
E 组
4 £ t < 5
7
F 组
t ³ 5
4



请根据图表中的信息解答下列问题：

（1） 求频数分布表中 m 的值；

（2） 求 B 组，C 组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统

（3） 已知 F 组的学生中，只有 1 名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的

从 F 组中随机选取 2 名学生，恰好都是女生。












22. （本小题满分 12 分）

如图 9，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于
n - 3
点 E，正比例函数 y=mx 的图像与反比例函数 y = 的图像相交于 A，P 两点。
x
（1） 求 m，n 的值与点 A 的坐标；

（2） 求证： DCPD ∽ DAEO
（3） 求sin ÐCDB 的值























24.（本小题满分 14 分）
如图 11，等边DABC 中，AB=6，点 D 在 BC 上，BD=4，点 E 为边 AC 上
DCDE 关于 DE 的轴对称图形为DFDE .
（1） 当点 F 在 AC 上时，求证：DF//AB；
（2） 设DACD 的面积为 S1， DABF 的面积为 S2，记 S=S1-S2，S 是否存在

的最大值；若不存在，请说明理由；

（3） 当 B，F，E 三点共线时。求 AE 的长。



ìx - y = 1
î
17、 íx + 3y = 9

ìx = 3
y = 2
í
解得： î

18.证明：∵FC∥AB
∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F 所以在△ADE 与△CFE 中：

ìÐA = ÐFCF
í
ïÐADE = ÐF
î
ïDE = EF


∴△ADE≌△CFE

1
19、（1）化简得： a - b
2


（2）P= 2

20.（1）m=5

(2) B 组的圆心角是 45°，C 组的圆心角是 90°.

1
(3) 恰好都是女生的概率是： 2

21、（1）6

124
（2） 5

24、（1）由折叠可知：DF=DC，∠FED=∠CED=60° 又因为∠A=60°
所以 BF∥AB




3
（2） 存在，S 最大为：
6 - 3


3
（3）AE = 8 - 2


25、（1）-3-m

（2）y= -x -2（x＞1）



绝密★启用前

在 2020 年广东省广州市初中毕业生学业考试
数 学
此 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题 25 小题，共 8 页，满分 150 分．考
试用时 120 分钟．
注意事项：
1. 答卷前，考生务必在答题卡第 1 面、第 3 面、第 5 面上用黑色字迹的钢笔或签字









图 1
A.套餐一 B.套餐二 C.套餐三 D.套餐四
b
a
3. 下列运算正确的是 （ ）

卷 笔填写自己的考生号、姓名；填写考点考场号、座位号，再用 2B 铅笔把对应着
A. a + =
a + b
B. 2 a ´ 3 =a6

考生号
个号码的标号涂黑．
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如
C. x5 × x6 = x30
D. (x2 )5 = x10

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；不能答在试卷上．
上
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用 2B 铅笔画
图，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用
4. △ABC 中，点 D ，E 分别是△ABC 的边 AB ，AC 的中点，连接 DE ，若ÐC = 68° ， 则∠AED = （ ）
A. 22° B. 68° C. 96° D.112°
5. 如图 2 所示的圆锥，下列说法正确的是 （ ）

答 铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
姓名
4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分 选择题（共 30 分）


题 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）
毕业学校
1. 广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达 15 233 000 人

无 次．将 15 233 000 用科学记数法表示应为 （ ）
A.152.33 ´105 B.15.233 ´106 C.1.5233 ´107 D. 0.15233´108

2. 某校饭堂随机抽取了 100 名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选

图 2
A.该圆锥的主视图是轴对称图形B. 该圆锥的主视图是中心对称图形
C.该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D.该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
6.一次函数 y = -3x +1 的图象过点( x1, y1 )， ( x1 + 1, y2 ) ， ( x1 + 2, y3 )，则 （ ）

效 一种），绘制了如图 1 的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（ ）
A. y1＜y2＜y3
C. y2＜y1＜y3
B. y3＜y2＜y1
D. y3＜y1＜y2

7.如图 3， Rt△ABC 中， ÐC = 90° ， AB = 5 ， cos A = 4 ，以点 B 为圆心， r 为半径作
5
eB ，当r = 3 时， eB 与 AC 的位置关系是 （ ）

第二部分 非选择题（共 120 分）

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）
11. 已知ÐA = 100° ，则ÐA 的补角等于 ．
5
20
12. 计算： - = ．
13. 方 程 x = 3 的 解是 ．



图 3
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定
8. 往直径为 52 cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图 4 所示，若水面宽
AB = 48 cm ，则水的最大深度为 （ ）


图 4
A. 8 cm B.10 cm C.16 cm D. 20 cm
9. 直线 y = x + a 不经过第二象限，则关于 x 的方程ax2 + 2x +1 = 0 实数解的个数（ ）
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.1 个或 2 个
10. 如图 5，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点O ， AB = 6 ， BC = 8 ，过点O 作
OE⊥AC ，交AD 于点 E ，过点E 作 EF⊥BD ，垂足为 F ，则OE + EF 的值为（ ）


图 5
x + 1 2x + 2
14. 如图 6，点 A 的坐标为(1,3)，点 B 在 x 轴上，把△OAB 沿 x 轴向右平移到△ECD ， 若四边形 ABDC 的面积为 9，则点C 的坐标为 ．




图 6
15. 如图 7，正方形 ABCD 中， △ABC 绕点 A 逆时针旋转到△AB¢C¢ ， AB¢ ， AC¢ 分别交对角线 BD 于点 E ， F ，若 AE = 4 ，则 EF × ED 的值为 ．





图 7
16. 对某条线段的长度进行了 3 次测量，得到 3 个结果（单位： mm ）9.9，10.1，10.0， 若 用 a 作 为 这 条 线 段 长 度 的 近 以 值 ， 当 a = mm 时 ，
(a - 9.9)2 + (a -10.1)2 + (a -10.0)2 最小．对另一条线段的长度进行了n 次测量，得到
n 个结果（单位：mm ）x1 ，x2 ，…，xn ，若用 x 作为这条线段长度的近似值，当 x =
1 2 n
mm时， (x - x )2 + ( x - x )2 +L + ( x - x )2 最小．

A.
B.
48 32
5 5
24 12
C.
D.
5 5
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分 9 分）
ì2x -1≥x + 2
î
在
解不等式组： í x + 5＜4x - 1 ．



此




卷 18.（本小题满分 9 分）
考生号
如图 8， AB = AD ， ÐBAC = ÐDAC = 25° ， ÐD = 80° ．求ÐBCA 的度数．


上




图 8
姓名
答



19.（本小题满分 10 分）
题 已知反比例函数 y = k 的图象分别位于第二、第四象限，
x
(k + 1)2 - 4k
k 2 - 16 + ．


20.（本小题满分 10 分）
为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共 30 名老
人提供居家养老服务，收集得到这 30 名老人的年龄（单位：岁）如下：

甲社区

67

68

73

75

76

78

80

82

83

84

85

85

90

92

95

乙社区

66

69

72

74

75

78

80

81

85

85

88

89

91

96

98

根据以上信息解答下列问题：
（1） 求甲．社．区．老人年龄的中位数和众数；
（2） 现从两个社区年龄在 70 岁以下的 4 名老人中随机抽取 2 名了解居家养老服务
情况，求这 2 名老人恰好来自同一个社区的概率．









21.（本小题满分 12 分）
如图 9，平面直角坐标系 xOy 中，YOABC 的边OC 在 x 轴上，对角线 AC ， OB 交于点 M ，函数 y = k ( x＞0) 的图象经过点 A(3, 4) 和点 M ．
x
（1） 求k 的值和点 M 的坐标；
（2） 求YOABC 的周长．

毕业学校
化简：


无
k - 4
k - 4





图 9


效

22.（本小题满分 12 分）
粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资 9 000 万元改装 260 辆无人
驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是 50 万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50% ．
（1） 求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2） 求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
24.（本小题满分 14 分）
如图 11， eO 为等边△ABC 的外接圆，半径为 2，点 D 在劣弧$AB 上运动（不与点
A ， B 重合），连接 DA ， DB ， DC ．
（1） 求证： DC 是ÐADB 的平分线；
（2） 四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数吗？如果是，求出函数解析式； 如果不是，请说明理由；
（3） 若点 M ， N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点 D 运动到每一个确定的位置， △DMN 的周长有最小值，随着点 D 的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．





23.（本小题满分 12 分）
如图 10， △ABD 中， ÐABD = ÐADB ．
（1） 作点 A 关于 BD 的对称点C ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）




25.（本小题满分 14 分）

图 11

（2） 在（1）所作的图中，连接 BC ， DC ，连接 AC ，交 BD 于点O ．
①求证：四边形 ABCD 是菱形；
②取 BC 的中点 E ，连接OE ，若OE = 13 ，BD =10 ，求点 E 到 AD 的距离．
2
平面直角坐标系 xOy 中，抛物线G ： y = ax2 + bx + c (0＜a＜12) 过点 A(1, c - 5a) ，
B ( x1,3) ， C ( x2 ,3) ，顶点 D 不在第一象限，线段 BC 上有一点 E ，设△OBE 的面积为 S ， △OCE 的面积为 S ， S = S + 3 ．
1 2 1 2 2

（1） 用含a 的式子表示b ；
（2） 求点 E 的坐标；
（3） 若直线 DE 与抛物线G 的另一个交点 F 的横坐标为 6 + 3 ，求 y = ax2 + bx + c 在
a

1＜x＜6 时的取值范围（用含a 的式子表示）．
图 10

2020年广东省广州市初中毕业生学业考试
数学答案解析
一、
1. 【答案】C
【解析】15 233 000 = 1.5233´107 ，故选 C．
【考点】科学记数法的表示
2. 【答案】A
【解析】解：通过观察条形统计图可得：套餐一，一共出现了 50 人，出现的人数最多，因此通过利用样本估计总体可以得出学生最喜欢的套餐种类是套餐一；故选：A．
【考点】条形统计图
3. 【答案】D
a
【解析】A、 与 b 不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项错误；
B、2 a ´ 3 a = 6a ，故该选项错误；
C、 x5 × x6 = x11 ，故该选项错误； D、(x2 )5 = x10 ，故该选项正确，故选：D．
【考点】二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂的乘方运算法则
4. 【答案】B
【解析】如图，∵点 D ， E 分别是△ABC 的边 AB ， AC 的中点，
∴ DE 是△ABC 的中位线，
∴ DE∥BC ，
∴∠AED = ÐC = 68° ， 故选：B．

【考点】三角形中位线的判定及性质，平行线的性质
5. 【答案】A

【解析】解：圆锥的主视图是一个等腰三角形，
所以该圆锥的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 正确， 该圆锥的主视图是中心对称图形，故 B 错误，
该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故 C 错误，
该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D 错误， 故选A．
【考点】简单几何体的三视图，轴对称图形与中心对称图形
6. 【答案】B
【解析】因为一次函数的一次项系数小于 0，所以 y 随 x 增减而减小．故选 B．


