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高中物理高考 专题5 1 开普勒定律 万有引力定律及其成就【讲】解析版
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这是一份高中物理高考 专题5 1 开普勒定律 万有引力定律及其成就【讲】解析版，共14页。试卷主要包含了物理观念，科学思维，科学态度与责任，1倍，半径约为地球的0等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27836" 一 讲核心素养 PAGEREF _Tc27836 1
\l "_Tc18717" 二 讲必备知识 PAGEREF _Tc18717 1
\l "_Tc29888" 【知识点一】开普勒行星运动定律、万有引力定律的理解与应用 PAGEREF _Tc29888 1
\l "_Tc7606" 【知识点二】星体表面的重力加速度 PAGEREF _Tc7606 3
\l "_Tc5287" 【知识点三】天体质量和密度的估算 PAGEREF _Tc5287 6
\l "_Tc14854" 三．讲关键能力 PAGEREF _Tc14854 8
\l "_Tc19520" 【能力点】.会应用开普勒定律及万有引力定律分析天体追及相遇问题 PAGEREF _Tc19520 8
\l "_Tc27586" 四．讲模型思想---补偿法思想的应用 PAGEREF _Tc27586 10
一 讲核心素养
1.物理观念：万有引力、宇宙速度。
(1)通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。
(2)会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
2.科学思维：万有引力定律、开普勒定律、双星模型、多星运动模型。
(1)理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.。
(2)掌握双星、多星系统，会解决相关问题、会分析天体的“追及”问题
3.科学态度与责任：万有引力与卫星发射、变轨、回收。
会处理人造卫星的变轨和对接问题.知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。
二 讲必备知识
【知识点一】开普勒行星运动定律、万有引力定律的理解与应用
1．开普勒行星运动定律
(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
(3)开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．
2．万有引力定律
公式F＝Geq \f(m1m2,r2)适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算．当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线．
【例1】(2021·安阳模拟)2020年6月15日，中国科学院宣布，中国首颗量子科学实验卫星“墨子号”在国际上首次实现千公里级基于纠缠的量子密钥分发。“墨子号”运行轨道为如图所示的椭圆轨道，地球E位于椭圆的一个焦点上，轨道上标记了“墨子号”卫星经过相等时间间隔 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Δt＝\f(T,14)，T为轨道周期))的位置。如果作用在卫星上的力只有地球E对卫星的万有引力，则下列说法正确的是( )
A. 面积S1>S2
B. 卫星在轨道A点的速度小于在B点的速度
C. T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D. T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴
【答案】C
【解析】：根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，故面积S1＝S2，选项A错误；根据开普勒第二定律可知，卫星在轨道A点的速度大于在B点的速度，选项B错误；根据开普勒第三定律可知 eq \f(a3,T2)＝C，其中C为常数，a为椭圆半长轴，选项C正确，D错误。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。要求考生在正确理解开普勒定律。
【技巧总结】应用开普勒行星运动定律的三点注意
(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
(3)开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。
