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广东省广州市第四中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)
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这是一份广东省广州市第四中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州四中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，答案填在答题卡上）
1．（3分）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
2．（3分）下列事件是必然事件的为（ ）
A．购买一张体育彩票，中奖
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．2022年元旦是晴天
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
3．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+6的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣6） B．（﹣1，﹣6） C．（1，6） D．（﹣1，6）
4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1x2+x1+x2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ABC＝129°，则∠AOC的度数为（ ）
A．129° B．120° C．102° D．51°
6．（3分）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
7．（3分）在函数y=a2+1x的图象上有两点（﹣3，y1），（﹣1，y2），则y1与y2之间的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，分别以点B，C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16﹣2π B．8﹣4π C．8﹣2π D．4﹣π
9．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
10．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，DE⊥DF交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．25 D．5
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分，注意答案写在答卷上）
11．（3分）已知点A（1，m）与A'（n，﹣3）关于原点对称，则mn＝ ．
12．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球6个，黄球若干个，这些球除颜色外都相同，小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.3，则袋子中黄球的个数可能是 个．
13．（3分）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是 ．
16．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x＝1：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点A（a+1，y1）、B（a+2，y2）在抛物线上，则y1＞y2；⑥am2+bm≥a+b（m为任意实数），其中结论正确的有 ．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，注意答案写在答卷上）
17．（4分）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）x2﹣3x﹣4＝0．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A（﹣3，1），B（﹣1，3）．
（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到的三角形△OA1B1，A的对应点为A1；
（2）求点B在上述运动过程中的路径的长度．
19．（6分）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为：1，2，3，4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．（请用列表法或画树状图的方法）
（1）求两次数字之积为奇数的概率；
（2）若两次数字之积为奇数，则小颖胜；两次数字之积为偶数，则小丽胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．
（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
21．（8分）如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是AB上一点，且∠BPC＝60°．
（1）证明△ABC是等边三角形；
（2）若DM＝2，求⊙O的半径．
22．（10分）某商城将每件成本为50元的工艺品，以60元的单价出售时，每天的销售量是400件，已知在每件涨价幅度不超过14元的情况下，若每件涨价1元，则每天就会少售出10件．
（1）若商城想每天获得6000元的利润，应涨价多少元？
（2）求商城销售工艺品所获得的最大利润．
23．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞k2x的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．
24．（12分）已知，如图1，正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF．
（1）证明：EF⊥AC；
（2）将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角α满足0°＜α＜45°时，设EF与射线AB交于点G，与AC交于点H，如图所示，试判断线段FH、HG、GE的数量关系，并说明理由．
（3）若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE，并延长EB交直线DF于点P，连接PC，试说明点P的运动路径并求线段PC的取值范围．
25．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D．