【考点】一次函数图象的增减性
7. 【答案】B

【解析】解：∵ Rt△ABC 中， ÐC = 90° ，

∴ cosA = AC = 4
AB 5

∵ AB = 5 ，
∴ AC = 4
BC2 - AC2
∴ BC = = 3
当 r = 3 时， eB 与 AC 的位置关系是：相切． 故选：B．


cos A = 4 ，
5

【考点】由三角函数解直角三角形，勾股定理，直线和圆的位置关系
8. 【答案】C
【解析】
【详解】解：过点O 作OD⊥AB 于 D ，交eO 于 E ，连接OA ，
由垂径定理得： AD = 1 AB = 1 ´ 48 = 24 cm ，
2 2
∵ eO 的直径为52 cm ，
∴ OA = OE = 26 cm ，


在Rt△AOD 中，由勾股定理得： OD =
∴ DE = OE - OD = 26 - 10 = 16 cm ，
∴油的最大深度为16 cm ， 故选：C．
OA2 - AD2 = 262 - 242 =10 cm ，



【考点】垂径定理
9. 【答案】D
【解析】∵直线 y = x + a 不经过第二象限，
∴ a≤0 ，
∵方程ax2 + 2x + 1 = 0 ，
当 a = 0 时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当 a＜0 时，方程为一元二次方程，
∵ D = b2 - 4ac = 4 - 4a ，
∴ 4 - 4a＞0 ，
∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D．
【考点】一次函数的性质
10. 【答案】C
【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，
\ AC = BD ， ÐABC = ÐBCD = ÐADC = ÐBAD = 90°
Q AB = 6 ， BC = 8
\ AD = BC = 8 ， DC = AB = 6

AB2 + BC2
\ AC =
\OA = 1 AC = 5 ，
2
QOE⊥AC ，
\ÐAOE = 90°
\ÐAOE = ÐADC ，
= 10 ， BD =10 ，

又ÐCAD = ÐDAC ，
\△AOE∽△ADC ，

\ AO = AE = EO ，
AD AC CD

\ 5 = AE = EO ，
8 10 6
\ AE = 25 ， OE = 15 ，
4 4

\ DE = 7 ，
4

同理可证， △DEF∽△DBA ，

\ DE = EF ，
BD BA
7
，
\ 4 = FF
10 6
\ EF = 21 ，
20

\OE + EF = 15 + 21 = 24 ，
4 20 5

故选：C．
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质 二、
11. 【答案】80
【解析】ÐA 的补角= 180° -100° = 80° ， 故答案为：80．
【考点】补角的概念

5
5
5
12. 【答案】

【解析】故答案为：
- = 2
20
5
5
5
．
- = ，

【考点】二次根式的加减
13. 【答案】 3
2
【解析】 x = 3

x + 1 2x + 2

左右同乘2( x + 1) 得： 2x = 3
解得 x = 3 ．
2

经检验 x = 3 是方程的跟．
2

故答案为： 3 ．
2

【考点】解分式方程
14.【答案】(4,3)
【解析】过点 A 作 AH⊥x 轴于点 H ，
∵ A(1,3)，
∴ AH = 3 ，
由平移得 AB∥CD ， AB = CD ，
∴四边形 ABDC 是平行四边形，
∴ AC = BD ，
∵ BD × AH = 9 ，
∴ BD = 3 ，
∴ AC = 3 ，
∴ C (4,3)
故答案为： (4,3) ．

【考点】平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系
15.【答案】16
【解析】解：在正方形 ABCD 中， ÐBAC = ÐADB = 45° ，
∵△ABC 绕点 A 逆时针旋转到△AB¢C¢ ，
∴ ÐB¢AC¢=ÐBAC = 45° ，
∴ ÐEAF =ÐADE = 45° ，
∵ ÐAEF =ÐAED ，
∴△AEF∽△DEA ，

∴ AE = EF ，
DE AE

∴ EF × ED = AE 2 = 42 =
16 ． 故答案为：16．
【考点】正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质
16.【答案】（1）10.0
（2） x1 + x2 +L + xn ．
n

【解析】解：（1）整理(a - 9.9)2 + (a -10.1)2 + (a -10.0)2 得： 3a2 - 60.0a + 300.02 ，设

y = 3a2 - 60.0a + 300.02 ，
-60.0
由二次函数的性质可知：当 a = - = 10.0 时，函数有最小值，
2 ´ 3

即：当a = 10.0 时， (a - 9.9)2 + (a -10.1)2 + (a -10.0)2 的值最小，故答案为：10.0；
1 2 n 1 2 n 1 2 n
（2）整理( x - x )2 + ( x - x )2 +L + ( x - x )2 得： nx2 - 2( x + x +L+ x ) x + (x 2 + x 2 +Lx 2 ) ，
n
设y = nx2 - 2( x1 + x2 +L+ x n) x + (x12 + x22 +Lx 2 ) ，由二次函数性质可知：
当 x = - 时， ( 1 2 n 1 2 n
-2( x1 + x2 +L + xn ) = x1 + x2 +L + xn y = nx2 - 2 x + x +L+ x ) x + (x 2 + x 2 +Lx 2 ) 有最小
2 ´ n n

值，
即：当 x = x1 + x2 +L + xn 时， ( x - x )2 + ( x - x )2 +L + ( x - x )2 的值最小，


n

故答案为： x1 + x2 +L + xn ．
n
1 2 n


【考点】二次函数模型的应用

三、
ì2x -1≥x + 2 ①
17.【答案】í
îx + 5＜4x -1 ②
由①可得 x≥3 ，

由②可得 x＞2 ，
∴不等式的解集为： x≥3 ．
【解析】根据解不等式组的解法步骤解出即可．具体解题过程参照答案．
【考点】解不等式组
18.【答案】∵ ÐDAC = 25° ， ÐD = 80° ，
∴ÐDCA = 75° ，
∵ AB = AD ， ÐBAC = ÐDAC = 25° ， AC = AC ，
∴△ABC≌△ADC ，
∴ ÐBCA = ÐDCA = 75° .
【解析】由三角形的内角和定理求出ÐDCA = 75° ，再证明△ABC≌△ADC ，即可得到答案.具体解题过程参照答案．
【考点】三角形的内角和定理，全等三角形的判定及性质
19. 【答案】由题意得k＜0 ．

k 2


k - 4
- 16 +
k - 4
k 2 - 16 +
(k + 1)2 - 4k =
k - 4
= (k + 4)(k - 4)+
k 2 + 2k + 1 - 4k
k 2 - 2k + 1
k - 4


(k -1)2
= k + 4 + = k + 4 + k -1 = k + 4 - k +1 = 5

【解析】由反比例函数图象的性质可得k＜0 ，化简分式时注意去绝对值．
【考点】反比例函数图象的性质和分式的化简
20. 【答案】（1）甲社区老人的 15 个年龄居中的数为：82，故中位数为 82， 出现次数最多的年龄是 85，故众数是 85；
（2）这 4 名老人的年龄分别为 67，68，66，69 岁，分别表示为 A 、 B 、C 、 D ， 列树状图如下：


共有 12 种等可能的情况，其中 2 名老人恰好来自同一个社区的有 4 种，分别为 AB ， BA ， CD ， DC ，
∴ P （这 2 名老人恰好来自同一个社区） = 4 = 1 ．
12 3

【解析】（1）根据中位数及众数的定义解答；（2）列树状图解答即可．
【考点】统计知识

21.【答案】（1）将点 A(3, 4) 代入 y = k 中，得k = 3 ´ 4 = 12 ，
x

∵四边形OABC 是平行四边形，
∴ MA = MC ，
作 AD⊥x 轴于点 D ， ME⊥x 轴于点 E ，
∴ ME∥AD ，
∴△MEC∽△ADC ，
∴ ME = MC = 1 ，
AD CA 2

∴ ME = 2 ，
将 y = 2 代入 y = 12 中，得 x = 6 ，
x
∴点 M 的坐标为(6, 2) ；

（2）∵ A(3, 4) ，
∴ OD = 3 ， AD = 4 ，
OD2 + AD2
∴ OA = = 5，
∵ A(3, 4) ， M (6, 2) ，
∴ DE = 6 - 3 = 3 ，
∴ CD = 2DE = 6 ，
∴OC = 3 + 6 = 9 ，
∴YOABC 的周长= 2(OA + OC ) = 28 .

【解析】（ 1） 将点 A(3, 4) 代入 y = k
x
中求出 k 的值， 作 AD⊥x 轴于点 D ， ME⊥x 轴于点 E ， 证明

△MEC∽△ADC ，得到 ME = MC = 1 ，求出 ME = 2 ，代入 y = 12 即可求出点 M 的坐标；
AD CA 2 x

（2）根据勾股定理求出OA = 5 ，根据点 A 、 M 的坐标求出 DE ，即可得到OC 的长度，由此求出答案．
【考点】平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式

22.【答案】解：（1）依题意得： 50 ´ (1 - 50%)=25 （万元）
（2）设明年改装的无人驾驶出租车是 x 辆，则今年改装的无人驾驶出租车是(260 - x) 辆，依题意得：
50 ´ (260 - x)+25x=9 000
解得： x=160
答：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是 25 万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是 160 辆．
【解析】（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是 50 万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50% ，列出式子即可求出答案；
（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资 9 000 万元改装 260 辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程， 求解即可．
【考点】一元一次方程的实际应用问题
23. 【答案】（1）解：如图：点C 即为所求作的点；
（2）①证明：
∵ ÐABD = ÐADB ， AC⊥BD ， 又∵ AO = AO ，
∴△ABO≌△ADO ；
∴BO = DO ，
又∵ AO = CO ， AC⊥BD
∴四边形 ABCD 是菱形；


②解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AO = CO ， BO = DO ， AC⊥BD
又∵ BD =10 ，
∴ BO=5 ，

∵ E 为 BC 的中点，
∴CE = BE ，
∵ AO = CO ，
∴ OE 为△ABC 的中位线，
∵ OE = 13 ，
2

∴ AB = 13 ，
∴菱形的边长为 13，
∵ AC⊥BD ， BO=5
在Rt△AOB 中，由勾股定理得： AO2 = AB2 - BO2 ，即： AO =
∴ AC = 12 ´ 2 = 24 ，
设点 E 到 AD 的距离为h ，利用面积相等得：
1 ´ 24 ´10 = 13h ，
2
解得： h = 120 ，
13

