高考数学解题破题36计（230页干货）

高考数学解题破题36计
第1计 芝麻开门 点到成功
●计名释义
七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.
数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.

●典例示范
［例题］将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出
，其中 .
令，则 .







［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意.
莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点的主意.

［解Ⅰ］ 将等式与右边的顶点三角形对应（图右），自然有
对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1
对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案.
［插语］ 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1.
第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项.

［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了数列首项，并将和数列 中的各项依次“以点连线”（图右实线），实线所串各数之和就是an . 这个an，就等于首项左上角的那个. 因为在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0.
因此得到 这就是本题第2空的答案.

［点评］ 解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数，采用的方法是以点串线——三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数就是问题的答案.
事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从这个数开始，向左下连线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是这个数的左上角的那个数. 用等式表示就是

［链接］ 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题. 有关解答附录如下.
［法1］ 由知，可用合项的办法，将的和式逐步合项.





［法2］ 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即
根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为，故，从而

［法3］ （2）将代入条件式，并变形得
取令得
，
… … …

以上诸式两边分别相加，得
［说明］ 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义.

●对应训练
1．如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.
2．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为 .







●参考解答
1．找“点”——椭圆的另一个焦点F2.
连接P1F2 、P2F2 、…、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10
如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = … =FP7 + P7F2 = 7×10 = 70
由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35.
2．找“点”——动点P、Q的极限点.
如图所示，令A1P = CQ = 0. 即动点P与A1重合，动点Q与C重合.
则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1 .
显然V棱柱.
∴∶=
于是奇兵天降——答案为.
［点评］ “点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.

第2计 西瓜开门 滚到成功

●计名释义
比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.
数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.

●典例示范
［题1］
对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f ¢（x）³0，则必有
A. f（0）＋f（2）< 2f（1） B. f（0）＋f（2）≤2 f（1）
C. f（0）＋f（2）≥ 2f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1）

［分析］　用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想.　这点在已条件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得极为显目.
其一，对f＇(x)有大于、等于和小于0三种情况；
其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况.
因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.

［解一］ （i）若f＇(x) ≡ 0时，则f(x)为常数：此时选项B、C符合条件.
（ii）若f＇(x)不恒为0时. 则f＇(x)≥0时有x≥1，f（x）在上为增函数；f＇(x)≤0时x ≤1. 即f（x）在上为减函数. 此时，选项C、D符合条件.
综合（i），（ii），本题的正确答案为C.

［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f＇(x) ≡ 0的可能. 以为（x-1）f＇(x) ≥0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f＇(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f＇(x) ≡ 0.

［再析］ 本题f（x）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f（0），f（1），f（2）.　因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.

［解二］ （i）若f＇(x)=0，可设f（x）=１.　选项Ｂ、Ｃ符合条件.
（ii）f＇(x)≠0. 可设f(x) =（x-1）2 又　f＇(x)=2（x-1）.
满足　(x-1) f＇(x) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x)= (x-1)2. 有f（0）= f（2）=1，f（1）=0
选项C，D符合条件. 综合（i），（ii）答案为C.

［插语］ 在这类f (x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 ，(x-1) ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.

［再析］ 本题以函数（及导数）为载体. 数学思想①——“函数方程（不等式）思想”. 贯穿始终，如由f ¢（x）= 0找最值点x =0，由f ¢（x）>0（ f (1)对应选项C，D（右图下拱曲线）. 则满足条件(x-1) f ¢（x）≥0.

［探索］ 本题涉及的抽象函数f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1) f ¢（x）≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函
数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.

［变题］ 以下函数f (x)，具有性质(x-1) f ¢（x）≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是
A. f（x）= (x-1)3 B. f（x）= (x-1) C. f（x）= (x-1) D. f（x）= (x-1)

［解析］ 对A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B，f (0)无意义；
对C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；
答案只能是D. 对D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.
且f ¢（x）=(x-1) 使得 (x-1) f＇(x) =(x-1)(x-1) ≥0.
［说明］ 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f¢（x）=(x-1) ，其中m，n都是正整数，且n≥m.

［点评］ 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.

［题2］ 已知实数x，y满足等式 ，试求分式的最值。
［分析］ “最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到.
［解一］ （函数方程思想运用）
令 y = k (x-5) 与方程联立
消y，得：
根据x的范围应用根的分布得不等式组：

解得 即 ≤≤ 即所求的最小值为，最大值为.

［插语］ 解出≤≤，谈何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试.

［解二］ （数形结合思想运用）
由得椭圆方程 ，
0

看成是过椭圆上的点（x，y），(5，0)的直
线斜率（图右）.
联立 得
令得，故 的最小值为，最大值为.
［插语］ 这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了. 因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要善于“滚开”.