（Ⅰ）求该二次函数的解析式及点C，D的坐标．
（Ⅱ）点P（t，0）是x轴上的动点，
①求PD﹣PC的最大值及对应的点P的坐标；
②设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y＝a|x|2﹣2a|x|+3的图象只有一个公共点，求t的取值范围．
2022-2023学年广东省广州四中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，答案填在答题卡上）
1．（3分）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）下列事件是必然事件的为（ ）
A．购买一张体育彩票，中奖
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．2022年元旦是晴天
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
【解答】解：A、购买一张体育彩票，中奖，是随机事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、2022年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意；
D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，必然事件，符合题意；
故选：D．
3．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+6的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣6） B．（﹣1，﹣6） C．（1，6） D．（﹣1，6）
【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣1）2+6，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，6），
故选：C．
4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1x2+x1+x2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【解答】解：x2﹣3x﹣2＝0，
根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x1x2+x1+x2＝﹣2+3＝1．
故选：B．
5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ABC＝129°，则∠AOC的度数为（ ）
A．129° B．120° C．102° D．51°
【解答】解：∵∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝180°﹣129°＝51°，
∴∠AOC＝2∠D＝102°，
故选：C．
6．（3分）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【解答】解：由题意可作图，如下图所示：
∵d＝4＜5，
∴点P在⊙O内．
故A正确，B、C、D错误，
故选：A．
7．（3分）在函数y=a2+1x的图象上有两点（﹣3，y1），（﹣1，y2），则y1与y2之间的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0
【解答】解：∵反比例函数y=a2+1x中的a2+1＞0，
∴该函数图象经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵函数y=a2+1x的图象上有两点（﹣3，y1），（﹣1，y2），
∴两点（﹣3，y1），（﹣1，y2）在第三象限，且﹣3＜﹣1，
∴y2＜y1＜0，
故选：A．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，分别以点B，C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16﹣2π B．8﹣4π C．8﹣2π D．4﹣π
【解答】解：等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，BC=2AB＝42，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE=12BC＝22，
∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF=12×4×4-45π×(22)2360×2＝8﹣2π．
故选：C．
9．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m﹣1）＝0，且m﹣1≠0，
解得，m＝2．
故选：C．
10．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，DE⊥DF交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．25 D．5
【解答】解：连接PC，PD，
∵在Rt△CEF中，P为EF的中点，
∴CP=12EF，
在Rt△EDF中，
DP=12EF，
∴CP＝DP，
∴点P在CD的垂直平分线上运动，
作A关于CD垂直平分线的对称点A'，
∴PA+PB的最小值为A'B，
在Rt△AA'B中，
A'B=42+22=25，
故选：C．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分，注意答案写在答卷上）
11．（3分）已知点A（1，m）与A'（n，﹣3）关于原点对称，则mn＝ ﹣3 ．
【解答】解：∵点A（1，m）与A'（n，﹣3）关于坐标原点对称，
∴n＝﹣1，m＝3，
∴mn＝3×（﹣1）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
12．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球6个，黄球若干个，这些球除颜色外都相同，小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.3，则袋子中黄球的个数可能是 14 个．
【解答】解：设袋中黄球有x个，
根据题意，得：66+x=0.3，
解得：x＝14，
经检验：x＝14是分式方程的解，
所以袋中红球有14个，
故答案为：14．
13．（3分）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y＝2x2+4x ．
【解答】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x
故答案为y＝2x2+4x．