即 E 到 AD 的距离为120 ．
13













132 - 52 =12 ，





【解析】（1）过点 A 做 BD 的垂线交 BD 于点 M ，在 AM 的延长线上截取 AM = CM ，即可求出所作的点 A
关于 BD 的对称点C ；
（2）①利用ÐABD = ÐADB ， AC⊥BD 得出 BO = DO ，利用 AO = CO ，以及 AC⊥BD 得出四边形 ABCD
是菱形；
②利用OE 为中位线求出 AB 的长度，利用菱形对角线垂直平分得出OB 的长度，进而利用Rt△AOB 求出
AO 的长度，得出对角线 AC 的长度，然后利用面积法求出点 E 到 AD 的距离即可．
【考点】对称点的作法，菱形的判定，菱形的面积公式
24. 【答案】（1）∵ △ABC 为等边三角形， BC = AC ，

∴ $A
C = B$C ，都为 1 圆，
3


∴ ÐAOC = ÐBOC = 120° ，
∴ ÐADC = ÐBDC = 60° ，
∴ DC 是ÐADB 的角平分线．
（2） 是．
如图，延长 DA 至点 E ，使得 AE = DB ． 连接 EC ，则ÐEAC = 180°-ÐDAC＝ÐDBC ．
∵ AE＝DB ， ÐEAC＝ÐDBC ， AC＝BC ，
∴△EAC≌△DBC (SAS ) ，
∴ ÐE = ÐCDB = ÐADC = 60° ， 故△EDC 是等边三角形，
∵ DC = x ，∴根据等边三角形的特殊性可知 DC 边上的高为 3 x
2



∴ S = S



△DBC
+ S△ADC
= S△EAC
+ S△ADC
= S△CDE
= 1 × x × 3 x = 3 x2 2 3＜x≤4 ．
(
2 2 4




（3） 依次作点 D 关于直线 BC 、 AC 的对称点 D1 、 D2 ，根据对称性
C△DMN = DM + MN + ND = D1M + MN + ND2 ．
∴ D1 、 M 、 N 、 D 共线时△DMN 取最小值t ，此时t = D1D2 ，
由对称有 D1C = DC = D2C = x ， ÐD1CB = ÐDCB ， ÐD2CA = ÐDCA ，
∴ ÐD1CD2 = ÐD1CB + ÐBCA + ÐD2CA = ÐDCB + 60° + ÐDCA = 120° ．
∴ÐCD1D2 = ÐCD2 D1= 60° ，




在等腰△D1CD2 中，作CH ^ D1 D2 ，
则在Rt△D CH 中，根据 30°特殊直角三角形的比例可得 D H = 3 CD = 3 x ，

1


3
同理 D H = 3 CD = x
1 2 1 2

2


∴ t = D1D2 =
2 2

3DC =
2

3x ．

∴ x 取最大值时， t 取最大值．
3
即 D 与O 、C 共线时t 取最大值， x = 4 ． 所有t 值中的最大值为4 ．

【解析】（1）根据等弧对等角的性质证明即可；
（2） 延长 DA 到 E ，让 AE = DB ，证明△EAC≌△DBC ，即可表示出S 的面积；
（3） 作点 D 关于直线 BC 、 AC 的对称点 D1 、 D2 ，当 D1 、 M 、 N 、 D 共线时△DMN 取最小值，可得
t = D1D2 ，有对称性推出在等腰△D1CD2 中， t = 3x ， D 与O 、C 共线时t 取最大值即可算出．

【考点】圆与正多边形的综合，动点问题
25.【答案】解：（1）把 A(1, c - 5a) 代入： G : y = ax2 + bx + c (0＜a＜12) ，
\c - 5a = a + b + c ，
\b = -6a ，
（2）Q b = -6a ，
\抛物线为： y = ax2 - 6ax + c (0＜a＜12) ，
\抛物线的对称轴为： x = - -6a = 3 ，
2a
Q 顶点 D 不在第一象限，
\顶点 D 在第四象限，
如图，设 x1＜x2 ，记对称轴与 BC 的交点为 H ， 则 BH = CH ，
\ S△OBH = S△OCH ，
Q S = S + 3 ，

1 2 2


\ S△OBH

\SVOHE
+ S△OHE

= 3 ，
4
= S△OCH
- S△OHE
+ 3 ，
2


\ 1 EH ´ 3 = 3 ，
2 4

\ EH = 1 ，
2
ç ÷
\ E æ 7 ,3ö ，
2
è ø


1 2 ç ÷
当 x ＞x ，同理可得： E æ 5 ,3ö
2
è ø
ç ÷ ç ÷
综上： E æ 7 ,3ö 或 E æ 5 ,3ö
2 2
è ø è ø
（3）Q y = ax2 - 6ax + c = a ( x - 3)2 + c - 9a ，
\ D (3, c - 9a) ，
ç ÷
当 E æ 7 ,3ö ，设 DE 为： y = kx + b ，
2
è ø

ì 7 k + b = 3
í
\ï 2
ïî3k + b = c - 9a
í
ìk = 6 - 2c + 18a
解得：
î b = 7c - 63a -18
\ DE 为 y = (6 - 2c + 18a) x + 7c - 63a -18 ，
ìï y = ax2 - 6ax + c
îï
\í y = (6 - 2c +18a) x + 7c - 63a -18
消去 y 得： ax2 + (-6 + 2c - 24a ) x - 6c + 63a + 18 = 0 ，

由根与系数的关系得： 3 + 6
+ 3 -6 + 2c - 24a ，

= -
a a

解得： c = 9a ，
\ y = ax2 - 6ax + 9a = a ( x - 3)2 ，当 x =1 时， y = 4a ，
当 x = 6 时， y = 9a ， 当 x = 3 时， y = 0 ，
当1＜x＜6 时，有0＜y＜9a ，
ç ÷
当 E æ 5 ,3ö ， D (3,c - 9a) ，
2
è ø
同理可得 DE 为： y = (2c -18a - 6) x - 5c + 45a + 18 ，
\
ìï y = (2c -18a - 6) x - 5c + 45a +18
í
ïîy = ax2 - 6ax + c
同理消去 y 得： ax2 + (12a - 2c + 6) x + 6c - 45a -18 = 0 ，

\6 + 6 = -12a - 2c + 6 ，
a a

解得： c = 9a + 6 ，
\ y = ax2 - 6ac + 9a + 6 = a ( x - 3)2 + 6 ，此时，顶点在第一象限，舍去，
综上：当1＜x＜6 时，有0＜y＜9a ，
【解析】（1）把 A(1, c - 5a) 代入： G : y = ax2 + bx + c (0＜a＜12) ，即可得到答案；
（2） 先求解抛物线的对称轴，记对称轴与 BC 的交点为 H ，确定顶点的位置，分情况利用 S = S + 3 ，求

1 2 2

解 S△OEH ，从而可得答案；
（3） 分情况讨论，先求解 DE 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，再利用一元二次方程根与系数的关系求解c ，结合二次函数的性质可得答案．
【考点】利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，一元 二次方程根与系数的关系

2021 年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，满分 30 分）

1．（3 分）（2021•广州）下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A．0 B．﹣0.5 C．﹣ D．﹣2
2．（3 分）（2021•广州）如图，在数轴上，点 A、B 分别表示 a、b，且 a+b＝0，若 AB＝6，则点 A 表示的数为（ ）

A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6 3．（3 分）（2021•广州）方程＝的解为（ ）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6 4．（3 分）（2021•广州）下列运算正确的是（ ）
A．|﹣（﹣2）|＝﹣2 B．3+ ＝3
C．（a2b3）2＝a4b6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4 5．（3 分）（2021•广州）下列命题中，为真命题的是（ ）
（1） 对角线互相平分的四边形是平行四边形

（2） 对角线互相垂直的四边形是菱形

（3） 对角线相等的平行四边形是菱形

（4） 有一个角是直角的平行四边形是矩形

A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）

6．（3 分）（2021•广州）为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有 3 名女学生，1 名男学生，则从这 4 名学生中随机抽取 2 名学生，恰好抽到 2 名女学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3 分）（2021•广州）一根钢管放在 V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是 24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧 AB 的长是（ ）



A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm

8．（3 分）（2021•广州）抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点（﹣1，0）、（3，0），且与 y 轴交于点（0，
﹣5），则当 x＝2 时，y 的值为（ ）

A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5

9．（3 分）（2021•广州）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△AB′C′，使点 C′落在 AB 边上，连结 BB′，则 sin∠BB′C′ 的值为（ ）

A． B． C． D．
10．（3 分）（2021•广州）在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A 在函数 y＝（x
＞0）的图象上，顶点 C 在函数 y＝﹣（x＜0）的图象上，若顶点 B 的横坐标为﹣， 则点 A 的坐标为（ ）
A．（，2） B．（， ） C．（2，） D．（ ，）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．（3 分）（2021•广州）代数式在实数范围内有意义时，x 应满足的条件是 ．
12．（3 分）（2021•广州）方程 x2﹣4x＝0 的实数解是 ．
13．（3 分）（2021•广州）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段 AB 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点 D、E，连接 BD．若 CD＝1，则 AD 的长为 ．



14．（3 分）（2021•广州）一元二次方程 x2﹣4x+m＝0 有两个相等的实数根，点 A（x1，y1）、
B（x2，y2）是反比例函数 y＝上的两个点，若 x1＜x2＜0，则 y1 y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
15．（3 分）（2021•广州）如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠B＝38°，点 D 是边 AB 上一点，点 B 关于直线 CD 的对称点为 B′，当 B′D∥AC 时，则∠BCD 的度数为 ．

16．（3 分）（2021•广州）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是边 BC 上一点，且 BE＝3，以点 A 为圆心，3 为半径的圆分别交 AB、AD 于点 F、G，DF 与 AE 交于点 H．并与⊙A 交于点 K，连结 HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
（1）H 是 FK 的中点

（2） △HGD≌△HEC

（3） S△AHG：S△DHC＝9：16

（4） DK＝

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分）

17．（4 分）（2021•广州）解方程组．
18．（4 分）（2021•广州）如图，点 E、F 在线段 BC 上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．






19．（6 分）（2021•广州）已知 A＝（﹣）•．
（1） 化简 A；
（2） 若 m+n﹣2＝0，求 A 的值．
20．（6 分）（2021•广州）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级 20 名学生，统计得到该 20 名学生参加志愿者活动的次数如下： 3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：

次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
（1） 表格中的 a＝ ，b＝ ；

（2） 在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 ，中位数为 ；

（3） 若该校初三年级共有 300 名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加

志愿者活动的次数为 4 次的人数．

21．（8 分）（2021•广州）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共 100万人次．
（1） 若“广东技工”今年计划新增加培训 31 万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训

人次是“南粤家政”的 2 倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；

（2） “粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动 33.6 万人次创业就业，据报道，经过“粤

菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为 9.6 万元，预计李

某今年的年工资收入不低于 12.48 万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？

22．（10 分）（2021•广州）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，点 E 是 AC 的中点，