【例2】(2020·山东高考)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到0的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
A. m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g－\f(v0,t0))) B. m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g＋\f(v0,t0)))
C. m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g－\f(v0,t0))) D. m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g＋\f(v0,t0)))
【答案】B
【解析】：忽略星体的自转，万有引力等于重力，G eq \f(Mm,R2)＝mg，则 eq \f(g火,g地)＝ eq \f(M火,M地)· eq \f(R eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(地)),R eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(火)))＝0.1× eq \f(1,0.52)＝0.4，解得g火＝0.4g地＝0.4g，着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知0＝v0－at0，解得 a＝ eq \f(v0,t0)，对匀减速过程，根据牛顿第二定律得f－mg火＝ma，解得着陆器受到的制动力大小为f＝mg火＋ma＝m(0.4g＋ eq \f(v0,t0))，A、C、D错误，B正确。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。
【变式训练1】(多选)(2021·抚州七校联考)2018年7月是精彩天象集中上演的月份，“水星东大距”“火星冲日”“月全食”等天象先后扮靓夜空，可谓精彩纷呈。发生于北京时间7月28日凌晨的“月全食”，相对于2018年1月31日发生的“月全食”来说，7月的全食阶段持续时间更长。已知月球绕地球的运动轨道可看成椭圆，地球始终在该椭圆轨道的一个焦点上，则相对于1月的月球而言，7月的月球( )
A．绕地球运动的线速度更大
B．距离地球更近
C．绕地球运动的线速度更小
D．距离地球更远
【答案】CD
【解析】地球绕着太阳公转，月球又绕着地球公转，发生月食的条件是地球处于月球和太阳中间，挡住了太阳光，月全食持续的时间长短和太阳、地球、月球三者的位置关系密切相关，7月这次月全食的时间比较长是由于月球和地球的距离比较远。根据开普勒第二定律可知此时月球绕地球运动的线速度更小，故A、B错误，C、D正确。
【变式训练2】(2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
【答案】 B
【解析】 万有引力表达式为F＝Geq \f(Mm,r2)，则同一物体在火星表面与地球表面受到的引力的比值为eq \f(F火引,F地引)＝eq \f(M火r\\al(地2),M地r\\al(火2))＝0.4，选项B正确．
【知识点二】星体表面的重力加速度
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．
(1)在两极，向心力等于零，mg＝eq \f(GMm,R2)；
(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；
(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝eq \f(GMm,R2)－mRωeq \\al(2,自).
2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力
地球自转，物体所受的重力近似等于地球表面处的万有引力，即mg＝eq \f(GMm,R2)，R为地球半径，g为地球表面附近的重力加速度，故GM＝gR2.
3．距地面一定高度处的重力与万有引力
物体在距地面一定高度h处时，mg′＝eq \f(GMm,（R＋h）2)，R为地球半径，g′为该高度处的重力加速度，故GM＝g′(R＋h)2.
【例1】(2020·安徽皖南八校联考)一颗在赤道上空做匀速圆周运动运行的人造卫星，其轨道半径上对应的重力加速度为地球表面重力加速度的四分之一，则某一时刻该卫星观测到地面赤道最大弧长为(已知地球半径为R)( )
A.eq \f(2,3)πR B.eq \f(1,2)πR
C.eq \f(1,3)πR D.eq \f(1,4)πR
【答案】 A
【解析】卫星所在高度处Geq \f(Mm,r2)＝mg′，而地球表面处Geq \f(Mm,R2)＝mg，因为g′＝eq \f(1,4)g，解得r＝2R，则某一时刻该卫星观测到地面赤道的弧度数为eq \f(2π,3)，则观测到地面赤道最大弧长为eq \f(2,3)πR，故选A.