14．（3分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为 ﹣4 ．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴S△AOB＝S△ABP＝2，
∵S△AOB=12|k|，
∴|k|＝4，
∵反比例函数y=kx在第二象限，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是 30°或45° ．
【解答】解：当点C在边AD上，如图1，
∵∠B＝60°，∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝α＝45°，
如图2，当点C在边DE上，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，
∴AC＝AE，∠E＝∠ACB＝75°，
∴∠E＝∠ACE＝75°，
∴∠EAC＝α＝180°﹣75°﹣75°＝30°．
综合以上可得α的度数是30°或45°．
故答案为：30°或45°．
16．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x＝1：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点A（a+1，y1）、B（a+2，y2）在抛物线上，则y1＞y2；⑥am2+bm≥a+b（m为任意实数），其中结论正确的有 ①④⑥ ．
【解答】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴①正确；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b与a异号，即b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∴②错误；
③∵抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，
∴当x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，
∴③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵抛物线对称轴为x＝1，
∴-b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴5a+b+c＝0，
∴④正确；
⑤∵a＞0，
∴1＜a+1＜a+2，
∵抛物线对称轴为x＝1，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，
∴y1＜y2，
∴y1﹣y2＜0，
∴⑤错误；
⑥抛物线对称轴为x＝1，抛物线开口向上，
∴x＝1，y有最小值，
∴am2+bm≥a+b（m为任意实数），
∴⑥正确；
综上所述，①④⑥正确；
故答案为：①④⑥．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，注意答案写在答卷上）
17．（4分）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）x2﹣3x﹣4＝0．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
∴x﹣4＝0或x+1＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣1．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A（﹣3，1），B（﹣1，3）．
（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到的三角形△OA1B1，A的对应点为A1；
（2）求点B在上述运动过程中的路径的长度．
【解答】解：（1）如图所示，△OA1B1即为所求；
点A1的坐标为（1，3），
（3）OB=12+32=10，
∴点B的运动路径长为：90×π×10180=10π2．
19．（6分）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为：1，2，3，4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．（请用列表法或画树状图的方法）
（1）求两次数字之积为奇数的概率；
（2）若两次数字之积为奇数，则小颖胜；两次数字之积为偶数，则小丽胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意列表如下：
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
所有等可能的情况有16种，其中两次数字之积为奇数的有4种，
则两次数字之积为奇数的概率为416=14；
（2）根据（1）得出的两次数字之积为奇数的概率是14，则两次数字之积为偶数的概率是34，
∵14＜34，
∴这个游戏不公平．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．
（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
【解答】（1）解：如图1所示，⊙O即为所求；
（2）证明：如图2，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．
21．（8分）如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是AB上一点，且∠BPC＝60°．
（1）证明△ABC是等边三角形；
（2）若DM＝2，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵直径CD⊥AB，
∴AM＝BM，
∴AC＝BC，
∵∠CAB＝∠BPC＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：连接OA，
设⊙O的半径是r，
∵△ABC等边三角形，CD⊥AB，
∴∠CAB＝∠ACB＝60°，∠ACO=12∠ACB＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO＝30°，
∴∠OAM＝∠CAB﹣∠OAC＝60°﹣30°＝30°，
∴OM=12OA，
∴r﹣2=12r，
∴r＝4．
22．（10分）某商城将每件成本为50元的工艺品，以60元的单价出售时，每天的销售量是400件，已知在每件涨价幅度不超过14元的情况下，若每件涨价1元，则每天就会少售出10件．
（1）若商城想每天获得6000元的利润，应涨价多少元？
（2）求商城销售工艺品所获得的最大利润．
【解答】解：（1）设每件工艺品涨m元，
根据题意得：（60+m﹣50）（400﹣10m）＝6000，
解得m＝10或m＝20，
∵20＞14，
∴m＝20不符合题意，舍去，
∴m＝10，
答：每件工艺品涨10元；
（2）设商城销售工艺品所获得的利润为w元，每件工艺品涨x元，
