2023年中考数学专题——相似三角形与圆的综合运算


2023年中考数学专题——相似三角形与圆的综合运算
一、综合题
1．如图，中，，点为上一点，以为直径的交于点，连接，平分．

（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求的半径．
2．已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E.

（1）求证：AC·AD=AB·AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长.
3．如图，在⊙O中，点P为直径BA延长线上一点，直线PD切⊙O于点D，过点B作BH⊥PD，垂足为H，BH交⊙O于点C，连接BD.

（1）求证：BD平分∠ABH；
（2）如果AB＝10，BC＝6，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，当E是弧AB中点，DE交AB于点F，求DE•DF的值.
4．如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=8．过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D。

（1）求证：∠BAD+∠C=90°；
（2）求线段AD的长。
5．如图，O是线段上一点，以O为圆心，长为半径的交于点A，点C在上，连接，满足.

（1）求证：.
（2）若，求的值
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，以BD为直径的⊙O交AB于点E，交AD的延长线于点F，连结EF，BF.

（1） 求证：EF＝BF.


（2） 若CD：BD＝1：3，AC＝2 ，求EF的长.


7．如图， 中， ，且 ，以 为直径作 ，点D为 上一点，且 .连接 并延长交 的延长线于点E.

（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）求 的面积.
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点BD交AC于点E.

（1）若，求.
（2）求证：AD2＝DE•DB.
（3）若BC＝5，CD＝，求DE的长.
9．如图，E为圆O上的一点，C为劣弧EB的中点．CD切 于点C，交 的直径AB的延长线于点D．延长线段AE和线段BC，使之交于点F．

（1）求证： 和 都是等腰三角形；
（2）若 ， ，求EF的长．
10．如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．

（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径长为5，BF=2，求EF的长．
11．如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D，连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．

（1）求证：∠BAP＝∠CAP；
（2）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝5 ，BC＝10，求PC的长．
12．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，点C是弧BE的中点，过点C作PC⊥AE于点D，交AB的延长线于点P

（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若∠P＝30°，AD＝3，求阴影部分的面积.
13．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，∠CAF＝2∠B．


（1）求证：AE＝AC；
（2）若⊙O的半径为4，E是OB的中点，求EF的长．
14．如图，内接于，是的直径，E，C，D是上的点，，连接分别交于点F，G．

（1）求证：．
（2）若，求的长．
15．如图， 是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点，连接BD，CD，过点D作DP∥BC与AC的延长线交于点P．

（1）求证：△ABD∽△ADP
（2）求证：DP是⊙O的切线；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm 时，求线段PC的长．
16．已知：如图，AB是 的直径，点 为 上一点，点D是 上一点，连接 并延长至点C，使 与AE交于点F．

（1）求证： 是 的切线；
（2）若 平分 ，求证： ．
17．如图所示，在中，点O在斜边上，以O为圆心，为半径作圆O，分别与、相交于点D、E，连接，已知.

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求劣弧的长；
（3）若，，求的长.
18．如图， 为 的切线，A为切点，点B在 上，且 ，连 并延长交 的延长线于点C，交 于点D.

（1）求证： 为 的切线；
（2）连接 、 交于点E.若 ， ，求 的值.
19．如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F．

（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F.

（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝ ，AB＝10，求AE的长；
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的 ，求 的值.

答案解析部分
1．【答案】（1）证明：如图，连接，

∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，则，

∴
∵，
∴，
∴，
∵，，，
在中，，
∴，
∴的半径为．
【解析】【分析】（1）连接，由角平分线的性质得出，从而得出，，即可得出结论；
（2）连接，则，由，证出，得出，在中，利用勾股定理得出CE、CD的值，即可得出结论。
2．【答案】（1）证明：连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90o，∴∠ADE=∠ABC，在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC，∴ ，即AC·AD=AB·AE
（2）解：连接OD，∵BD是圆O的切线，则OD⊥BD，在Rt△OBD中，OE=BE=OD
∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2×2=4.

【解析】【分析】（1）连接DE，由题意可得∠ADE=90°，∠ABC=90°，又∠A是公共角，从而可得△ADE∽△ABC，由相似比即可得；（2）连接OB，由BD是切线，得OD⊥BD，有E为OB中点，则可得OE=BE=OD，从而可得∠OBD=∠BAC=30°，所以AC=2BC=4；
3．【答案】（1）证明：如图连接OD.