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。。
【必备知识】万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2。
【例2】(2021·辽宁省实验中学月考)由中国科学院、中国工程院两院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙号”下潜突破7 000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则“蛟龙号”所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为( )
A.eq \f(R－d,R＋h) B.eq \f(（R－d）2,（R＋h）2)
C.eq \f(（R－d）（R＋h）,R2) D.eq \f(（R－d）（R＋h）2,R3)
【答案】：D
【解析】：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝eq \f(GM,R2)，由于地球的质量为：M＝ρeq \f(4,3)πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝eq \f(GM,R2)＝eq \f(Gρ\f(4,3)πR3,R2)＝eq \f(4,3)πGρR，根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，因此在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”所在处的重力加速度g′＝eq \f(4,3)πGρ(R－d)．所以有eq \f(g′,g)＝eq \f(R－d,R).根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,（R＋h）2)＝ma，得“天宫一号”的加速度a＝eq \f(GM,（R＋h）2)，所以eq \f(a,g)＝eq \f(R2,（R＋h）2)，所以eq \f(g′,a)＝eq \f(（R－d）（R＋h）2,R3)，故D正确，A、B、C错误．
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维及科学态度。本题以科技前沿为情境要求考生能理解万有引力定律并能应用其分析具体的问题。
【变式训练1】(2021·广州天河区二模)假定太阳系一颗质量均匀且可看成球体的小行星，起初自转可以忽略。现若该行星自转加快，当其自转的角速度增加为ω时，该行星表面“赤道”上的物体对星球的压力减小至原来的eq \f(2,3)。已知引力常量G，则该星球密度ρ为( )
A．eq \f(9ω2,8πG) B．eq \f(9ω2,4πG) C．eq \f(3ω2,2πG) D．eq \f(ω2,3πG)
【答案】B
【解析】本题考查行星密度的求解问题。忽略行星的自转影响时，该行星表面的物体受到的万有引力等于重力，即Geq \f(Mm,r2)＝mg，自转不可忽略时，万有引力提供重力及物体随行星自转的向心力，则自转角速度为ω时有Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(2,3)mg＋mω2r，行星的密度为ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πr3)，解得ρ＝eq \f(9ω2,4πG)，故选B。
【变式训练2】(2020·贵阳一中适应考试)假设地球可视为质量均匀分布的球体，由于地球的自转，地球表面上不同纬度的重力加速度有所差别，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g1，则在纬度为30°的地球表面上重力加速度为( )
A.eq \f(\r(3geq \\al(2,0)＋geq \\al(2,1)),2) B.eq \f(\r(geq \\al(2,0)＋3geq \\al(2,1)),2)
C.eq \r(geq \\al(2,0)＋2geq \\al(2,1)－\r(3)g0g1) D.eq \r(geq \\al(2,0)＋geq \\al(2,1)－\r(3)g0g1)
【答案】：B
【解析】的向心加速度a1＝(g0－g1)cs 30°，在纬度为30°的地球表面重力加速度g′＝eq \r(geq \\al(2,0)＋aeq \\al(2,1)－2g0a1cs 30°)＝eq \f(\r(geq \\al(2,0)＋3geq \\al(2,1)),2)，故B正确．
【知识点三】天体质量和密度的估算
中心天体质量和密度常用的估算方法
【例1】(多选)(2019·湖南地质中学三模)若宇航员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝eq \f(hv\\al(2,0),L2) B．月球的平均密度ρ＝eq \f(3hv\\al(2,0),2πGL2R)
C．月球的第一宇宙速度v＝eq \f(v0,L)eq \r(2hR) D．月球的质量m月＝eq \f(hR2v\\al(2,0),GL2)
【关键信息】：“水平抛出一个小球，测出水平射程”，可获得月球表面的重力加速度。
【答案】BC
【解析】设月球表面的重力加速度为g月，小球在月球表面做平抛运动，根据平抛知识可知在水平方向上L＝v0t，在竖直方向上h＝eq \f(1,2)g月t2，解得g月＝eq \f(2hv\\al(2,0),L2)，故A错误；在月球表面eq \f(Gm月m,R2)＝mg月，解得m月＝eq \f(2hR2v\\al(2,0),GL2)，则月球密度为ρ＝eq \f(m月,\f(4,3)πR3)＝eq \f(\f(2hR2v\\al(2,0),GL2),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3hv\\al(2,0),2πGL2R)，故B正确，D错误；月球的第一宇宙速度v＝eq \r(g月R)＝eq \f(v0,L)eq \r(2hR)，故C正确。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。
【必备知识】估算天体质量和密度的“四点”注意
(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq \f(4,3)πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。
(4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用。