根据题意得：w＝（60+x﹣50）（400﹣10x）＝﹣10x2+300x+4000＝﹣10（x﹣15）2+6250，
∵﹣10＜0，x≤14，
∴当x＝14时，w取最大值，最大值为﹣10×（14﹣15）2+6250＝6240（元），
答：商城销售工艺品所获得的最大利润为6240元．
23．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞k2x的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
由图象可得：k1x+b＞k2x的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜4；
（2）∵反比例函数y=k2x的图象过点A（﹣1，4），B（4，n），
∴k2＝﹣1×4＝﹣4，k2＝4n，
∴n＝﹣1，
∴B（4，﹣1），
∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A，点B，
∴-k1+b=44k1+b=-1，
解得：k1＝﹣1，b＝3，
∴一次函数的解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y=-4x；
（3）设直线AB与y轴的交点为C，
∴C（0，3），
∵S△AOC=12×3×1=32，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=12×3×1+12×3×4=152，
∵S△AOP：S△BOP＝1：2，
∴S△AOP=152×13=52，
∴S△AOC＜S△AOP，S△COP=52-32=1，
∴12×3•xP＝1，
∴xP=23，
∵点P在线段AB上，
∴y=-23+3=73，
∴P（23，73）．
24．（12分）已知，如图1，正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF．
（1）证明：EF⊥AC；
（2）将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角α满足0°＜α＜45°时，设EF与射线AB交于点G，与AC交于点H，如图所示，试判断线段FH、HG、GE的数量关系，并说明理由．
（3）若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE，并延长EB交直线DF于点P，连接PC，试说明点P的运动路径并求线段PC的取值范围．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，
∵BE＝DF，
∴AD+DF＝AB+BE，即AF＝AE，
∴AC⊥EF；
（2）解：FH2+GE2＝HG2，理由是：
如图2，过A作AK⊥AC，截取AK＝AH，连接GK、EK，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAB＝∠KAB＝45°，
∵AG＝AG，
∴△AGH≌△AGK（SAS），
∴GH＝GK，
由旋转得：∠FAE＝90°，AF＝AE，
∵∠HAK＝90°，
∴∠FAH＝∠KAE，
∴△AFH≌△AEK（SAS），
∴∠AEK＝∠AFH＝45°，FH＝EK，
∵∠AEH＝45°，
∴∠KEG＝45°+45°＝90°，
Rt△GKE中，KG2＝EG2+EK2，
即：FH2+GE2＝HG2；
（3）解：如图3，∵AD＝AB，∠DAF＝∠BAE，AE＝AF，
∴△DAF≌△BAE（SAS），
∴∠DFA＝∠BEA，
∵∠PNF＝∠ANE，
∴∠FPE＝∠FAE＝90°，
∴将△AEF绕点A旋转一周，总存在直线EB与直线DF垂直，
∴点P的运动路径是：以BD为直径的圆，如图4，
当P与C重合时，PC最小，PC＝0，
当P与A重合时，PC最大为52，
∴线段PC的取值范围是：0≤PC≤52．
25．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D．
（Ⅰ）求该二次函数的解析式及点C，D的坐标．
（Ⅱ）点P（t，0）是x轴上的动点，
①求PD﹣PC的最大值及对应的点P的坐标；
②设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y＝a|x|2﹣2a|x|+3的图象只有一个公共点，求t的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）在二次函数y＝ax2﹣2ax+3中，
∵x=--2a2a=1，
∴y＝ax2﹣2ax+3的对称轴为直线x＝1，
∵y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，
∴抛物线的顶点D（1，4），
将D（1，4）代入y＝ax2﹣2ax+3中，
得a＝﹣1，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴C点坐标为（0，3），D点坐标为（1，4）；
（Ⅱ）①∵|PC﹣PD|≤CD，
∴当P，C，D三点在一条直线上时，|PC﹣PD|取得最大值，
如图1，连接DC并延长交x轴于点P，
将点D（1，4），C（0，3）代入y＝kx+b，
得k+b=4b=3，
解得k＝1，b＝3，
∴yCD＝x+3，
当y＝0时，
x＝﹣3，
∴P（﹣3，0），
CD=12+(4-3)2=2，
∴PD﹣PC的最大值为2，P（﹣3，0）；
②y＝a|x|2﹣2a|x|+3可化为y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)，
将P（t，0），Q（0，2t）代入y＝kx+b，
得tk+b=0b=2t，
解得：k＝﹣2，b＝2t，
∴yPQ＝﹣2x+2t，
情况一：如图2﹣1，当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)的图象只有一个公共点，此时t＝﹣3，
综合图2﹣1，图2﹣2，所以当t≤﹣3时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)的图象只有一个公共点；
情况二：如图2﹣3，当线段PQ过（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)的图象只有一个公共点，此时t=32，
如图2﹣4，当线段PQ过点（3，0），即点P与点A（3，0）重合时，t＝3，此时线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)，的图象有两个公共点，
综合图2﹣3，图2﹣4，所以当32≤t＜3时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)的图象只有一个公共点；
情况三：如图2﹣5，将y＝﹣2x+2t代入y＝﹣x2+2x+3（x≥0），
整理，得x2﹣4x+2t﹣3＝0，
△＝16﹣4（2t﹣3）＝28﹣8t，
令28﹣8t＝0，
解得t=72，