且 AC＝AD．

（1） 尺规作图：作∠CAD 的平分线 AF，交 CD 于点 F，连结 EF、BF（保留作图痕迹， 不写作法）；
（2） 在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF 为等边三角形．












23．（10 分）（2021•广州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝x+4 分别与 x 轴，
y 轴相交于 A、B 两点，点 P（x，y）为直线 l 在第二象限的点．

（1） 求 A、B 两点的坐标；

（2） 设△PAO 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；

（3） 作△PAO 的外接圆⊙C，延长 PC 交⊙C 于点 Q，当△POQ 的面积最小时，求⊙C 的半径．













24．（12 分）（2021•广州）已知抛物线 y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1） 当 m＝0 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；

（2） 该抛物线的顶点随着 m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；

（3） 已知点 E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
25．（12 分）（2021•广州）如图，在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，AB＝2，点 E 为边 AB

上一个动点，延长 BA 到点 F，使 AF＝AE，且 CF、DE 相交于点 G．


（1） 当点 E 运动到 AB 中点时，证明：四边形 DFEC 是平行四边形；

（2） 当 CG＝2 时，求 AE 的长；

（3） 当点 E 从点 A 开始向右运动到点 B 时，求点 G 运动路径的长度．


2021 年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，满分 30 分）

1．（3 分）（2021•广州）下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A．0 B．﹣0.5 C．﹣ D．﹣2
【专题】实数；数感．

【分析】根据整数的概念可以解答本题．

【解答】解：A、0 是整数，但 0 既不是负数也不是正数，故此选项不符合题意；

B、﹣0.5 是负分数，不是整数，故此选项不符合题意； C、﹣ 是负无理数，不是整数，故此选项不符合题意； D、﹣2 是负整数，故此选项符合题意．
故选：D．

【点评】本题主要考查了实数的分类．明确大于 0 的整数是正整数，小于 0 的整数是负整数是解题的关键．
2．（3 分）（2021•广州）如图，在数轴上，点 A、B 分别表示 a、b，且 a+b＝0，若 AB＝6，则点 A 表示的数为（ ）


A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6

【专题】实数；运算能力；推理能力．

【分析】根据相反数的性质，由 a+b＝0，AB＝6 得 a＜0，b＞0，b＝﹣a，故 AB＝b+（﹣ a）＝6．进而推断出 a＝﹣3．
【解答】解：∵a+b＝0，

∴a＝﹣b，即 a 与 b 互为相反数． 又∵AB＝6，
∴b﹣a＝6．

∴2b＝6．

∴b＝3．

∴a＝﹣3，即点 A 表示的数为﹣3．

故选：A．

【点评】本题主要考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键．
3．（3 分）（2021•广州）方程＝的解为（ ）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6

【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．

【分析】求解分式方程，根据方程的解得结论．

【解答】解：去分母，得 x＝2x﹣6，

∴x＝6．

经检验，x＝6 是原方程的解． 故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．

4．（3 分）（2021•广州）下列运算正确的是（ ）
A．|﹣（﹣2）|＝﹣2 B．3+ ＝3
C．（a2b3）2＝a4b6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4
【专题】实数；整式；二次根式；运算能力．

【分析】根据绝对值的定义、二次根式的运算法则、幂的乘方和积的乘方的运算法则， 完全平方公式等知识进行计算即可．
【解答】解：A、|﹣（﹣2）|＝2，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、3 与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、（a2b3）2＝a4b6，原计算正确，故本选项符合题意；
D、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，原计算错误，故本选项不符合题意． 故选：C．
【点评】本题考查绝对值、二次根式、幂的乘方和积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
5．（3 分）（2021•广州）下列命题中，为真命题的是（ ）

（1） 对角线互相平分的四边形是平行四边形

（2） 对角线互相垂直的四边形是菱形

（3） 对角线相等的平行四边形是菱形

（4） 有一个角是直角的平行四边形是矩形

A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）

【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．

【分析】利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意；

（2） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

（3） 对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意；

（4） 有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意， 真命题为（1）（4），
故选：B．

【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的判定方法，难度不大．
6．（3 分）（2021•广州）为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有 3 名女学生，1 名男学生，则从这 4 名学生中随机抽取 2 名学生，恰好抽到 2 名女学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．

【分析】画树状图，共有 12 种等可能的结果，恰好抽到 2 名女学生的结果有 6 种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有 12 种等可能的结果，恰好抽到 2 名女学生的结果有 6 种，
∴恰好抽到 2 名女学生的概率为＝ ， 故选：B．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3 分）（2021•广州）一根钢管放在 V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是 24cm，

若∠ACB＝60°，则劣弧 AB 的长是（ ）

A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm

【专题】与圆有关的计算；运算能力．

【分析】首先利用相切的定义得到∠OAC＝∠OBC＝90°，然后根据∠ACB＝60°求得

∠AOB＝120°，从而利用弧长公式求得答案即可．

【解答】解：由题意得：CA 和 CB 分别与⊙O 相切于点 A 和点 B，

∴OA⊥CA，OB⊥CB，

∴∠OAC＝∠OBC＝90°，

∵∠ACB＝60°，

∴∠AOB＝120°，
∴＝16π（cm），故选：B．
【点评】考查了弧长公式和切线的性质，解题时，熟记弧长公式和切线的性质即可解答， 属于基础题．
8．（3 分）（2021•广州）抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点（﹣1，0）、（3，0），且与 y 轴交于点（0，
﹣5），则当 x＝2 时，y 的值为（ ）

A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5

【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．

【分析】根据抛物线与 x 轴两交点，及与 y 轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求 y＝﹣5．
【解答】解：如图


∵抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点（﹣1，0）、（3，0），且与 y 轴交于点（0，﹣5），
∴可画出上图，
∵抛物线对称轴 x＝＝1，
∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），

∴当 x＝2 时，y 的值为﹣5． 故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，画出图象利用对称性是解题的关键．
9．（3 分）（2021•广州）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△AB′C′，使点 C′落在 AB 边上，连结 BB′，则 sin∠BB′C′ 的值为（ ）

A． B． C． D．
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．

【分析】在 Rt△ABC 中，利用勾股定理可求 AB，由旋转的性质可得 AC＝AC'＝6，BC＝ B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，在 Rt△BB'C'中，由勾股定理可求 BB'的长，即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝ ＝ ＝10，

∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△AB′C′，

∴AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，

∴BC'＝4，

∴B'B＝ ＝ ＝4 ，
∴sin∠BB′C′＝ ＝ ＝ ， 故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出

BB'长是解题的关键．
10．（3 分）（2021•广州）在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A 在函数 y＝（x
＞0）的图象上，顶点 C 在函数 y＝﹣（x＜0）的图象上，若顶点 B 的横坐标为﹣， 则点 A 的坐标为（ ）
A．（，2） B．（， ） C．（2，） D．（ ，）
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力．

【分析】如图，作 AD⊥x 轴于点 D，CE⊥x 轴于点 E，通过证得△COE∽△OAD 得到
＝，则 OE＝2AD，CE＝2OD，设 A（m，）（m＞0），则 C（﹣，2m），由 OE＝0﹣（﹣）＝ 得到 m﹣（﹣）＝ ，解分式方程即可求得 A 的坐标．
【解答】解：如图，作 AD⊥x 轴于点 D，CE⊥x 轴于点 E，

∵四边形 OABC 是矩形，

∴∠AOC＝90°，

∴∠AOD+∠COE＝90°，

∵∠AOD+∠OAD＝90°，

∴∠COE＝∠OAD，

∵∠CEO＝∠ODA，

∴△COE∽△OAD，

∴ ＝（ ）2， ，
∵S△COE＝ ×|﹣4|＝2，S△AOD＝ ＝ ，

∴ ＝（ ）2，
∴ ＝2，
∴ ＝ ，
∴OE＝2AD，CE＝2OD，
设 A（m，）（m＞0），
∴C（﹣，2m），
∴OE＝0﹣（﹣ ）＝ ，
∵点 B 的横坐标为﹣，
∴m﹣（﹣ ）＝ ， 整理得 2m2+7m﹣4＝0，
∴m1＝，m2＝﹣4（不符合题意，舍去），经检验，m＝ 是方程的解，
∴A（，2），故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质， 反比例函数系数 k 的几何意义，表示出点的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．（3 分）（2021•广州）代数式在实数范围内有意义时，x 应满足的条件是 x≥
6 ．

【专题】二次根式；运算能力．

【分析】二次根式中被开方数的取值范围为被开方数是非负数．

【解答】解：代数式 在实数范围内有意义时，x﹣6≥0， 解得 x≥6，
∴x 应满足的条件是 x≥6． 故答案为：x≥6．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式， 那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
12．（3 分）（2021•广州）方程 x2﹣4x＝0 的实数解是 x1＝0，x2＝4 ．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【分析】方程利用因式分解法求出解即可．

【解答】解：方程 x2﹣4x＝0， 分解因式得：x（x﹣4）＝0， 可得 x＝0 或 x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4．
故答案为：x1＝0，x2＝4．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3 分）（2021•广州）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段 AB 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点 D、E，连接 BD．若 CD＝1，则 AD 的长为 2 ．

【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．

【分析】由线段垂直平分线的性质可得 AD＝BD，利用含 30°角的直角三角形的性质可求解 BD 的长，进而求解．
【解答】解：∵DE 垂直平分 AB，

∴AD＝BD，

∴∠A＝∠ABD，

∵∠A＝30°，

∴∠ABD＝30°，

∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°+30°＝60°，

∵∠C＝90°，

∴∠CBD＝30°，

∵CD＝1，

∴BD＝2CD＝2，

∴AD＝2． 故答案为 2．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线，含 30° 角的直角三角形的性质，求得 AD＝ BD 是解题的关键．
14．（3 分）（2021•广州）一元二次方程 x2﹣4x+m＝0 有两个相等的实数根，点 A（x1，y1）、
B（x2，y2）是反比例函数 y＝上的两个点，若 x1＜x2＜0，则 y1 ＞ y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【专题】一元二次方程及应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】由一元二次方程根的情况，求得 m 的值，确定反比例函数 y＝图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论．
【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣4x+m＝0 有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣4m＝0， 解得 m＝4，
∵m＞0，
∴反比例函数 y＝图象在一三象限，在每个象限 y 随 x 的增大而减少，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＞y2， 故答案为＞．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
15．（3 分）（2021•广州）如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠B＝38°，点 D 是边 AB 上一点，

点 B 关于直线 CD 的对称点为 B′，当 B′D∥AC 时，则∠BCD 的度数为 33° ．

【专题】平移、旋转与对称；推理能力．

【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B＝38°，再利用平行线的性质得∠ADB

′＝∠A＝38°，接着根据轴对称的性质得到∠CDB′＝∠CDB，则可出∠CDB 的度数， 然后利用三角形内角和计算出∠BCD 的度数．
【解答】解：∵AC＝BC，