【变式训练1】．(多选)1798年，英国物理学家卡文迪什测出引力常量G，因此卡文迪什被人们称为能称出地球质量的人。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，一年的时间为T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。你能计算出( )
A. 地球的质量m地＝ eq \f(gR2,G) B. 太阳的质量m太＝ eq \f(4π2L eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)),GT eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)))
C. 月球的质量m月＝ eq \f(4π2L eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)),GT eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))) D. 可求出月球、地球及太阳的密度
【答案】AB
【解析】：对地球表面上的一个质量为m0的物体来说，应有 m0g＝ eq \f(Gm地m0,R2)，所以地球的质量m地＝ eq \f(gR2,G)，A项正确；对地球绕太阳的运动来说，有 eq \f(Gm太m地,L eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)))＝m地 eq \f(4π2,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)))L2，则 m太＝ eq \f(4π2L eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)),GT eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)))，B项正确；对月球绕地球的运动来说，能求地球的质量，但不知道月球的相关参量及月球的卫星的运动参量，故无法求出月球的质量和密度，C、D项错误。
【变式训练2】．(2021·辽宁模考)(多选)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是( )
A. 月球平均密度为 eq \f(3v2,4πGR2) B. 月球平均密度为 eq \f(3v2r,4πGR3)
C. 月球表面重力加速度为 eq \f(v2,R) D. 月球表面重力加速度为 eq \f(v2r,R2)
【答案】BD
【解析】：根据万有引力定律和牛顿第二定律可得 eq \f(GMm,r2)＝ eq \f(mv2,r)，又M＝ eq \f(4,3)πR3·ρ，解得ρ＝ eq \f(3v2r,4πGR3)，A错误，B正确；由于 eq \f(GMm,R2)＝mg，联立可得g＝ eq \f(v2r,R2)，C错误，D正确。
三．讲关键能力
【能力点】.会应用开普勒定律及万有引力定律分析天体追及相遇问题
1．相距最近
两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3…)．
2．相距最远
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)．
【例1】当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是( )
A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年
B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年
C．木星运行的加速度比地球的大
D．木星运行的周期比地球的小
【答案】 B
【解析】次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝eq \f(2π,T1)，ω2＝eq \f(2π,T2)，解得t≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2017年，故A错误，B正确；设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a.对行星由牛顿第二定律可得Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(4π2,T2)r，解得a＝eq \f(GM,r2)，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C、D错误．
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。要求普勒定律及万有引力定律并能根据问题情境构建物理模型。
【技巧总结】对于天体追及问题的处理思路
(1)根据eq \f(GMm,r2)＝mrω2，可判断出谁的角速度大；
(2)根据天体相距最近或最远时，满足的角度差关系进行求解．
【变式训练1】(多选)(2021·山西太原市质检)如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
【答案】 AD
【解析】 根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A对，B错；设图示位置ac连线与bc连线的夹角为θ【变式训练2】经长期观测发现，A行星运行轨道的半径近似为R0，周期为T0，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且周期性地每隔t0(t0＞T0)发生一次最大的偏离，如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，已知行星B与行星A同向转动，则行星B的运行轨道(可认为是圆轨道)半径近似为( )
A．R＝R0eq \r(3,\f(t\\al(02),t0－T02)) B．R＝R0eq \f(t0,t0－T0)
C．R＝R0eq \r(\f(t\\al(03),t0－T03)) D．R＝R0eq \r(\f(t0,t0－T0))
【答案】 A
【解析】 A行星运行的轨道发生最大偏离，一定是B对A的引力引起的，且B行星在此时刻对A有最大的引力，故此时A、B行星与恒星在同一直线上且位于恒星的同一侧，设B行星的运行周期为T，运行的轨道半径为R，根据题意有eq \f(2π,T0)t0－eq \f(2π,T)t0＝2π，所以T＝eq \f(t0T0,t0－T0)，由开普勒第三定律可得eq \f(R\\al(03),T\\al(02))＝eq \f(R3,T2)，联立解得R＝R0eq \r(3,\f(t\\al(02),t0－T02))，故A正确，B、C、D错误．