∴当t=72时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)的图象只有一个公共点；
综上所述，t的取值范围为t≤﹣3或32≤t＜3或t=72．
2022-2023学年广东省广州四中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，答案填在答题卡上）
1．（3分）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
2．（3分）下列事件是必然事件的为（ ）
A．购买一张体育彩票，中奖
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．2022年元旦是晴天
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
3．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+6的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣6） B．（﹣1，﹣6） C．（1，6） D．（﹣1，6）
4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1x2+x1+x2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ABC＝129°，则∠AOC的度数为（ ）
A．129° B．120° C．102° D．51°
6．（3分）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
7．（3分）在函数y=a2+1x的图象上有两点（﹣3，y1），（﹣1，y2），则y1与y2之间的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，分别以点B，C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16﹣2π B．8﹣4π C．8﹣2π D．4﹣π
9．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
10．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，DE⊥DF交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．25 D．5
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分，注意答案写在答卷上）
11．（3分）已知点A（1，m）与A'（n，﹣3）关于原点对称，则mn＝ ．
12．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球6个，黄球若干个，这些球除颜色外都相同，小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.3，则袋子中黄球的个数可能是 个．
13．（3分）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是 ．
16．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x＝1：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点A（a+1，y1）、B（a+2，y2）在抛物线上，则y1＞y2；⑥am2+bm≥a+b（m为任意实数），其中结论正确的有 ．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，注意答案写在答卷上）
17．（4分）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）x2﹣3x﹣4＝0．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A（﹣3，1），B（﹣1，3）．
（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到的三角形△OA1B1，A的对应点为A1；
（2）求点B在上述运动过程中的路径的长度．
19．（6分）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为：1，2，3，4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．（请用列表法或画树状图的方法）
（1）求两次数字之积为奇数的概率；
（2）若两次数字之积为奇数，则小颖胜；两次数字之积为偶数，则小丽胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．
（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
21．（8分）如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是AB上一点，且∠BPC＝60°．
（1）证明△ABC是等边三角形；
（2）若DM＝2，求⊙O的半径．
22．（10分）某商城将每件成本为50元的工艺品，以60元的单价出售时，每天的销售量是400件，已知在每件涨价幅度不超过14元的情况下，若每件涨价1元，则每天就会少售出10件．
（1）若商城想每天获得6000元的利润，应涨价多少元？
（2）求商城销售工艺品所获得的最大利润．
23．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞k2x的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．
24．（12分）已知，如图1，正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF．
（1）证明：EF⊥AC；
（2）将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角α满足0°＜α＜45°时，设EF与射线AB交于点G，与AC交于点H，如图所示，试判断线段FH、HG、GE的数量关系，并说明理由．
（3）若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE，并延长EB交直线DF于点P，连接PC，试说明点P的运动路径并求线段PC的取值范围．
25．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D．
（Ⅰ）求该二次函数的解析式及点C，D的坐标．
（Ⅱ）点P（t，0）是x轴上的动点，
①求PD﹣PC的最大值及对应的点P的坐标；
②设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y＝a|x|2﹣2a|x|+3的图象只有一个公共点，求t的取值范围．