∴∠A＝∠B＝38°，

∵B′D∥AC，

∴∠ADB′＝∠A＝38°，

∵点 B 关于直线 CD 的对称点为 B′，
∴∠CDB′＝∠CDB＝ （38°+180°）＝109°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣38°﹣109°＝33°． 故答案为 33°．
【点评】本题考查了轴对称的性质：轴对称的两个图形全等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质．
16．（3 分）（2021•广州）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是边 BC 上一点，且 BE＝3，以点 A 为圆心，3 为半径的圆分别交 AB、AD 于点 F、G，DF 与 AE 交于点 H．并与⊙A 交于点 K，连结 HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有 （1）（3）（4） （填写所有正确结论的序号）．
（1）H 是 FK 的中点
（2） △HGD≌△HEC

（3） S△AHG：S△DHC＝9：16

（4） DK＝



【专题】压轴题；图形的全等；圆的有关概念及性质；运算能力；应用意识．

【分析】（1）先证明△ABE≌△DAF，得∠AFD+∠BAE＝∠AEB+∠BAE＝90°，AH⊥

FK，由垂径定理，得：FH＝HK，即 H 是 FK 的中点；

（2） 只要证明题干任意一组对应边不相等即可；

（3） 分别过 H 分别作 HM⊥AD 于 M，HN⊥BC 于 N，由余弦三角函数和勾股定理算出了 HM，HT，再算面积，即得 S△AHG：S△DHC＝9：16；
（4） 余弦三角函数和勾股定理算出了 FK，即可得 DK．

【解答】解：（1）在△ABE 与△DAF 中，

，


∴△ABE≌△DAF（SAS），

∴∠AFD＝∠AEB，

∴∠AFD+∠BAE＝∠AEB+∠BAE＝90°，

∴AH⊥FK， 由垂径定理， 得：FH＝HK，
即 H 是 FK 的中点，故（1）正确；

（2） 如图，过 H 分别作 HM⊥AD 于 M，HN⊥BC 于 N，


∵AB＝4，BE＝3，

∴AE＝ ＝5，
∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，

∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM，
∴ ，
∴AH＝ ，HM＝ ，
∴HN＝4﹣ ＝ ， 即 HM≠HN，
∵MN∥CD，

∴MD＝CN，

∵HD＝ ，
HC＝ ，
∴HC≠HD，

∴△HGD≌△HEC 是错误的，故（2）不正确；

（3） 过 H 分别作 HT⊥CD 于 T，
由（2）知，AM＝ ＝ ，
∴DM＝ ，
∵MN∥CD，
∴MD＝HT＝ ，
∴ ＝ ＝ ，故（3）正确；
（4）由（2）知，HF＝ ＝ ，
∴ ，
∴DK＝DF﹣FK＝ ，故（4）正确．
【点评】本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直

角三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键． 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分）
17．（4 分）（2021•广州）解方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可．

【解答】解： ，

将①代入②得，x+（x﹣4）＝6，
∴x＝5，

将 x＝5 代入①得，y＝1，

∴方程组的解为 ．

【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
18．（4 分）（2021•广州）如图，点 E、F 在线段 BC 上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．






【专题】三角形；推理能力．

【分析】欲证 AE＝DF，可证△ABE≌DCF．由 AB∥CD，得∠B＝∠C．又因为∠A＝∠ D，BE＝CF，所以△ABE≌△DCF．
【解答】证明：∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C．

在△ABE 和△DCF 中，

∴△ABE≌△DCF（AAS）．

∴AE＝DF．

【点评】本题主要考查平行线的性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．
19．（6 分）（2021•广州）已知 A＝（﹣）•．
（1） 化简 A；
（2） 若 m+n﹣2＝0，求 A 的值．
【专题】分式；运算能力．

【分析】（1）根据分式的减法和除法可以化简 A；
（2）根据 m+n﹣2＝0，可以得到 m+n＝2，然后代入（1）中化简后的 A，即可求得 A 的值．
【解答】解：（1）A＝（﹣）•
＝

＝

＝ （m+n）
＝ m+ n；
（2）∵m+n﹣2 ＝0，
∴m+n＝2 ，
当 m+n＝2时，A＝ m+ n＝ （m+n）＝ ×2 ＝6．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键， 注意代入计算要仔细，属于常考题型．
20．（6 分）（2021•广州）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级 20 名学生，统计得到该 20 名学生参加志愿者活动的次数如下： 3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：

次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
（1）表格中的 a＝ 4 ，b＝ 5 ；

（2） 在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 4 ，中位数为 4 ；

（3） 若该校初三年级共有 300 名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加

志愿者活动的次数为 4 次的人数．

【专题】统计的应用；数据分析观念．

【分析】（1）由题中的数据即可求解；

（2） 根据中位数、众数的定义，即可解答；

（3） 根据样本估计总体，即可解答．

【解答】解：（1）由该 20 名学生参加志愿者活动的次数得：a＝4，b＝5，故答案为：4，5；
（2）该 20 名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：

1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，

∵4 出现的最多，有 6 次，
∴众数为 4，中位数为第 10，第 11 个数的平均数＝4， 故答案为：4，4；
（3）300×＝90（人）．
答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为 4 次的人数有 90 人．

【点评】此题考查了频数分布表，众数、中位数，样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数．
21．（8 分）（2021•广州）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共 100万人次．
（1） 若“广东技工”今年计划新增加培训 31 万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训

人次是“南粤家政”的 2 倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；

（2） “粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动 33.6 万人次创业就业，据报道，经过“粤

菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为 9.6 万元，预计李

某今年的年工资收入不低于 12.48 万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？

【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．

【分析】（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训 x 万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训 2x 万人次，根据今年计划新增加培训共 100 万人次，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）设李某的年工资收入增长率为 m，利用李某今年的年工资收入＝李某去年的年工资收入×（1+增长率），结合预计李某今年的年工资收入不低于 12.48 万元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训 x 万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训 2x 万人次，
依题意得：31+2x+x＝100， 解得：x＝23．
答：“南粤家政”今年计划新增加培训 23 万人次．
（2）设李某的年工资收入增长率为 m， 依题意得：9.6（1+m）≥12.48，
解得：m≥0.3＝30%．

答：李某的年工资收入增长率至少要达到 30%．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（10 分）（2021•广州）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，点 E 是 AC 的中点，且 AC＝AD．
（1） 尺规作图：作∠CAD 的平分线 AF，交 CD 于点 F，连结 EF、BF（保留作图痕迹， 不写作法）；
（2） 在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF 为等边三角形．












【专题】作图题；几何直观．

【分析】（1）根据要求作出图形即可．

（2）想办法证明 EB＝EF，∠BEF＝60°，可得结论．

【解答】（1）解：如图，图形如图所示．

（2）证明：∵AC＝AD，AF 平分∠CAD，

∴∠CAF＝∠DAF，AF⊥CD，

∵∠CAD＝2∠BAC，∠BAD＝45°，

∴∠BAE＝∠EAF＝∠FAD＝15°，

∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AE＝EC，

∴BE＝AE＝EC，EF＝AE＝EC，

∴EB＝EF，∠EAB＝∠EBA＝15°，∠EAF＝∠EFA＝15°，

∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝30°，∠CEF＝∠EAF+∠EFA＝30°，

∴∠BEF＝60°，

∴△BEF 是等边三角形．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是证明 EB＝EF，∠BEF＝60°．
23．（10 分）（2021•广州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝x+4 分别与 x 轴，
y 轴相交于 A、B 两点，点 P（x，y）为直线 l 在第二象限的点．

（1） 求 A、B 两点的坐标；

（2） 设△PAO 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；

（3） 作△PAO 的外接圆⊙C，延长 PC 交⊙C 于点 Q，当△POQ 的面积最小时，求⊙C 的半径．



【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】（1）根据直线 y＝x+4 分别与 x 轴，y 轴相交于 A、B 两点，令 x＝0，则 y＝4； 令 y＝0，则 x＝﹣8，即得 A，B 的坐标；
（2） 设 P（x，），根据三角形面积公式，表示出 S 关于 x 的函数解析式，根据 P
在线段 AB 上得出 x 的取值范围；

（3） 将 S△POQ 表示为 OP2，从而当△POQ 的面积最小时，此时 OP 最小，而 OP⊥AB 时，
OP 最小，借助三角函数求出此时的直径即可解决问题．
【解答】解：（1）∵直线 y＝x+4 分别与 x 轴，y 轴相交于 A、B 两点，
∴当 x＝0 时，y＝4； 当 y＝0 时，x＝﹣8，
∴A（﹣8，0），B（0，4）；

（2）∵点 P（x，y）为直线 l 在第二象限的点，
∴P（x，），
∴S△APO＝＝2x+16（﹣8＜x＜0）；
∴S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；

（3）∵A（﹣8，0），B（0，4），

∴OA＝8，OB＝4，

在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：

AB＝ ，
在⊙C 中，∵PQ 是直径，

∴∠POQ＝90°，

∵∠BAO＝∠Q，
∴tanQ＝tan∠BAO＝ ，
∴ ，
∴OQ＝2OP，
∴S△POQ＝ ，
∴当 S△POQ 最小时，则 OP 最小，
∵点 P 在线段 AB 上运动，

∴当 OP⊥AB 时，OP 最小，
∴S△AOB＝
，
∴
，

∵sinQ＝sin∠BAO，
∴ ，

∴ ，

∴PQ＝8，

∴⊙C 半径为 4．

【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征、圆的性质、以及三角函数的知识，将 S△POQ 表示为 OP2 是解决问题的关键．
24．（12 分）（2021•广州）已知抛物线 y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1） 当 m＝0 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；

（2） 该抛物线的顶点随着 m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3） 已知点 E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
【专题】综合题；函数思想；待定系数法；函数的综合应用；运算能力；应用意识．

【分析】（1）当 m＝0 时，抛物线为 y＝x2﹣x+3，将 x＝2 代入得 y＝5，故点（2，4）不在抛物线上；

（2）抛物线 y＝x2﹣（m+1）x+2m+3 的顶点为（ ， ），而

＝﹣ （m﹣3）2+5，即得 m＝3 时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为：（2，5）；

（3）求出直线 EF 的解析式为 y＝2x+1，由 得直线 y＝2x+1 与

抛物线 y＝x2﹣（m+1）x+2m+3 的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），因（2，5）在线段 EF 上，由已知可得（m+1，2m+3）不在线段 EF 上，即是 m+1＜﹣1 或 m+1＞3，或
（2，5）与（m+1，2m+3）重合，可得抛物线顶点横坐标 x 顶点＝ ＜﹣ 或 x 顶点＝
＞ 或 x 顶点＝1．
【解答】解：（1）当 m＝0 时，抛物线为 y＝x2﹣x+3，将 x＝2 代入得 y＝4﹣2+3＝5，
∴点（2，4）不在抛物线上；
（2）抛物线 y＝x2﹣（m+1）x+2m+3 的顶点为（，），化简得（，），
顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，
而 ＝﹣ （m﹣3）2+5，
∴m＝3 时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处， 此时顶点坐标为：（2，5）；
（3）设直线 EF 解析式为 y＝kx+b，将 E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：