∵PD是⊙O的切线，
∴OD⊥PD.
又∵BH⊥PD，
∴∠PDO=∠PHB=90°，
∴，
∴∠ODB=∠DBH.
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠DBH，
∴BD平分∠ABH.
（2）解：如图过点O作OG⊥BC，G为垂足，

则BG=CG=3，
在Rt△OBG中，OG=4 ∵∠ODH=∠DHG=∠HGO=90°，
∴四边形 ODHG是矩形.
∴OD=GH=5，DH=OG=4，BH=8.
在Rt△DBH中，BD=
（3）解：

连接AD，AE，则∠AED=∠ABD，∠ADB=90°.在Rt△ADB中，AD=
又∵E是弧AB的 中点，
即 ，
∴∠ADE=∠EDB，
∴△ADE∽△FDB.
DE•DF=DB•AD=40.
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得OD⊥PD，根据垂直的概念可得∠PDO=∠PHB=90°，推出OD∥BH，根据平行线的性质可得∠ODB=∠DBH，由等腰三角形的性质可得∠ODB=∠OBD，则∠OBD=∠DBH，据此证明；
（2）过点O作OG⊥BC，G为垂足，则BG=CG=3，易得四边形 ODHG是矩形，得到OD=GH=5，DH=OG=4，BH=8，然后利用勾股定理进行计算；
（3）连接AD，AE，则∠AED=∠ABD，∠ADB=90°，根据圆周角定理可得∠ADE=∠EDB，证明△ADE∽△FDB，然后根据相似三角形的性质进行求解.
4．【答案】（1）证明：BD为O的切线

∴∠C=∠ABD
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠C+∠BAD=90°
（2）解：连接OB，过O作OE⊥AB于E，
∴AE=BE= AB=4，
由勾股定理得
OE= =3，
∵BD为O的切线
∴OB⊥BD
∴∠OBD=90°
∵∠ADB=90°
∴AD∥OB，
∴∠DAB=∠ABO，
∵∠D=∠OEB=90°
∴△OEB∽△BDA，
∴
∴
∴AD=
则线段AD的长为
【解析】【分析】（1）利用弦切角定理可证得∠C=∠DAB，再利用垂直的定义，可得到∠ADB=90°，然后利用三角形内角和定理可证得结论。
（2）连接OB，过O作OE⊥AB于E，利用垂径定理求出BE的长，利用勾股定理求出OE的长，再利用切线的性质去证明AD∥OB， 就可推出∠DAB=∠ABO，然后证明△OEB∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，由此可求出AD的长。
5．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴.
（2）解：如下图所示，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
【解析】【分析】（1）由比例的性质将等积式化为比例式，进而根据有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△PAC∽△PCB；
（2）连接OC，根据相似三角形的性质可得 ， ，根据等边对等角可得∠OCA=∠CAO，∠OCB=∠OBC，可推出∠PCA=∠OCB，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，则推出∠PCO=90°，PB=4PA，PO=2.5PA，利用勾股定理建立方程用含PA的式子表示出PC，从而即可得出答案.
6．【答案】（1）证明：连接DE，如图，



∵BD为直径，
∴∠DBF＝∠DEB＝90°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠4＝90°，∠2+∠ABF＝90°，
∴∠4＝∠ABF，
∵∠4＝∠5，∠5＝∠6，
∴∠6＝∠ABF，
∴EF＝BF
（2）解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，


∴DE＝DC，
∵CD：BD＝1：3，
∴DE：BD＝1：3，
∵∠DEB＝∠C，∠DBE＝∠ABC，
∴△BDE∽△BAC，
∴ ，
∴ ＝3，
∴AB＝3AC＝3×2 ＝6 ，
∴BC＝ ＝8，
∴CD＝ BC＝2，
∴AD＝ ，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠AFB，
∴△ACD∽△AFB，
∴ ，即 ，
∴BF＝2 ，
∴EF＝2 .


【解析】【分析】（1）连接DE， 由BD为直径得∠DBF＝∠DEB＝90°，根据角平分线定义得∠1＝∠2，进一步得出∠4＝∠ABF，再由∠4＝∠5，∠5＝∠6，可得∠6＝∠ABF，即可推出EF＝BF；
（2）根据角平分线性质可知DE＝DC，由CD：BD＝1：3得DE：BD＝1：3；由∠DEB＝∠C，∠DBE＝∠ABC，可判定△BDE∽△BAC，再利用相似性质得 ，即 =3，进而求得AB=6 ，再利用勾股定理求得BC=8，AD=2 ；再根据∠1＝∠2，∠C＝∠AFB，可判定△ACD∽△AFB，由相似性质得 ，代入数据即可求出BF，进而求得EF.
7．【答案】（1）解：CD与⊙O相切.
理由如下：
连接OC，如图，