2022-2023学年广东省广州四中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，答案填在答题卡上）
1．（3分）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）下列事件是必然事件的为（ ）
A．购买一张体育彩票，中奖
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．2022年元旦是晴天
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
【解答】解：A、购买一张体育彩票，中奖，是随机事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、2022年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意；
D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，必然事件，符合题意；
故选：D．
3．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+6的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣6） B．（﹣1，﹣6） C．（1，6） D．（﹣1，6）
【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣1）2+6，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，6），
故选：C．
4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1x2+x1+x2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【解答】解：x2﹣3x﹣2＝0，
根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x1x2+x1+x2＝﹣2+3＝1．
故选：B．
5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ABC＝129°，则∠AOC的度数为（ ）
A．129° B．120° C．102° D．51°
【解答】解：∵∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝180°﹣129°＝51°，
∴∠AOC＝2∠D＝102°，
故选：C．
6．（3分）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【解答】解：由题意可作图，如下图所示：
∵d＝4＜5，
∴点P在⊙O内．
故A正确，B、C、D错误，
故选：A．
7．（3分）在函数y=a2+1x的图象上有两点（﹣3，y1），（﹣1，y2），则y1与y2之间的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0
【解答】解：∵反比例函数y=a2+1x中的a2+1＞0，
∴该函数图象经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵函数y=a2+1x的图象上有两点（﹣3，y1），（﹣1，y2），
∴两点（﹣3，y1），（﹣1，y2）在第三象限，且﹣3＜﹣1，
∴y2＜y1＜0，
故选：A．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，分别以点B，C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16﹣2π B．8﹣4π C．8﹣2π D．4﹣π
【解答】解：等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，BC=2AB＝42，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE=12BC＝22，
∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF=12×4×4-45π×(22)2360×2＝8﹣2π．
故选：C．
9．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m﹣1）＝0，且m﹣1≠0，
解得，m＝2．
故选：C．
10．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，DE⊥DF交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．25 D．5
【解答】解：连接PC，PD，
∵在Rt△CEF中，P为EF的中点，
∴CP=12EF，
在Rt△EDF中，
DP=12EF，
∴CP＝DP，
∴点P在CD的垂直平分线上运动，
作A关于CD垂直平分线的对称点A'，
∴PA+PB的最小值为A'B，
在Rt△AA'B中，
A'B=42+22=25，
故选：C．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分，注意答案写在答卷上）
11．（3分）已知点A（1，m）与A'（n，﹣3）关于原点对称，则mn＝ ﹣3 ．
【解答】解：∵点A（1，m）与A'（n，﹣3）关于坐标原点对称，
∴n＝﹣1，m＝3，
∴mn＝3×（﹣1）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
12．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球6个，黄球若干个，这些球除颜色外都相同，小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.3，则袋子中黄球的个数可能是 14 个．
【解答】解：设袋中黄球有x个，
根据题意，得：66+x=0.3，
解得：x＝14，
经检验：x＝14是分式方程的解，
所以袋中红球有14个，
故答案为：14．
13．（3分）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y＝2x2+4x ．
【解答】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x
故答案为y＝2x2+4x．
14．（3分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为 ﹣4 ．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴S△AOB＝S△ABP＝2，
∵S△AOB=12|k|，
∴|k|＝4，