四．讲模型思想---补偿法思想的应用
补偿法的应用技巧
对于形状不规则、缺损或不完整的物理模型，往往不符合典型情境下的概念、规律的适用条件，不能直接应用公式求解，此时需要用另外一个物体和原物体组合在一起成为一个完整或对称的简单、规范的物理模型，整体可以应用相关规律求解，同时“补”上的物体的相关物理量也很好求，待求的物理量可以利用整体去掉“补”上的部分求得。
【例1】(2021·陕西宝鸡市模拟)如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为eq \f(R,2)的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( )
A．Geq \f(Mm,R2) B．0
C．4Geq \f(Mm,R2) D．Geq \f(Mm,2R2)
【答案】 D
【解析】 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对质点的万有引力等于完整大球体对质点的万有引力与挖去的小球体对质点的万有引力之差，挖去的小球体球心与质点重合，对质点的万有引力为零，则剩余部分对质点的万有引力等于完整大球体对质点的万有引力．以完整大球体球心为中心分离出半径为eq \f(R,2)的球，易知其质量为eq \f(1,8)M，则分离后的均匀球壳对质点的万有引力为零．综上可知，剩余部分对质点的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，F＝Geq \f(\f(1,8)Mm,(\f(R,2))2)＝Geq \f(Mm,2R2)，故D正确．
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【变式训练】(2021·安徽肥东高级中学调研)如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为 eq \f(R,2) 的小球体，并在空腔中心O处放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0)( )
A. G eq \f(Mm,R2) B. 0
C. 4G eq \f(Mm,R2) D. G eq \f(Mm,2R2)
【答案】D
【解析】：若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对O处质点的引力等于完整大球体对O处质点的引力与挖去小球体对O处质点的引力之差，挖去的小球体球心与O处质点重合，对O处质点的万有引力为0，则大球体剩余部分对O处质点的万有引力等于完整大球体对O处质点的万有引力；将完整大球体分为以大球体球心为中心的半径为 eq \f(R,2) 的球以及剩余均匀球壳，可知半径为 eq \f(R,2) 的球的质量为 eq \f(1,8)M，剩余均匀球壳对O处质点的万有引力为0，故大球体剩余部分对O处质点的万有引力 F＝G eq \f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2)))\s\up12(2))＝G eq \f(Mm,2R2)，故D正确。
【变式训练2】如图所示，一个质量为M的匀质实心球体，半径为2R，如果从该球体的正中心挖去一个半径为R的球体，放在距离为d的地方，则两部分之间的万有引力是多大(引力常量为G)?
【答案】： eq \f(7GM2,64d2)
【解析】：设被挖去的球体质量为m，根据补偿法可得左侧球体填满时两球体间的万有引力为
F＝G eq \f(Mm,d2)
填补的半径为R的球体对右侧被挖去球体的万有引力为
F1＝ eq \f(Gm2,d2)
其中被挖去的球体质量m＝ eq \f(M,8)
则两部分之间的万有引力
F2＝F－F1＝ eq \f(7GM2,64d2)。
质
量
的
计
算
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
利用运
行天体
r、T
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得
到中心
天体的
质量
r、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
M＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(v3T,2πG)
密
度
的计
算
利用天体表面
重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝eq \f(gR2,G)
－
利用运
行天体
r、T、R
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时
ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近
地卫星
只需测
出其运
行周期
利用天体
表面重力
加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)
—
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27836" 一 讲核心素养 PAGEREF _Tc27836 1
\l "_Tc18717" 二 讲必备知识 PAGEREF _Tc18717 1
\l "_Tc29888" 【知识点一】开普勒行星运动定律、万有引力定律的理解与应用 PAGEREF _Tc29888 1
\l "_Tc7606" 【知识点二】星体表面的重力加速度 PAGEREF _Tc7606 3
\l "_Tc5287" 【知识点三】天体质量和密度的估算 PAGEREF _Tc5287 6
\l "_Tc14854" 三．讲关键能力 PAGEREF _Tc14854 8
\l "_Tc19520" 【能力点】.会应用开普勒定律及万有引力定律分析天体追及相遇问题 PAGEREF _Tc19520 8
\l "_Tc27586" 四．讲模型思想---补偿法思想的应用 PAGEREF _Tc27586 10
一 讲核心素养
1.物理观念：万有引力、宇宙速度。
(1)通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。
(2)会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
2.科学思维：万有引力定律、开普勒定律、双星模型、多星运动模型。
(1)理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.。
