北京市昌平区2022-2023学年高三上学期期末质量检测数学试题+Word版含答案
展开
这是一份北京市昌平区2022-2023学年高三上学期期末质量检测数学试题+Word版含答案,共15页。试卷主要包含了 已知集合,则集合, 若,,则一定有, 若,则, 图1, 设抛物线的焦点为,准线为, 已知向量满足,则的最大值是等内容,欢迎下载使用。
昌平区2022~2023学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷2023.1一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知集合,则集合( )A. B. C. D. 2. 在复平面内,复数对应的点的坐标是,且满足,则( )A. 1 B. C. 2 D. 3. 下列函数中,是奇函数且在定义域内是减函数的是( )A. B. C. D. 4. 若,,则一定有( )A. B. C. D. 5. 已知二项式的展开式中的系数是10,则实数( )A. B. 1 C. D. 26. 若,则( )A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,则“角与角的终边关于轴对称”是“”的( )A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件8. 图1:在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下落的过程中,每次碰到小木钉后都等可能的向左或向右落下,最后落入底部的格子中.在图2中,将小球放入容器中从顶部下落,则小球落入D区的路线数有( )A. 16 B. 18 C. 20 D. 229. 设抛物线的焦点为,准线为.斜率为的直线经过焦点,交抛物线于点,交准线于点(在轴的两侧).若,则抛物线的方程为( )A. B. C. D. 10. 已知向量满足,则的最大值是( )A. B. C. D. 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11. 已知数列中,,则数列的通项公式为__________.12. 已知双曲线的焦点为,点在双曲线上,则该双曲线的渐近线方程为__________;若,则__________.13. 在中,,则__________,__________.14. 若直线与圆有公共点,则的最小值为__________.15. 已知正三棱锥的六条棱长均为是底面的中心,用一个平行于底面的平面截三棱锥,分别交于点(不与顶点,重合).给出下列四个结论:①三棱锥为正三棱锥;②三棱锥的高为;③三棱锥的体积既有最大值,又有最小值;④当时,.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16. 已知函数,再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知,(1)求解析式;(2)当时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.条件①:函数的图象经过点;条件②:函数的图象可由函数的图象平移得到;条件③:函数图象相邻的两个对称中心之间的距离为.注:如果选择条件①、条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分. 17. 不粘锅是家庭常用厨房用具,近期,某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12款不粘锅商品,并委托第三方检测机构进行检测.本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的6项性能项目进行比较试验,性能检测项目包含不粘性、耐磨性、耐碱性、手柄温度、温度均匀性和使用体验等6个指标.其中消费者关注最多的两个指标“不沾性、耐磨性”检测结果的数据如下: 检测结果序号品牌名称不粘性耐磨性1品牌1Ⅰ级Ⅰ级2品牌2Ⅱ级Ⅰ级3品牌3Ⅰ级Ⅰ级4品牌4Ⅱ级Ⅱ级5品牌5Ⅰ级Ⅰ级6品牌6Ⅱ级Ⅰ级7品牌7Ⅰ级Ⅰ级8品牌8Ⅰ级Ⅰ级9品牌9Ⅱ级Ⅱ级10品牌10Ⅱ级Ⅱ级11品牌11Ⅱ级Ⅱ级12品牌12Ⅱ级Ⅱ级(Ⅰ级代表性能优秀,Ⅱ级代表性能较好)(1)从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据,求这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概率;(2)从前六个品牌中随机选取两个品牌的数据,设为性能都是Ⅰ级的品牌个数,求随机变量的分布列和数学期望;(3)从后六个品牌中随机选取两个品牌的数据,设为性能都是Ⅰ级的品牌个数,比较随机变量和随机变量的数学期望的大小(结论不要求证明). 18. 如图,在多面体中,侧面为矩形,平面,平面.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)求直线到平面的距离. 19. 已知椭圆过点,且离心率是.(1)求椭圆的方程和短轴长;(2)已知点,直线过点且与椭圆有两个不同的交点,问:是否存在直线,使得是以点为顶点的等腰三角形,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由. 20. 已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)讨论函数的单调性;(3)当时,证明:对任意的恒成立. 21. 已知数列满足:,且.记集合.(1)若,写出集合的所有元素;(2)若集合存在一个元素是3的倍数,证明:的所有元素都是3的倍数;(3)求集合的元素个数的最大值.