［点评］ “西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势.
解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动”，在知识链接上要“滚动”，在基本技能技巧上也要“滚动”. 总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.
●对应训练
1.若动点P的坐标为(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差数列，则动点P的轨迹应为图中的 ( )




2.函数y=1- (-1≤xx.选项B中无x0的图像，均应否定；当x=y∈R+时，lg无意义，否定A,选C．
【点评】 上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是：当x≠0且y>x时，由lgy+lg=2lg|x|，化简可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x或y=2x(x≠0,y>0).
2.【思考】 分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.
原函数定义域为-1≤xac,故选B.
【点评】 在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发:
4b0},先求椭圆和线段AB有公共点时的取值范围.
易得线段AB的方程为y=x+1,x∈［1,3］,
由方程组,x∈［1,3］,
a2的值在［1,3］内递增,且x=1和x=3时分别得a2=或a2=,故≤a2≤.
∵a>0,∴≤a≤.
故当椭圆与线段AB无公共点时,a的取值范围为00是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）.
（Ⅰ）试证：抛物线顶点在圆H的圆周上；
（Ⅱ）并求圆H的面积最小时直线AB的方程.
【分析】 （Ⅰ）AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：（1）证|OH|=|AB|.
(2)证|OA|2+|OB|2=|AB|2
（3）证∠AOB=90°,即OA⊥OB，等.
显然，利用向量知识证=0,当为明智之举.
【解答】 （Ⅰ）当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,∴|AB|=|y1-y2|=4p.显然，满足|OQ|=|AB|,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上.
如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tanα(x-2p),
x=,代入：y=tanα·-2ptanα.即tanα·y2-2py-4p2tanα=0.
此方程有不同二实根y1y2,
∴y1+y2=,y1y2=-4p2.
∵ =x1x2+y1y2=+y1y2=-4p2=0.
∴,故点O仍在以AB为直径的圆上.
【分析】 (Ⅱ)为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式，直观上我们已可推测到当AB⊥x轴时，弦AB之长最短(这就是论证方向)，为此又有多种途径:
(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x（或y）的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.
(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2=（t1-t2）2的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.
这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB|函数式，只牵涉一个变量.
【解答】（Ⅱ）直线AB的倾角为α,当α=90°时，⊙H的半径为2p,S⊙H=4πp2.
当α≠90°时，不妨设α∈［0,)，则

综上，|AB|min=4p,当且仅当α=90°时，（S⊙H）min=4πp2,相应的直线AB的方程为：x=2p.
别解：由（1）知恒有∠AOB=90°.
∴||2=|
=
≥2x1x2+2p(x1+x2)
≥2x1x2+4p.
∵y1y2=-4p2,∴x1x2=
于是||2≥16p2,| |min=4p.当且仅当x1=x2=2p时，S⊙H=4πp2.
【点评】 斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.

●对应训练
1.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且a1,a2,…，an构成一个数列{an},满足f(1)=n2.
(1)求数列{an}的通项公式，并求之值.
(2)证明0

［旁白］ 才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语.

［评语］ 学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.

［解二］　作差比较法
-=0

［旁白］ 才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语.

［评语］解题成本你不管，别人求近你走远，作差通分太费力，面对结果向回转.

［旁白］ 大家听才子这么说，纷纷要求才子本人拿出自己的解法来，于是有了以下的奇解.
［奇解］ ×=1 >>

［旁白］ 大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评.

［自评］ 标新本来在立意，别人作商我作积，结果可由心算出，不用花费纸和笔.
［旁白］ 这时，上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法”就不能解出此题吗？
才子回答：当然能！不过需要“统一单调区间”，请看下解
［正解］ f (x) = f＇(x)=ln> >>

［旁白］ 大家一看，齐声说妙，要求才子再评说一下. 于是又有了下面的奇文.

［评语］ 因为数3比e大，单调区间从3划，数4也在本区间，故把数2搬个家.


【例1】 已知向量a=(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b=，则b= ( )
A．(，) B．(,) C.() D．（1，0）
【特解】 由|b|=1，排除C；又b与x轴不平行，排除D；易知b与a不平行，排除A.答案只能为B.
【评说】 本解看似简单，但想时不易，要看出向量b与A()是平行向量，一般考生不能做到.
【别解】 因为b是不平行于x轴的单位向量，可排除C、D两项. 又a·b=,将A代入不满足题意,所以答案只能为B.
【评说】 本题通过三次筛选才得出正确答案,思维量很大,到A、B选项时还需动手计算，真是淘尽黄沙始是金啊！
【另解】 设b=(cosα,sinα),则a·b=(,1)·(cosα,sinα)= cosα+sinα= sin(60°+α)=在区间（0，π）上解α得：α=60°.
故b=().
【评说】 本题涉及解三角方程，并确定解答区间，这不是一个小题的份量.
【错解】 选A者,误在(a，
选C者,误在|（）·a|=1.
选D者，没有考虑到（1，0）与x轴平行.
【评说】 本题三个假支的设计，其质量很高，各有各的错因，相信各有各的“选择人”.

●对应训练
1.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则{x|x·f(x)3或-3