(2)掌握双星、多星系统，会解决相关问题、会分析天体的“追及”问题
3.科学态度与责任：万有引力与卫星发射、变轨、回收。
会处理人造卫星的变轨和对接问题.知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。
二 讲必备知识
【知识点一】开普勒行星运动定律、万有引力定律的理解与应用
1．开普勒行星运动定律
(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
(3)开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．
2．万有引力定律
公式F＝Geq \f(m1m2,r2)适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算．当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线．
【例1】(2021·安阳模拟)2020年6月15日，中国科学院宣布，中国首颗量子科学实验卫星“墨子号”在国际上首次实现千公里级基于纠缠的量子密钥分发。“墨子号”运行轨道为如图所示的椭圆轨道，地球E位于椭圆的一个焦点上，轨道上标记了“墨子号”卫星经过相等时间间隔 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Δt＝\f(T,14)，T为轨道周期))的位置。如果作用在卫星上的力只有地球E对卫星的万有引力，则下列说法正确的是( )
A. 面积S1>S2
B. 卫星在轨道A点的速度小于在B点的速度
C. T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D. T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴
【答案】C
【解析】：根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，故面积S1＝S2，选项A错误；根据开普勒第二定律可知，卫星在轨道A点的速度大于在B点的速度，选项B错误；根据开普勒第三定律可知 eq \f(a3,T2)＝C，其中C为常数，a为椭圆半长轴，选项C正确，D错误。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。要求考生在正确理解开普勒定律。
【技巧总结】应用开普勒行星运动定律的三点注意
(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
(3)开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。
【例2】(2020·山东高考)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到0的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
A. m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g－\f(v0,t0))) B. m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g＋\f(v0,t0)))
C. m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g－\f(v0,t0))) D. m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g＋\f(v0,t0)))
【答案】B
【解析】：忽略星体的自转，万有引力等于重力，G eq \f(Mm,R2)＝mg，则 eq \f(g火,g地)＝ eq \f(M火,M地)· eq \f(R eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(地)),R eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(火)))＝0.1× eq \f(1,0.52)＝0.4，解得g火＝0.4g地＝0.4g，着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知0＝v0－at0，解得 a＝ eq \f(v0,t0)，对匀减速过程，根据牛顿第二定律得f－mg火＝ma，解得着陆器受到的制动力大小为f＝mg火＋ma＝m(0.4g＋ eq \f(v0,t0))，A、C、D错误，B正确。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。
【变式训练1】(多选)(2021·抚州七校联考)2018年7月是精彩天象集中上演的月份，“水星东大距”“火星冲日”“月全食”等天象先后扮靓夜空，可谓精彩纷呈。发生于北京时间7月28日凌晨的“月全食”，相对于2018年1月31日发生的“月全食”来说，7月的全食阶段持续时间更长。已知月球绕地球的运动轨道可看成椭圆，地球始终在该椭圆轨道的一个焦点上，则相对于1月的月球而言，7月的月球( )
A．绕地球运动的线速度更大
B．距离地球更近
C．绕地球运动的线速度更小
D．距离地球更远
【答案】CD
【解析】地球绕着太阳公转，月球又绕着地球公转，发生月食的条件是地球处于月球和太阳中间，挡住了太阳光，月全食持续的时间长短和太阳、地球、月球三者的位置关系密切相关，7月这次月全食的时间比较长是由于月球和地球的距离比较远。根据开普勒第二定律可知此时月球绕地球运动的线速度更小，故A、B错误，C、D正确。
【变式训练2】(2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
【答案】 B
【解析】 万有引力表达式为F＝Geq \f(Mm,r2)，则同一物体在火星表面与地球表面受到的引力的比值为eq \f(F火引,F地引)＝eq \f(M火r\\al(地2),M地r\\al(火2))＝0.4，选项B正确．
【知识点二】星体表面的重力加速度
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．
(1)在两极，向心力等于零，mg＝eq \f(GMm,R2)；
(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；
(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝eq \f(GMm,R2)－mRωeq \\al(2,自).