1【答案】C【详解】依题意.2【答案】A详解】由得,又复数对应的点的坐标是,即,3【答案】B【详解】对于A,设,则,故在定义域内不是减函数,故A错误.对于B,设,其定义域为且,故为奇函数,而为上的增函数,故为上的减函数,故B正确.对于C,设,因为,故在定义域内不是减函数,故C错误. 对于D, 的定义域为,故该函数不是奇函数,故D错误.4【答案】C【详解】不妨令,则,∴A、B不正确;
,∴D不正确,C正确.5【答案】B【详解】二项式的展开式为,令,解得,所以.6【答案】D【详解】,所以,所以.7【答案】A【详解】由题意知,角与角的终边关于轴对称时,则 ,故,则,即;当时,此时,角与角的终边不关于轴对称,即“”成立不能得出“角与角的终边关于轴对称”成立,故“角与角的终边关于轴对称”是“”的充分而不必要条件,8【答案】C【详解】第一层只有一个小球,其左右各有一个空隙,小球到这两个空隙处的线路数均为1;第二层有两个小球,共有三个空隙,小球到这三个空隙处的线路数从左到右依次为:1,2,1,第三层有三个小球,共有4个空隙,小球到这四个空隙处的线路数从左到右依次为:即为,第四层有四个小球,共有5个空隙,小球到这五个空隙处的线路数从左到右依次为:即为,第五层有五个小球,共有6个空隙,小球到这六个空隙处的线路数从左到右依次为:即为,第六层有六个小球,共有7个空隙,小球到这七个空隙处的线路数从左到右依次为:即为,故小球落入D区的路线数有20条.9【答案】B【详解】直线的斜率为,倾斜角为,过作,垂足为,连接,由于,所以三角形是等边三角形,所以,由于,所以,所以抛物线方程为.10【答案】C【详解】把平移到共起点,以的起点为原点,所在的直线为轴,的方向为轴的正方向,见下图,设,则又则点的轨迹为以为直径的圆,又因为所以故以为直径的圆为,所以的最大值就是以为直径的圆上的点到原点距离的最大值,所以最大值为11【答案】【详解】数列中,,则,否则与矛盾,故,即数列为首项为2,公比为2的等比数列,所以,12【答案】 ①. ②. 【详解】依题意,所以双曲线的渐近线方程为,由于,所以在双曲线的左支,所以.13【答案】 ①. ②. ##【详解】由余弦定理可得,故,故(舍)或,故,而为三角形内角,故.14【答案】5【详解】由题意知,直线过定点,当点在圆上或圆内时,直线与圆总有公共点,即,即的最小值为5,15【答案】①②④【详解】如图所示∵用一个平行于底面的平面截三棱锥,且为正三棱锥,是底面的中心∴三棱锥为正三棱锥,故①正确;∵正三棱锥的六条棱长均为,是底面的中心,∴三棱锥的高为,的高为,且,,∴,故②正确,∵点不与顶点,重合,∴,设的高为,则,得,∴,,在上,上,所以在上递增,上递减,故在上有最大值,无最小值,故③错误;当时,点分别为线段的三等分点,∴,且∴.故④正确;16【答案】(1); (2).【小问1详解】;选①:函数的图象经过点,则,所以,则,由,可得,则;选②:函数的图象可由函数的图象平移得到,即的图象可由函数的图象平移得到,则,则.选③:函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为,则函数的最小正周期为,故,故.【小问2详解】当时,,则,故,又当时,关于的不等式恒成立,故,即实数的取值范围为.17【答案】(1) (2) (3)【小问1详解】“不粘性”性能都是Ⅰ级的品牌有5个,记事件A为两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级,则【小问2详解】前六个品牌中性能都是Ⅰ级的品牌有3个,可能取值为0,1,2,;;;∴分布列为【小问3详解】后六个品牌性能都是Ⅰ级的品有2个,可能取值为0,1,2,;;;∴数学期望为18【答案】(1)证明见解析; (2); (3).