在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SSS），
∴∠CDO=∠CBO=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：∵∠OEB=∠CED，∠EBO=∠EDC，
∴△OEB∽△CED，
∴ ，
∵AB=BC=CD=6，
∴OD=OB=3，
∴ ，
∴CE=2OE，DE=2BE，
设OE=x，则CE=2x，
∴BE=CE-BC=2x-6，
∴DE=2BE=4x-12，
∵DE=OE+OD=x+3，
则有4x-12=x+3，
解得：x=5，即OE=5，
∴DE=8，
∴△CDE的面积为 =24.
【解析】【分析】（1）连接OC，证明△COD≌△COB得到∠CDO=∠CBO=90°，然后根据切线的判定定理可判断CD为⊙O的切线；（2）证明△OEB∽△CED，得到 ，设OE=x，根据DE的长得到关于x的方程，求出x值即OE，从而得到DE，根据三角形面积公式即可求出结果.
8．【答案】（1）解：∵BC是⊙O的直径
∴∠CAB＝90°
∵
∴∠ABC＝90°-30°=60°
∵D是劣弧的中点，得，
∴∠ABD＝∠DAC=30°
∴=
（2）证明：由（1）得∠ABD＝∠DAC，
又∵∠ADB＝∠EDA，
∴△ABD∽△EAD，
∴AD2＝DE•DB；
（3）解：由D是劣弧的中点，得AD＝DC，则DC2＝DE•DB
∵CB是直径，
∴△BCD是直角三角形.
∴BD＝，由DC2＝DE•DB得，
（）2＝2DE，
解得：DE＝.
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠CAB＝90°，则∠ABC＝90°-∠ACB=60°，根据中点的概念可得，由圆周角定理可得∠ABD＝∠DAC=30°，据此求解；
（2）由（1）得∠ABD＝∠DAC，证明△ABD∽△EAD，然后由相似三角形的性质证明即可；
（3）根据弧、弦的关系可得AD＝DC，则DC2＝DE•DB，由勾股定理求出BD，然后根据DC2＝DE•DB就可求出DE.
9．【答案】（1）证明：如图，连接OC

∵AB是圆O的直径
∴
∵C为劣弧EB的中点

∴ ，
在 和 中，
∴
∴ ，
是等腰三角形
∴
∴ 是等腰三角形
（2）解：如图，连接OC、BE

设圆O的半径为 ，则 ，


是圆O的切线
，即
在 中， ，即
解得
， ，
由圆周角定理得： ，
由（1）可知，

，即
在 和 中，

，即
解得
则 ．
【解析】【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理得到∠EAC=∠BAC，∠ACB=90°，则可证明△ACF≌△ACB，所以∠F=∠ABC，BC=CF，利用弧CE-弧CB得到CE=CB，则CE=CF，于是可判断△ABF和△CEF都为等腰三角形；
（2） 连接OC、BE ， 设圆O的半径为 ，则 ， ，利用勾股定理求出r的值，再利用垂径定理及相似三角形的性质列出比例式求解即可。
10．【答案】（1）证明：连接OE，

∵AB是 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
由图可知∠BOE=2∠BDE
又∵∠A=2∠BDE
∴∠A=∠BOE
∵∠C=∠ABD
∴∠BOE+∠C=90°
∴OE⊥EC
∴CE是⊙O的切线
（2）解：连接BE，

由图可知∠BED=∠A=∠BOE，
∴△BEF∽△BOE
∴
∵OB=OE=5，BF=2
∴BE=EF
∴EF2=OE·BF=10
∴EF=
故答案为：（1）证明见解析；（2） ．
【解析】【分析】（1）连接OE、BE，首先得到△ABD∽△OCE，进而推出∠OCE=90°，即可得到结论；（2）根据直径所对的圆周角是直角和圆的切线垂直于过切点的半径，同角的余角相等，可得结论；（3）连接BE，得出△OBE∽△EBF，再利用相似三角形的性质得出OB的长，即可。
11．【答案】（1）证明：∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴OA⊥BC，
∴弧BE＝弧CF，
∴∠BAP＝∠CAP；
（2）解：PC与圆O相切，理由为：
过C点作直径CE，连接EB，如图，