，解得 ，

∴直线 EF 的解析式为 y＝2x+1，

由 得： 或 ，


∴直线 y＝2x+1 与抛物线 y＝x2﹣（m+1）x+2m+3 的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在线段 EF 上，
∴若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段 EF 上，或（2，5） 与（m+1，2m+3）重合，

∴m+1＜﹣1 或 m+1＞3 或 m+1＝2（此时 2m+3＝5），
∴此时抛物线顶点横坐标 x 顶点＝＜﹣ 或 x 顶点＝＞ 或 x 顶点＝＝ ＝1．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及图象上点坐标特征，顶点坐标，抛物线与线段交点等知识，解题的关键是用 m 的代数式表示抛物线与直线交点的坐标．
25．（12 分）（2021•广州）如图，在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，AB＝2，点 E 为边 AB

上一个动点，延长 BA 到点 F，使 AF＝AE，且 CF、DE 相交于点 G．


（1） 当点 E 运动到 AB 中点时，证明：四边形 DFEC 是平行四边形；

（2） 当 CG＝2 时，求 AE 的长；

（3） 当点 E 从点 A 开始向右运动到点 B 时，求点 G 运动路径的长度．

【专题】综合题；几何直观．

【分析】（1）利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形，

（2） 利用三角形相似，求出此时 FG 的长，再借助直角三角形勾股定理求解，

（3） 利用图形法，判断 G 点轨迹为一条线段，在对应点处求解．

【解答】解：（1）证明：连接 DF，CE，如图所示：

，
∵E 为 AB 中点，
∴AE＝AF＝ AB，
∴EF＝AB＝CD，

∵四边形 ABCD 是菱形，

∴EF∥AB∥CD，

∴四边形 DFEC 是平行四边形．

（2）作 CH⊥BH，设 AE＝FA＝m，如图所示，








，

∵四边形 ABCD 是菱形，

∴CD∥EF，

∴△CDG∽△FEG，
∴ ，
∴FG＝2m，

在 Rt△CBH 中，∠CBH＝60°，BC＝2，
sin60°＝ ，CH＝ ，
cos60°＝ ，BH＝1，
在 Rt△CFH 中，CF＝2+2m，CH＝，FH＝3+m，
CF²＝CH²+FH²，
即（2+2m）²＝（ ）²+（3+m）²， 整理得：3m²+2m﹣8＝0，
解得：m1＝，m2＝﹣2（舍去），
∴ ．
（3）G 点轨迹为线段 AG， 证明：如图，













迹用），

（此图仅作为证明 AG 轨


延长线段 AG 交 CD 于 H，作 HM⊥AB 于 M，作 DN⊥AB 于 N，

∵四边形 ABCD 是菱形，

∴BF∥CD，

∴△DHG∽△EGA，△HGC∽△AGF，
∴ ， ，
∴ ，
∵AE＝AF，

∴DH＝CH＝1，

在 Rt△ADN 中，AD＝2，∠DAB＝60°．
∴sin60°＝ ，DN＝ ．cos60°＝ ，AN＝1，
在 Rt△AHM 中，HM＝DN＝，AM＝AN+NM＝AN+DH＝2，
tan∠HAM＝ ，
G 点轨迹为线段 AG．

∴G 点轨迹是线段 AG． 如图所示，作 GH⊥AB，

∵四边形 ABCD 为菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，

∴CD∥BF，BD＝2，

∴△CDG∽△FBG，
∴ ，即 BG＝2DG，
∵BG+DG＝BD＝2，
∴BG＝ ，
在 Rt△GHB 中，BG＝，∠DBA＝60°， sin60°＝ ，GH＝ ， cos60°＝ ，BH＝ ，
在 Rt△AHG 中，AH＝2﹣＝ ，GH＝ ，
AG²＝（ ）²+（ ）²＝ ，
∴AG＝ ．
∴G 点路径长度为．
解法二：如图，连接 AG，延长 AG 交 CD 于点 W．

∵CD∥BF，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
∵AF＝AE，

∴DW＝CW，

∴点 G 在 AW 上运动． 下面的解法同上．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，解题关键是借助锐角三角比和勾股定理求解．

2022 年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）

A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱2．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3 分）代数式有意义时，x 应满足的条件为（ ）
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1 4．（3 分）点（3，﹣5）在正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象上，则 k 的值为（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣ D．﹣
5．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A． ＝2 B． ﹣ ＝a（a≠0）
C． + ＝ D．a2•a3＝a5
6．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为 x＝﹣2，下列结论正确的是（ ）



A．a＜0 B．c＞0
C．当 x＜﹣2 时，y 随 x 的增大而减小

D．当 x＞﹣2 时，y 随 x 的增大而减小

7．（3 分）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则（ ）


A．a＝b B．a＞b C．|a|＜|b| D．|a|＞|b|

8．（3 分）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4 名志愿者中随机抽取 2 名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3 分）如图，正方形 ABCD 的面积为 3，点 E 在边 CD 上，且 CE＝1，∠ABE 的平分线交 AD 于点 F，点 M，N 分别是 BE，BF 的中点，则 MN 的长为（ ）








A．
B．
C．2﹣ D．

10．（3 分）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第 1 个图形需要 6 根小木棒，拼第 2

个图形需要 14 根小木棒，拼第 3 个图形需要 22 根小木棒……若按照这样的方法拼成的第 n 个图形需要 2022 根小木棒，则 n 的值为（ ）





A．252 B．253 C．336 D．337

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）

11．（3 分）在甲、乙两位射击运动员的 10 次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为 S 甲2＝1.45，S 乙2＝0.85，则考核成绩更为稳定的运动员是 ．（填“甲”、 “乙”中的一个）．
12．（3 分）分解因式：3a2﹣21ab＝ ．
13．（3 分）如图，在▱ABCD 中，AD＝10，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC+BD＝22，则△BOC 的周长为 ．






14．（3 分）分式方程 ＝ 的解是 ．

15．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 O 在边 AC 上，以 O 为圆心，4 为半径的圆恰好过点 C，且与边 AB 相切于点 D，交 BC 于点 E，则劣弧的长是 ．（结果保留π）









16．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC＝2AB，点 P 为边 AD 上的一个动点，线段 BP 绕点

B 顺时针旋转 60°得到线段 BP′，连接 PP′，CP′．当点 P′落在边 BC 上时，∠PP

′C 的度数为 ；当线段 CP′的长度最小时，∠PP′C 的度数为 ．


三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）解不等式：3x﹣2＜4．

18．（4 分）如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△

ACE．

19．（6 分）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表

运动时间 t/min
频数
频率
30≤t＜60
4
0.1
60≤t＜90
7
0.175
90≤t＜120
a
0.35
120≤t＜150
9
0.225
150≤t＜180
6
b
合计
n
1
请根据图表中的信息解答下列问题：

（1） 频数分布表中的 a＝ ，b＝ ，n＝ ；

（2） 请补全频数分布直方图；

（3） 若该校九年级共有 480 名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于 120min 的学生人数．


20．（6 分）某燃气公司计划在地下修建一个容积为 V（V 为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积 S（单位：m2）与其深度 d（单位：m）是反比例函数关系， 它的图象如图所示．
（1） 求储存室的容积 V 的值；

（2） 受地形条件限制，储存室的深度 d 需要满足 16≤d≤25，求储存室的底面积 S 的取值范围．










21．（8 分）已知 T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1） 化简 T；

（2） 若关于 x 的方程 x2+2ax﹣ab+1＝0 有两个相等的实数根，求 T 的值．
22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且 AC＝8，BC＝6．

（1） 尺规作图：过点 O 作 AC 的垂线，交劣弧于点 D，连接 CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图形中，求点 O 到 AC 的距离及 sin∠ACD 的值．



23．（10 分）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆 AB 的影子为 BC，与此同时在 C 处立一根标杆 CD，标杆 CD 的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1） 求 BC 的长；

（2） 从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆 AB 的高度． 条件①：CE＝1.0m；条件②：从 D 处看旗杆顶部 A 的仰角α为 54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．


24．（12 分）已知直线 l：y＝kx+b 经过点（0，7）和点（1，6）．

（1） 求直线 l 的解析式；

（2） 若点 P（m，n）在直线 l 上，以 P 为顶点的抛物线 G 过点（0，﹣3），且开口向下．

①求 m 的取值范围；
②设抛物线 G 与直线 l 的另一个交点为 Q，当点 Q 向左平移 1 个单位长度后得到的点 Q
′也在 G 上时，求 G 在≤x≤ +1 的图象的最高点的坐标．
25．（12 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接 BD．

（1） 求 BD 的长；
（2） 点 E 为线段 BD 上一动点（不与点 B，D 重合），点 F 在边 AD 上，且 BE＝DF．
①当 CE⊥AB 时，求四边形 ABEF 的面积；

②当四边形 ABEF 的面积取得最小值时，CE+CF 的值是否也最小？如果是，求
CE+ CF 的最小值；如果不是，请说明理由．


2022 年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）

A. 圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱

【分析】根据基本几何体的展开图判断即可．

【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，

∴判断这个几何体是圆锥， 故选：A．
【点评】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．

2．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）

A． B．
C． D．

【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．

【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180

度后与自身重合．
3．（3 分）代数式有意义时，x 应满足的条件为（ ）
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1

【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：代数式 有意义时，x+1＞0， 解得：x＞﹣1．
故选：B．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
4．（3 分）点（3，﹣5）在正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象上，则 k 的值为（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣ D．﹣
【分析】直接把已知点代入，进而求出 k 的值．

【解答】解：∵点（3，﹣5）在正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象上，

∴﹣5＝3k，
解得：k＝﹣ ， 故选：D．
【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，正确得出 k 的值是解题关键．

5．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A． ＝2 B． ﹣ ＝a（a≠0）
C． + ＝ D．a2•a3＝a5
【分析】直接利用立方根的性质以及分式的加减运算法则、二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A． ＝﹣2，故此选项不合题意；
B． ﹣ ＝1，故此选项不合题意；
C． + ＝2 ，故此选项不合题意；
D．a2•a3＝a5，故此选项符合题意； 故选：D．

【点评】此题主要考查了立方根的性质以及分式的加减运算、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为 x＝﹣2，下列结论正确的是（ ）

