北京市东城区2022-2023学年高三上学期期末考试数学答案

这是一份北京市东城区2022-2023学年高三上学期期末考试数学答案，共7页。试卷主要包含了 令，等内容，欢迎下载使用。
东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测              高三数学参考答案及评分标准       2023.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）C （3）B   （4）D        （5） D （6）D  （7）C   （8）A （9）B        （10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）     （12） （答案不唯一）（13）                （14）                 （15）① ② ④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：        又因为在锐角△ABC中，，所以．           …………………6分（Ⅱ）因为，所以.在△中，由余弦定理得所以△的周长为．                        …………………13分（17）（共15分）解：（I）在△中，过点作//交于点，连接.           因为//，所以//，所以，，，四点共面.因为//平面，平面，平面平面，所以//所以四边形是平行四边形.所以所以为的中点.                                          …………………6分（II）选条件①：.因为底面为正方形，所以.又，，所以平面.所以.如图建立空间直角坐标系，因为底面是边长为2的正方形，，则，，，，所以，，. 设平面的一个法向量为 ，则 即令 ，则.于是.设直线与平面所成角为，则 .所以直线与平面所成角为的正弦值为.                       …………………15分选条件②：.如图，连接.因为底面是边长为2的正方形，所以， .因为 ，，所以.所以 .因为， ，所以平面所以.以下同选条件① .                                        …………………15分（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，可得学生一周参加课后活动的时间位于区间[13, 17)的频率为，因此估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[13, 17)的概率为．  …………………3分（Ⅱ）从全校学生中随机选取1人，其一周参加课后活动的时间在区间[15, 17)的概率为．因此ξ．           则的分布列为：0123．                   …………………10分（Ⅲ）c<b<a．                                                          …………………13分                                           （19）（共14分）   解：（Ⅰ）由题设，解得所以椭圆的方程为.                              …………………5分     （Ⅱ）设为椭圆上一点，            则有 ． 由，，成等差数列，得      即                                               由，则.又在椭圆上，有，                            故，因为，所以.即，所以所以实数的取值范围是.                         …………………14分 （20）（共15分）解：（Ⅰ）因为所以.          所以，所以曲线在点处的切线方程为.                  …………………4分           （Ⅱ）令，得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，在时取得极小值.所以函数的极小值为，不存在极大值.                           …………………9分（Ⅲ）令，其定义域为.令， ，      所以在上单调递增.当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；当时， ，即，取得极小值.  ，   因为，所以，，所以.  因此，当时，，所以，，即，，曲线与曲线无交点；当时，，所以存在且仅存在一个，使得，对且，都有，即.所以当时，曲线与曲线有且仅有一个交点；      故当时，曲线与曲线至多存在一个交点.                   …………………15分  （21）（共15分）解：（Ⅰ）由的定义以及，可得：A的长度为3的子列为：，的长度为的子列有个，的长度为的子列有个，所以.                                            …………………5分                                                                （Ⅱ）理由如下：若是的一个子列，则为  的一个子列.若与是的两个不同子列，则与也是的两个不同子列.所以.同理，所以.同理所以有              …………………10分                        （Ⅲ）由已知可得，数列中恰有k个1，个0. 令，下证：.由于，所以的子列中含有i个0，j个1 的子列有且仅有1 个，设为：. 而数列的含有i个0，j个1的子列至少有一个，所以.数列中，不含有0的子列有个，含有1个0的子列有k个，含有2个0的子列有个，，含有个0的子列有个，所以.                                         所以的最小值为.                                   …………………15分