∵CE为直径，
∴∠EBC＝90°，即∠E+∠BCE＝90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD．
∴∠E＝∠BCP，
∴∠BCP+∠BCE＝90°，即∠PCE＝90°，
∴CE⊥PC，
∴PC与圆O相切；
（3）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴AM⊥BC，
∴BM＝CM＝ BC＝5，
∴AC＝AB＝5 ，
在Rt△AMC中，AM＝ ＝5 ，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OM＝AM﹣r＝5 ﹣r，
在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，即 +52＝r2，
解得：r＝3 ；
∴CE＝2r＝6 ，OM＝5 ﹣r＝2 ，
∴BE＝2OM＝4 ，
∵∠E＝∠MCP，
∴Rt△PCM∽Rt△CEB，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴PC＝ ．
【解析】【分析】（1）通过证明弧BE＝弧CF，证明角相等；（2）过C点作直径CE，连接EB，利用圆周角及平行线的性质证明∠BCP+∠BCE＝90°；（3）利用切线的性质证明角相等，再证明Rt△PCM∽Rt△CEB，利用相似的性质列比例式求解。
12．【答案】（1）证明：连接OC.

∵点C为弧BE的中点，
∴弧BC=弧CE，
∴∠BAC=∠EAC.
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠EAC，
∴OC∥AE.
∵PC⊥AE，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线.
（2）解：在Rt△ADP中，∠P=30°，AD=3，
∴AP=2AD=6.
∵OC∥AD，
∴ ，
设OC=x，则OP=6﹣x，
∴ ，
解得：x=2，
∴OC=2，OP=4，
∴在Rt△OCP中，CP 2 ，
∴S阴=S△OCP﹣S扇形BOC OC•PC 2 .
【解析】【分析】（1）连接OC，如图，由弧BC=弧CE得到∠BAC=∠EAC，加上∠OCA=∠OAC.则∠OCA=∠EAC，所以OC∥AE，从而得到PC⊥OC，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）解直角三角形求得AP，根据平行线分线段成比例定理求得OC，OP，利用勾股定理求得CP，然后根据S阴=S△OCP﹣S扇形BOC求解即可.
13．【答案】（1）解：连接AO．

则∠AOC＝2∠B，
∵∠CAF＝2∠B，∴∠CAF＝∠AOC．
∵∠AOC＝∠OEA＋∠EAO，∴∠OAC＝∠AEC．
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE
（2）解：连接BF．

∵∠OAC＝∠AEC，∠C公共，
∴△OCA∽△ACE，
∵E是OB的中点，⊙O的半径为4，
∴OC＝4，CE＝6．
∴AC＝2
∵AE＝AC，∴AE＝2
∵∠CAE=∠CBF，∠C＝∠F，∴△ACE∽△BFE，
，∴EF=
【解析】【分析】（1）连接AO，利用圆周角定理可得到∠AOC＝2∠B，结合已知可证得∠CAF＝∠AOC，再利用三角形的外角的性质去证明∠OAC＝∠AEC，利用等边对等角可得到∠OAC＝∠OCA，由此可以推出∠ACE=∠AEC，利用等角对等边可证得结论。
（2）利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△OCA∽△ACE，利用相似三角形的对应边成比例，就可求出OC，CE的长，从而可求出AC，AE的长；然后证明△ACE∽△BFE，利用相似三角形的性质，就可求出EF的长。
14．【答案】（1）证明：，
，
，为的直径，

，
．
（2）解：为的直径，
，
，
，，
又，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得∠EAC=∠BAC，∠E=∠CBA，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，由相似三角形的性质可得∠EFA=∠C=90°，，证明△AEF≌△AFG，得到AE=AG，EF=FG，易证△AEG∽△DBG，设EF=FG=2x，AE=AG=5x，则AB=5x+4，根据相似三角形的性质可得x，进而可得AE.
15．【答案】（1）证明：∵ 的平分线交 于点
∴∠BAD=∠DAP，
又∵ ，∴∠ACB=∠APD
又∠ACB=∠ADB，∴∠APD=∠ADB
∴△ABD∽△ADP
（2）证明：如图，连接 ，