A．a＜0 B．c＞0
C．当 x＜﹣2 时，y 随 x 的增大而减小

D．当 x＞﹣2 时，y 随 x 的增大而减小

【分析】根据图象得出 a，c 的符号即可判断 A、B，利用二次函数的性质即可判断 C、D．

【解答】解：∵图象开口向上，

∴a＞0，故 A 不正确；

∵图象与 y 轴交于负半轴，

∴c＜0，故 B 不正确；

∵抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝﹣2，

∴当 x＜﹣2 时，y 随 x 的增大而减小，x＞﹣2 时，y 随 x 的增大而增大， 故 C 正确，D 不正确；
故选：C．

【点评】此题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．

7．（3 分）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则（ ）


A．a＝b B．a＞b C．|a|＜|b| D．|a|＞|b|

【分析】根据 a，b 两数的正负以及绝对值大小即可进行判断．

【解答】解：A．∵a＜0，b＞0，∴a≠b，故不符合题意；

B．∵a＜0，b＞0，∴a＜b，故不符合题意； C．由数轴可知|a|＜|b|，故符合题意；
D．由 C 可知不符合题意． 故选：C．
【点评】本题主要考查数轴上点的特征以及有理数的大小比较及运算法则，解题的关键在于正确判断 a，b 的正负，以及绝对值的大小．
8．（3 分）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4 名志愿者中随机抽取 2 名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有 12 种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有 6 种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有 12 种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有 6 种，
∴甲被抽中的概率为 ＝ ， 故选：A．
【点评】本题考查的用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（3 分）如图，正方形 ABCD 的面积为 3，点 E 在边 CD 上，且 CE＝1，∠ABE 的平分线交 AD 于点 F，点 M，N 分别是 BE，BF 的中点，则 MN 的长为（ ）










A．
B．
C．2﹣ D．

【分析】连接 EF，由正方形 ABCD 的面积为 3，CE＝1，可得 DE＝﹣1，tan∠EBC
＝ ＝ ＝ ，即得∠EBC＝30°，又 AF 平分∠ABE，可得∠ABF＝∠ABE＝30
°，故 AF＝ ＝1，DF＝AD﹣AF＝ ﹣1，可知 EF＝DE＝ ×（ ﹣1）＝

- ，而 M，N 分别是 BE，BF 的中点，即得 MN＝EF＝ ．
【解答】解：连接 EF，如图：
∵正方形 ABCD 的面积为 3，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝ ，
∵CE＝1，
∴DE＝ ﹣1，tan∠EBC＝ ＝ ＝ ，
∴∠EBC＝30°，

∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，

∵AF 平分∠ABE，
∴∠ABF＝ ∠ABE＝30°， 在 Rt△ABF 中，AF＝＝1，
∴DF＝AD﹣AF＝ ﹣1，
∴DE＝DF，△DEF 是等腰直角三角形，
∴EF＝ DE＝ ×（ ﹣1）＝ ﹣ ，

∵M，N 分别是 BE，BF 的中点，

∴MN 是△BEF 的中位线，
∴MN＝ EF＝ ． 故选：D．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及含 30°角的直角三角形三边关系，等腰直角三角形三边关系，解题的关键是根据已知求得∠EBC＝30°．
10．（3 分）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第 1 个图形需要 6 根小木棒，拼第 2

个图形需要 14 根小木棒，拼第 3 个图形需要 22 根小木棒……若按照这样的方法拼成的第 n 个图形需要 2022 根小木棒，则 n 的值为（ ）





A．252 B．253 C．336 D．337

【分析】根据图形特征，第 1 个图形需要 6 根小木棒，第 2 个图形需要 6×2+2＝14 根小木棒，第 3 个图形需要 6×3+2×2＝22 根小木棒，按此规律，得出第 n 个图形需要的小木棒根数即可．
【解答】解：由题意知，第 1 个图形需要 6 根小木棒， 第 2 个图形需要 6×2+2＝14 根小木棒，
第 3 个图形需要 6×3+2×2＝22 根小木棒，

按此规律，第 n 个图形需要 6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）个小木棒，当 8n﹣2＝2022 时，
解得 n＝253， 故选：B．
【点评】本题主要考查了图形的变化规律，解决问题的关键是由特殊找到规律：第 n 个图形需要（8n﹣2）个小木棒是解题的关键．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）
11．（3 分）在甲、乙两位射击运动员的 10 次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为 S 甲2＝1.45，S 乙2＝0.85，则考核成绩更为稳定的运动员是 乙 ．（填“甲”、 “乙”中的一个）．

【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的即可．

【解答】解：∵两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为 S 甲2＝1.45，S 乙2＝0.85，
∴S 甲2＞S 乙2，
∴考核成绩更为稳定的运动员是乙； 故答案为：乙．
【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题的关键．

12．（3 分）分解因式：3a2﹣21ab＝ 3a（a﹣7b） ．
【分析】直接提取公因式 3a，进而分解因式得出答案．

【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．故答案为：3a（a﹣7b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

13．（3 分）如图，在▱ABCD 中，AD＝10，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC+BD＝22，则△BOC 的周长为 21 ．





【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出 OC+OB 的长，即可解决问题．

【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO＝OC＝ AC，BO＝OD＝ BD，AD＝BC＝10，
∵AC+BD＝22，

∴OC+BO＝11，

∴△BOC 的周长＝OC+OB+BC＝11+10＝21． 故答案为：21．
【点评】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分，属于中考基础题．
14．（3 分）分式方程＝的解是 x＝3 ．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．

【解答】解： ＝ ，

3（x+1）＝4x， 解得：x＝3，
检验：当 x＝3 时，2x（x+1）≠0，

∴x＝3 是原方程的根， 故答案为：x＝3．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．

15．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 O 在边 AC 上，以 O 为圆心，4 为半径的圆恰好过点 C，且与边 AB 相切于点 D，交 BC 于点 E，则劣弧的长是 2π ．（结果保留 π）









【分析】连接 OD，OE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A＝∠COE， 再根据切线的性质和平角的定义可得∠DOE＝90°，然后利用弧长公式进行计算即可解答．
【解答】解：连接 OD，OE，

∵OC＝OE，

∴∠OCE＝∠OEC，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠COE+∠OCE+∠OEC，

∴∠A＝∠COE，

∵圆 O 与边 AB 相切于点 D，

∴∠ADO＝90°，

∴∠A+∠AOD＝90°，

∴∠COE+∠AOD＝90°，

∴∠DOE＝180°﹣（∠COE+∠AOD）＝90°，

∴劣弧 的长是 ＝2π． 故答案为：2π．








【点评】本题考查了切线的性质，弧长的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC＝2AB，点 P 为边 AD 上的一个动点，线段 BP 绕点

B 顺时针旋转 60°得到线段 BP′，连接 PP′，CP′．当点 P′落在边 BC 上时，∠PP

′C 的度数为 120° ；当线段 CP′的长度最小时，∠PP′C 的度数为 75° ．
【分析】如图，以 AB 为边向右作等边△ABE，连接 EP′．利用全等三角形的性质证明

∠BEP′＝90°，推出点 P′在射线 EP′上运动，如图 1 中，设 EP′交 BC 于点 O，再证明△BEO 是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】解：如图，以 AB 为边向右作等边△ABE，连接 EP′．
∵△BPP′是等边三角形，

∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，

∴∠ABP＝∠EBP′， 在△ABP 和△EBP′中，


，

∴△ABP≌△EBP′（SAS），

∴∠BAP＝BEP′＝90°，

∴点 P′在射线 EP′上运动，

如图 1 中，设 EP′交 BC 于点 O，
当点 P′落在 BC 上时，点 P′与 O 重合，此时∠PP′C＝180°﹣60°＝120°， 当 CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，
∴EO＝﹣ OB，OP′＝ OC，
∴EP′＝EO+OP′＝ OB+ OC＝ BC，
∵BC＝2AB，

∴EP′＝AB＝EB，

∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，

∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，

∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．故答案为：120°，75°．
【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）解不等式：3x﹣2＜4．

【分析】移项，合并同类项，系数化为 1 即可求解．

【解答】解：移项得：3x＜4+2，

合并同类项得：3x＜6， 系数化为 1 得：x＜2．
【点评】本题考查一元一次不等式的解法，解题关键是熟知不等式的性质以及解一元一次不等式的基本步骤．
18．（4 分）如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△

ACE．

【分析】根据等角对等边可得 AB＝AC，然后利用 SAS 证明△ABD≌△ACE，即可解答．

【解答】证明：∵∠B＝∠C，

∴AB＝AC，

在△ABD 和△ACE 中，

，


∴△ABD≌△ACE（SAS）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（6 分）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表

运动时间 t/min
频数
频率
30≤t＜60
4
0.1
60≤t＜90
7
0.175
90≤t＜120
a
0.35
120≤t＜150
9
0.225
150≤t＜180
6
b

合计
n
1
请根据图表中的信息解答下列问题：

（1）频数分布表中的 a＝ 14 ，b＝ 0.15 ，n＝ 40 ；

（2） 请补全频数分布直方图；

（3） 若该校九年级共有 480 名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于 120min 的学生人数．













【分析】（1）根据“频率＝频数÷总数”可得 n 的值，进而得出 a、b 的值；

（2） 根据 a 的值即可补全条形统计图；

（3） 利用样本估计总体解答即可．

【解答】解：（1）由题意可知，n＝4÷0.1＝40，

∴a＝40×0.35＝14，b＝6÷40＝0.15， 故答案为：14；0.15；40；
（2）补全频数分布直方图如下：


（3）480× ＝300（人），

答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于 120min 的学生人数为 300 人．

【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，从统计图表中获取数量和数量关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
20．（6 分）某燃气公司计划在地下修建一个容积为 V（V 为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积 S（单位：m2）与其深度 d（单位：m）是反比例函数关系， 它的图象如图所示．
（1） 求储存室的容积 V 的值；

（2） 受地形条件限制，储存室的深度 d 需要满足 16≤d≤25，求储存室的底面积 S 的取值范围．









【分析】（1）设底面积 S 与深度 d 的反比例函数解析式为 S＝，把点（20，500）代入解析式求出 V 的值；
（2）由 d 的范围和图像的性质求出 S 的范围．
【解答】解：（1）设底面积 S 与深度 d 的反比例函数解析式为 S＝，把点（20，500）代入解析式得 500＝，
∴V＝10000．
2）由（1）得 S＝，
∵S 随 d 的增大而减小，

∴当 16≤d≤25 时，400≤S≤625，

【点评】此题主要考查反比例函数的性质和概念，解答此题的关键是找出变量之间的函数关系，难易程度适中．
21．（8 分）已知 T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1） 化简 T；

（2） 若关于 x 的方程 x2+2ax﹣ab+1＝0 有两个相等的实数根，求 T 的值．
【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式化简 T；

（2）根据根的判别式可求 a2+ab，再代入计算可求 T 的值．
【解答】解：（1）T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2
＝a2+6ab+9b2+4a2﹣9b2+a2
＝6a2+6ab；
（2）∵关于 x 的方程 x2+2ax﹣ab+1＝0 有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2a）2﹣4（﹣ab+1）＝0，
∴a2+ab＝1，
∴T＝6×1＝6．