【小问1详解】证明:由题意平面,平面,故平面平面,又侧面为矩形,故, 而平面平面平面,所以平面,又平面,所以 ,而平面,平面,故平面.【小问2详解】因为平面,平面,故 ,而平面,故以A为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,因为,则,则设平面的法向量为 ,则,即,令,则,设直线与平面所成角为,则.【小问3详解】因为侧面为矩形,所以,而平面,平面,故平面,则直线到平面的距离即为点到平面的距离,,平面的法向量为,故点到平面的距离为 ,即直线到平面的距离为.19【答案】(1),. (2)存在,直线.【小问1详解】由题意知椭圆过点,且离心率是,则,且,故椭圆的方程为,短轴长为.【小问2详解】假设存在直线,使得是以点为顶点的等腰三角形,由于直线过点,当直线斜率不存在时,直线l为,此时为椭圆的短轴上的两顶点,此时是以点为顶点的等腰三角形;当直线斜率存在时,设直线方程为,联立 ,得 ,当直线与椭圆C有两个不同的交点时, 该方程 ,整理得,设 ,则 ,所以,设的中点为点D,则 ,即 ,则,当时,斜率不存在,此时的斜率k为0,不满足,故,由题意可知,即,解得或,由于,故或不适合题意,综合以上,存在直线,使得是以点为顶点的等腰三角形.20【答案】(1) (2)答案详见解析 (3)证明详见解析【小问1详解】当时,,,所以切线方程为.【小问2详解】依题意,,,当时,,解得,则在区间递减;在区间递增.当时,解得或,当时, 在区间递增;在区间递减.当时,在上递增.当时,在区间递增;区间递减.【小问3详解】当时,,由(2)可知,在递减,在递增,所以,所以对任意的恒成立.21【答案】(1) (2)见解析 (3)5【小问1详解】若,则,,,,故中的项的大小从第3项开始周期变化,且周期为2.故.【小问2详解】设,若,则,因互质,故为3的倍数;若,则即,因互质,故为3的倍数,依次类推,有均为3的倍数.当时,我们用数学归纳法证明:也是3的倍数.当时,若,则,故为3的倍数;若,则,故为3的倍数,设当时,是3的倍数即为3的倍数,若,则,故为3的倍数;若,则,因为3的倍数,故为3的倍数,故当时,是3的倍数也成立,由数学归纳法可得是3的倍数成立,综上,的所有元素都是3的倍数.【小问3详解】当,则,,,,故的元素个数为5;当,则,故的元素个数为4;当,则,故的元素个数为5;当,则,故的元素个数为5;当,则,故的元素个数为4;当,则,故的元素个数为5;当,则,故的元素个数为5;当,则,故的元素个数为4;当,则,故的元素个数为5;当,则,故的元素个数为5;当,则,故的元素个数为4;当,则,故的元素个数为5;当,则,故的元素个数为1;当时,的元素个数不超过为5,综上,的元素个数的最大值为5.
相关试卷
这是一份2022-2023学年北京市昌平区高三上学期期末质量检测数学试题含答案,共28页。试卷主要包含了 已知集合,则集合, 若,,则一定有, 若,则, 图1, 设抛物线的焦点为,准线为, 已知向量满足,则的最大值是等内容,欢迎下载使用。
这是一份2022-2023学年北京市昌平区高三上学期期末质量检测数学试题PDF版含答案,共28页。
这是一份2023届北京市昌平区高三上学期期末质量检测数学试题(解析版),共19页。试卷主要包含了单选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。