是 的直径， ，
平分 ， ，
由圆周角定理得： ，
，
又 ，
∴ 是 的切线
（3）解： ，
， ，
在 中， ，
由圆周角定理得： ，
， ，
又 ， ，
， ，
由圆内接四边形的性质得： ，
，
，
，即 ，解得
【解析】【分析】(1)根据角平分线定义求出∠BAD=∠DAP，再根据圆周角的性质和平行线的性质求出∠APD=∠ADB，则可证明 △ABD∽△ADP ；
(2)根据角平分线的定义和圆周角定理，求出∠BOD=∠BAC=90°，结合平行线的性质，再求出OD⊥DP，即可得出结论；
(3)根据勾股定理先求出BC，再求出出BD=CD，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质求出BC=BD= 13，再证明△ABD∽△DCP，根据相似三角形的性质列出比例式求解，即可求出结果.
16．【答案】（1）证明： 为直径，
，
在 中， ，
又 ，
，
，即 ，
，
又 为 的直径，
是 的切线；
（2） 平分 ，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据题意得出 ，在 中， ，得出 ，再根据 为 的直径，即可得出结论；
（2）利用相似三角形的性质证出 ，得出，即可得出结论。
17．【答案】（1）证明：如图1，连接OD，

∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD=∠ODB，
∴∠ODB+∠ADC=90°，
∴∠ADO=90°，
又∵OD是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠CAD=30°，∠CAB=60°，
∴AD=2CD=3，∠DAB=30°，
∴AD=OD，
∴OD=，
∵OD=OB，∠B=30°，
∴∠B=∠ODB=30°，
∴∠DOB=120°，
∴劣弧BD的长=；
（3）解：如图2，连接DE，

∵BE是直径，
∴∠BDE=90°，
∴∠ACB=∠EDB=90°，
∴AC∥DE，
∵∠B=∠CAD，∠ACD=∠EDB，
∴△ACD∽△BDE，
∴，
∴设CD=2x，DE=3x，
∵AC∥DE，
∴，
∴，
∴x=，
∴CD=1，BC=BD+CD=4，
∴，
∵DE∥AC，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）如图1，连接OD，由等腰三角形的性质可证∠B＝∠ODB＝∠CAD，由直角三角形的性质可求∠ADO＝90°，再根据圆的切线的判定可求解；
（2）分别求出OD的长度和∠DOB的度数，再由弧长公式可求解；
（3） 连接DE，由有两个角对应相等的两个三角形相似可证△ACD∽△BDE，根据相似三角形的对应边成比例得，设CD＝2x，DE＝3x，由平行线分线段成比例可得，据此求得x的值，用勾股定理求得AB的值，根据平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"可得比例式求解.
．
18．【答案】（1）证明：连接 ， ，

∵ 为 的切线，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴
∴
∴ 为 切线；
（2）解：设 ，在 中，

∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，在 中，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
在 中， ，
连接AB与OP交于G，连接BD，
∵OA=OB，PA=PB，
∴AB⊥OP，AG=BG，
∴ ，即 ，
∴ ，
在 中， ，
∵OA=OD，AG=BG，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）连接 ，，利用切线的性质得出∠OAP=90°，根据SSS证明，可得，根据切线的判定定理即证；
（2）在中，利用勾股定理求出半径为3，从而得出AC=8，在 中， ，从而求出PB=PA=6，利用勾股定理求出OP=3.连接AB与OP交于G，连接BD， 由求出AG=， 在 中利用勾股定理求出OG=， 从而得出 ，再证明，利用相似三角形对应边成比例即得 .
19．【答案】（1）证明：如图，连接，

∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，

∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴
∴．
【解析】【分析】（1）连接OD，先证明，即，再结合是的半径，即可得到是的切线；
（2）连接AD，先证明，可得，再将数据代入可得，最后求出CE的长即可。
20．【答案】（1）证明：连接AD，

∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴ ，
∴OD⊥BE
（2）解：∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝ ，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴ ，即 ，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝8
（3）解：∵ ，
∴设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，
∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE＝5k，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∴△OBF∽△ABE，
∴ ，
∴S△ABE＝4S△OBF，
∴S△ABE＝4S△OBF＝24k，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，
∵△CDE∽△CAB，
∴ ，
∴ ，
∵BC＝2CD，
∴
【解析】【分析】 （1）连AD，由AB为 O的直径，根据圆周角定理的推论得到AD⊥BC，AE⊥BE，而AB=AC，根据等腰三角形的性质有BD=DC， ， 由垂径定理可得OD⊥BE；
（2）根据直角三角形的斜边中线的性质得出求出BC的长，然后证明 △CDE∽△CAB， 根据相似三角形的性质列比例式求出CE长，最后根据线段的和差关系求出AE长即可；
（3） 设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k， 先证明 △OBF∽△ABE， 得出 ，则得S△ABE＝24k，根据S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE，求得S△CAB＝34k，再根据△CDE∽△CAB， 由相似的性质列比例式求出CD和CA的比值，结合BC=2CD，即可求出.