∵反比例函数y=kx在第二象限，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是 30°或45° ．
【解答】解：当点C在边AD上，如图1，
∵∠B＝60°，∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝α＝45°，
如图2，当点C在边DE上，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，
∴AC＝AE，∠E＝∠ACB＝75°，
∴∠E＝∠ACE＝75°，
∴∠EAC＝α＝180°﹣75°﹣75°＝30°．
综合以上可得α的度数是30°或45°．
故答案为：30°或45°．
16．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x＝1：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点A（a+1，y1）、B（a+2，y2）在抛物线上，则y1＞y2；⑥am2+bm≥a+b（m为任意实数），其中结论正确的有 ①④⑥ ．
【解答】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴①正确；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b与a异号，即b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∴②错误；
③∵抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，
∴当x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，
∴③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵抛物线对称轴为x＝1，
∴-b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴5a+b+c＝0，
∴④正确；
⑤∵a＞0，
∴1＜a+1＜a+2，
∵抛物线对称轴为x＝1，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，
∴y1＜y2，
∴y1﹣y2＜0，
∴⑤错误；
⑥抛物线对称轴为x＝1，抛物线开口向上，
∴x＝1，y有最小值，
∴am2+bm≥a+b（m为任意实数），
∴⑥正确；
综上所述，①④⑥正确；
故答案为：①④⑥．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，注意答案写在答卷上）
17．（4分）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）x2﹣3x﹣4＝0．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
∴x﹣4＝0或x+1＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣1．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A（﹣3，1），B（﹣1，3）．
（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到的三角形△OA1B1，A的对应点为A1；
（2）求点B在上述运动过程中的路径的长度．
【解答】解：（1）如图所示，△OA1B1即为所求；
点A1的坐标为（1，3），
（3）OB=12+32=10，
∴点B的运动路径长为：90×π×10180=10π2．
19．（6分）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为：1，2，3，4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．（请用列表法或画树状图的方法）
（1）求两次数字之积为奇数的概率；
（2）若两次数字之积为奇数，则小颖胜；两次数字之积为偶数，则小丽胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意列表如下：
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
所有等可能的情况有16种，其中两次数字之积为奇数的有4种，
则两次数字之积为奇数的概率为416=14；
（2）根据（1）得出的两次数字之积为奇数的概率是14，则两次数字之积为偶数的概率是34，
∵14＜34，
∴这个游戏不公平．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．
（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
【解答】（1）解：如图1所示，⊙O即为所求；
（2）证明：如图2，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．
21．（8分）如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是AB上一点，且∠BPC＝60°．
（1）证明△ABC是等边三角形；
（2）若DM＝2，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵直径CD⊥AB，
∴AM＝BM，
∴AC＝BC，
∵∠CAB＝∠BPC＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：连接OA，
设⊙O的半径是r，
∵△ABC等边三角形，CD⊥AB，
∴∠CAB＝∠ACB＝60°，∠ACO=12∠ACB＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO＝30°，
∴∠OAM＝∠CAB﹣∠OAC＝60°﹣30°＝30°，
∴OM=12OA，
∴r﹣2=12r，
∴r＝4．
22．（10分）某商城将每件成本为50元的工艺品，以60元的单价出售时，每天的销售量是400件，已知在每件涨价幅度不超过14元的情况下，若每件涨价1元，则每天就会少售出10件．
（1）若商城想每天获得6000元的利润，应涨价多少元？
（2）求商城销售工艺品所获得的最大利润．
【解答】解：（1）设每件工艺品涨m元，
根据题意得：（60+m﹣50）（400﹣10m）＝6000，
解得m＝10或m＝20，
∵20＞14，
∴m＝20不符合题意，舍去，
∴m＝10，
答：每件工艺品涨10元；
（2）设商城销售工艺品所获得的利润为w元，每件工艺品涨x元，
根据题意得：w＝（60+x﹣50）（400﹣10x）＝﹣10x2+300x+4000＝﹣10（x﹣15）2+6250，
∵﹣10＜0，x≤14，
∴当x＝14时，w取最大值，最大值为﹣10×（14﹣15）2+6250＝6240（元），
答：商城销售工艺品所获得的最大利润为6240元．