【点评】本题考查了整式的混合运算，根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0） 的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：
①当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0 时，方程无实数根．
22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且 AC＝8，BC＝6．

（1） 尺规作图：过点 O 作 AC 的垂线，交劣弧于点 D，连接 CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图形中，求点 O 到 AC 的距离及 sin∠ACD 的值．

【分析】（1）利用尺规作图，作线段 AC 的垂直平分线即可；

（2）根据垂径定理、勾股定理可求出直径 AB＝10，AE＝EC＝3，由三角形中位线定理可求出 OE，即点 O 到 AC 的距离，在直角三角形 CDE 中，求出 DE，由勾股定理求出CD，再根据锐角三角函数的定义可求出答案．
【解答】解：（1）分别以 A、C 为圆心，大于 AC 为半径画弧，在 AC 的两侧分别相交

于 P、Q 两点，画直线 PQ 交劣弧于点 D，交 AC 于点 E，即作线段 AC 的垂直平分线即可；
（2）∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ACB＝90°，

在 Rt△ABC 中，且 AC＝8，BC＝6．

∴AB＝ ＝10，
∵OD⊥AC，

∴AE＝CE， 又∵OA＝OB，
∴OE 是△ABC 的中位线，
∴OE＝ BC＝4，
即点 O 到 AC 的距离为 4，
∵DE＝OD﹣CE＝5﹣4＝1，CE＝ AC＝3，
∴CD＝ ＝ ＝ ，
∴sin∠ACD＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查尺规作图，直角三角形的边角关系以及三角形中位线定理，掌握直角三角形的边角关系以及三角形的中位线定理是解决问题的前提．
23．（10 分）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆 AB 的影子为 BC，与此同时在 C 处立一根标杆 CD，标杆 CD 的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1） 求 BC 的长；

（2） 从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆 AB 的高度． 条件①：CE＝1.0m；条件②：从 D 处看旗杆顶部 A 的仰角α为 54.46°．

注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．


【分析】（1）根据已知 BC＝5CD，进行计算即可解答；

（2）若选择条件①，根据同一时刻的物高与影长是成比例的，进行计算即可解答； 若选择条件②，过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F，根据题意可得 DC＝BF＝1.6m，DF＝BC
＝8m，然后在 Rt△ADF 中，利用锐角三角函数的定义求出 AF 的长，进行计算即可解答．

【解答】解：（1）∵BC＝5CD，CD＝1.6m，

∴BC＝5×1.6＝8（m），

∴BC 的长为 8m；

（2）若选择条件①： 由题意得：
＝ ，
∴ ＝ ，
∴AB＝12.8，

∴旗杆 AB 的高度为 12.8m； 若选择条件②：

过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F，

则 DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m， 在 Rt△ADF 中，∠ADF＝54.46°，
∴AF＝DF•tan54.46°≈8×1.4＝11.2（m），

∴AB＝AF+BF＝11.2+1.6＝12.8（m），

∴旗杆 AB 的高度约为 12.8m．


【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．（12 分）已知直线 l：y＝kx+b 经过点（0，7）和点（1，6）．

（1） 求直线 l 的解析式；

（2） 若点 P（m，n）在直线 l 上，以 P 为顶点的抛物线 G 过点（0，﹣3），且开口向下．

①求 m 的取值范围；
②设抛物线 G 与直线 l 的另一个交点为 Q，当点 Q 向左平移 1 个单位长度后得到的点 Q
′也在 G 上时，求 G 在≤x≤ +1 的图象的最高点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；

（2）①设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣m）2+7﹣m，将点（0，﹣3）代入可得am2+7﹣ m＝﹣3，再由 a＝ ＜0，求 m 的取值即可；
②由题意求出 Q 点的横坐标为 m+，联立方程组 ，整理得 ax2+（1
﹣2ma）x+am2﹣m＝0，根据根与系数的关系可得 m+m+＝2m﹣ ，可求 a＝﹣2， 从而可求 m＝2 或 m＝﹣ ，确定抛物线的解析式后即可求解．
∴
，
解得
，
【解答】解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入 y＝kx+b，
∴y＝﹣x+7；

（2）①∵点 P（m，n）在直线 l 上，

∴n＝﹣m+7，

设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣m）2+7﹣m，
∵抛物线经过点（0，﹣3），

∴am2+7﹣m＝﹣3，
∴a＝ ，

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∴a＝ ＜0，

∴m＜10 且 m≠0；

②∵抛物线的对称轴为直线 x＝m，
∴Q 点与 Q'关于 x＝m 对称，
∴Q 点的横坐标为 m+，
联立方程组 ，


整 理 得 ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，
∵P 点和 Q 点是直线 l 与抛物线 G 的交点，
∴m+m+ ＝2m﹣ ，
∴a＝﹣2，

∴y＝﹣2（x+m）2+7﹣m，
∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，解得 m＝2 或 m＝﹣，
当 m＝2 时 ，y＝﹣2（x﹣2）2+5， 此时抛物线的对称轴为直线 x＝2，
图象在≤x≤上的最高点坐标为（2，5）；
当 m＝﹣时，y＝﹣2（x+ ）2+，此时抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ，
图象在﹣2≤x≤﹣1 上的最高点坐标为（﹣2，9）；

综上所述：G 在 ≤x≤ +1 的图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，分类讨论是解题的关键．
25．（12 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接 BD．

（1） 求 BD 的长；
（2） 点 E 为线段 BD 上一动点（不与点 B，D 重合），点 F 在边 AD 上，且 BE＝DF．
①当 CE⊥AB 时，求四边形 ABEF 的面积；
②当四边形 ABEF 的面积取得最小值时，CE+CF 的值是否也最小？如果是，求
CE+ CF 的最小值；如果不是，请说明理由．

【分析】（1）过点 D 作 DH⊥AB 交 BA 的延长线于 H，根据菱形 120°内角得邻补角是60°，利用三角函数即可解答；
（2）①设 CE⊥AB 交 AB 于 M 点，过点 F 作 FN⊥AB 交 BA 的延长线于 N，因为利用即可求解 S 四边形ABEF＝S△BEM+S 梯形EMNF﹣S△AFN，所以先解直角三角形求出上面求各部分面积需要的边长即可解答；
②设 DF＝x，则 BE＝DF＝ x，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，过点 F 作 FG⊥CH 于点 G，过点 E 作 EY⊥CH 于点 Y，作 EM⊥AB 于 M 点，过点 F 作 FN⊥AB 交 BA 的延长线于 N，所以四边形 EMHY、FNHG 是矩形，对边相等，方法同①，用含 x 的式子表示计算面积需要的各边长并代入到 S 四边形ABEF＝S△BEM+S 梯形EMNF﹣S△AFN 中，根号里面化简、合并、配成二次函数的顶点式即可求出最值，从而解答．
【解答】解：（1）过点 D 作 DH⊥AB 交 BA 的延长线于 H，如图：


∵四边形 ABCD 是菱形，

∴AD＝AB＝6，

∴∠BAD＝120°，

∴∠DAH＝60°， 在 Rt△ADH 中，
DH＝AD•sin∠DAH＝6× ＝3 ，
AH＝AD•cos∠DAH＝6× ＝3，
∴BD＝ ＝ ＝6 ；
（2）①设 CE⊥AB 交 AB 于 M 点，过点 F 作 FN⊥AB 交 BA 的延长线于 N，如图：

菱形 ABCD 中，

∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，

∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，
在 Rt△BCM 中，BM＝BC•cos∠ABC＝6×＝3，
∵BD 是菱形 ABCD 的对角线，
∴∠DBA＝ ABC＝30°， 在 Rt△BEM 中，
ME＝BM•tan∠DBM＝3× ＝ ，
BE＝ ＝ ＝2 ，
∵BE＝ DF，
∴DF＝2，

∴AF＝AD﹣DF＝4，

在 Rt△AFN 中，

∠FAN＝180°﹣∠BAD＝60°，
∴FN＝AF•sin∠FAN＝4× ＝2 ，
AN＝AF•cos∠FAN＝4× ＝2，
∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5，

∴S 四边形 ABEF＝S△BEM+S 梯形 EMNF﹣S△AFN
＝ EM•BM+ （EM+FN）•MN﹣ AN•FN
＝ 3+ （ +2 ）×5﹣ 2×2
＝ + ﹣2
＝7 ；
②当四边形 ABEF 的面积取最小值时，CE+CF 的值是最小，
理由：设 DF＝x，则 BE＝DF＝ x，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，过点 F 作 FG⊥CH
于点 G，

过点 E 作 EY⊥CH 于点 Y，作 EM⊥AB 于 M 点，过点 F 作 FN⊥AB 交 BA 的延长线于 N， 如图：

∴EY∥FG∥AB，FN∥CH，

∴四边形 EMHY、FNHG 是矩形，

∴FN＝GH，FG＝NH，EY＝MH，EM＝YH，
由 ① 可 知 ：ME＝ BE＝ x， BM＝ BE＝ x， AN＝ AF＝ （AD﹣DF）＝3﹣ x，
FN＝ AF＝ ，

CH＝ BC＝3 ，BH＝ BC＝3，
∴AM＝AB﹣BM＝6﹣ x，
x，
AH＝AB﹣BH＝3， YH＝ME＝
GH＝FN＝ ，

EY＝MH＝BM﹣BH＝ x﹣3，
∴CY＝CH﹣YH＝3 ﹣ x，
FG＝NH＝AN+AH＝6﹣ ，CG＝CH﹣GH＝3 ﹣ ＝ x，
∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+3﹣ x﹣ x＝9﹣2x，
∴S 四边形 ABEF＝S△BEM+S 梯形 EMNF﹣S△AFN

＝ EM•BM+ （EM+FN）•MN﹣ AN•FN

x× x+ （
x2﹣
x+9
（x﹣3）2+

＞0，
＝ x+ ）•（9﹣2x）﹣ （3﹣ x）•

＝

＝ ，

∵

∴当 x＝3 时，四边形 ABEF 的面积取得最小值，

+
+
×
CE+ CF＝ + •
＝

＝

＝ + ×
＝ + ，
∵（x﹣3）2≥0，当且仅当 x＝3 时，（x﹣3）2＝0，

∴CE+ CF＝ + ≥12，

当且仅当 x＝3 时，CE+CF＝12，即当 x＝3 时，CE+CF 的最小值为 12，
∴当四边形 ABEF 的面积取最小值时，CE+CF 的值也最小，最小值为 12．
【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形性质、解直角三角形、割补法求不规则图形面积、二次函数的顶点式及最值等知识点，也考查了从特殊到一般的数学思想和转化思想，难度较大，计算繁琐，解题关键是熟练掌握二次函数性质，是中考常考题型．