23．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞k2x的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
由图象可得：k1x+b＞k2x的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜4；
（2）∵反比例函数y=k2x的图象过点A（﹣1，4），B（4，n），
∴k2＝﹣1×4＝﹣4，k2＝4n，
∴n＝﹣1，
∴B（4，﹣1），
∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A，点B，
∴-k1+b=44k1+b=-1，
解得：k1＝﹣1，b＝3，
∴一次函数的解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y=-4x；
（3）设直线AB与y轴的交点为C，
∴C（0，3），
∵S△AOC=12×3×1=32，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=12×3×1+12×3×4=152，
∵S△AOP：S△BOP＝1：2，
∴S△AOP=152×13=52，
∴S△AOC＜S△AOP，S△COP=52-32=1，
∴12×3•xP＝1，
∴xP=23，
∵点P在线段AB上，
∴y=-23+3=73，
∴P（23，73）．
24．（12分）已知，如图1，正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF．
（1）证明：EF⊥AC；
（2）将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角α满足0°＜α＜45°时，设EF与射线AB交于点G，与AC交于点H，如图所示，试判断线段FH、HG、GE的数量关系，并说明理由．
（3）若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE，并延长EB交直线DF于点P，连接PC，试说明点P的运动路径并求线段PC的取值范围．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，
∵BE＝DF，
∴AD+DF＝AB+BE，即AF＝AE，
∴AC⊥EF；
（2）解：FH2+GE2＝HG2，理由是：
如图2，过A作AK⊥AC，截取AK＝AH，连接GK、EK，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAB＝∠KAB＝45°，
∵AG＝AG，
∴△AGH≌△AGK（SAS），
∴GH＝GK，
由旋转得：∠FAE＝90°，AF＝AE，
∵∠HAK＝90°，
∴∠FAH＝∠KAE，
∴△AFH≌△AEK（SAS），
∴∠AEK＝∠AFH＝45°，FH＝EK，
∵∠AEH＝45°，
∴∠KEG＝45°+45°＝90°，
Rt△GKE中，KG2＝EG2+EK2，
即：FH2+GE2＝HG2；
（3）解：如图3，∵AD＝AB，∠DAF＝∠BAE，AE＝AF，
∴△DAF≌△BAE（SAS），
∴∠DFA＝∠BEA，
∵∠PNF＝∠ANE，
∴∠FPE＝∠FAE＝90°，
∴将△AEF绕点A旋转一周，总存在直线EB与直线DF垂直，
∴点P的运动路径是：以BD为直径的圆，如图4，
当P与C重合时，PC最小，PC＝0，
当P与A重合时，PC最大为52，
∴线段PC的取值范围是：0≤PC≤52．
25．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D．
（Ⅰ）求该二次函数的解析式及点C，D的坐标．
（Ⅱ）点P（t，0）是x轴上的动点，
①求PD﹣PC的最大值及对应的点P的坐标；
②设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y＝a|x|2﹣2a|x|+3的图象只有一个公共点，求t的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）在二次函数y＝ax2﹣2ax+3中，
∵x=--2a2a=1，
∴y＝ax2﹣2ax+3的对称轴为直线x＝1，
∵y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，
∴抛物线的顶点D（1，4），
将D（1，4）代入y＝ax2﹣2ax+3中，
得a＝﹣1，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴C点坐标为（0，3），D点坐标为（1，4）；
（Ⅱ）①∵|PC﹣PD|≤CD，
∴当P，C，D三点在一条直线上时，|PC﹣PD|取得最大值，
如图1，连接DC并延长交x轴于点P，
将点D（1，4），C（0，3）代入y＝kx+b，
得k+b=4b=3，
解得k＝1，b＝3，
∴yCD＝x+3，
当y＝0时，
x＝﹣3，
∴P（﹣3，0），
CD=12+(4-3)2=2，
∴PD﹣PC的最大值为2，P（﹣3，0）；
②y＝a|x|2﹣2a|x|+3可化为y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)，
将P（t，0），Q（0，2t）代入y＝kx+b，
得tk+b=0b=2t，
解得：k＝﹣2，b＝2t，
∴yPQ＝﹣2x+2t，
情况一：如图2﹣1，当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)的图象只有一个公共点，此时t＝﹣3，
综合图2﹣1，图2﹣2，所以当t≤﹣3时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)的图象只有一个公共点；
情况二：如图2﹣3，当线段PQ过（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)的图象只有一个公共点，此时t=32，
如图2﹣4，当线段PQ过点（3，0），即点P与点A（3，0）重合时，t＝3，此时线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)，的图象有两个公共点，
综合图2﹣3，图2﹣4，所以当32≤t＜3时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)的图象只有一个公共点；
情况三：如图2﹣5，将y＝﹣2x+2t代入y＝﹣x2+2x+3（x≥0），
整理，得x2﹣4x+2t﹣3＝0，
△＝16﹣4（2t﹣3）＝28﹣8t，
令28﹣8t＝0，
解得t=72，
∴当t=72时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)的图象只有一个公共点；
综上所述，t的取值范围为t≤﹣3或32≤t＜3或t=72．
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