2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力
地球自转，物体所受的重力近似等于地球表面处的万有引力，即mg＝eq \f(GMm,R2)，R为地球半径，g为地球表面附近的重力加速度，故GM＝gR2.
3．距地面一定高度处的重力与万有引力
物体在距地面一定高度h处时，mg′＝eq \f(GMm,（R＋h）2)，R为地球半径，g′为该高度处的重力加速度，故GM＝g′(R＋h)2.
【例1】(2020·安徽皖南八校联考)一颗在赤道上空做匀速圆周运动运行的人造卫星，其轨道半径上对应的重力加速度为地球表面重力加速度的四分之一，则某一时刻该卫星观测到地面赤道最大弧长为(已知地球半径为R)( )
A.eq \f(2,3)πR B.eq \f(1,2)πR
C.eq \f(1,3)πR D.eq \f(1,4)πR
【答案】 A
【解析】卫星所在高度处Geq \f(Mm,r2)＝mg′，而地球表面处Geq \f(Mm,R2)＝mg，因为g′＝eq \f(1,4)g，解得r＝2R，则某一时刻该卫星观测到地面赤道的弧度数为eq \f(2π,3)，则观测到地面赤道最大弧长为eq \f(2,3)πR，故选A.
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。。
【必备知识】万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2。
【例2】(2021·辽宁省实验中学月考)由中国科学院、中国工程院两院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙号”下潜突破7 000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则“蛟龙号”所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为( )
A.eq \f(R－d,R＋h) B.eq \f(（R－d）2,（R＋h）2)
C.eq \f(（R－d）（R＋h）,R2) D.eq \f(（R－d）（R＋h）2,R3)
【答案】：D
【解析】：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝eq \f(GM,R2)，由于地球的质量为：M＝ρeq \f(4,3)πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝eq \f(GM,R2)＝eq \f(Gρ\f(4,3)πR3,R2)＝eq \f(4,3)πGρR，根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，因此在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”所在处的重力加速度g′＝eq \f(4,3)πGρ(R－d)．所以有eq \f(g′,g)＝eq \f(R－d,R).根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,（R＋h）2)＝ma，得“天宫一号”的加速度a＝eq \f(GM,（R＋h）2)，所以eq \f(a,g)＝eq \f(R2,（R＋h）2)，所以eq \f(g′,a)＝eq \f(（R－d）（R＋h）2,R3)，故D正确，A、B、C错误．
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维及科学态度。本题以科技前沿为情境要求考生能理解万有引力定律并能应用其分析具体的问题。
【变式训练1】(2021·广州天河区二模)假定太阳系一颗质量均匀且可看成球体的小行星，起初自转可以忽略。现若该行星自转加快，当其自转的角速度增加为ω时，该行星表面“赤道”上的物体对星球的压力减小至原来的eq \f(2,3)。已知引力常量G，则该星球密度ρ为( )
A．eq \f(9ω2,8πG) B．eq \f(9ω2,4πG) C．eq \f(3ω2,2πG) D．eq \f(ω2,3πG)
【答案】B
【解析】本题考查行星密度的求解问题。忽略行星的自转影响时，该行星表面的物体受到的万有引力等于重力，即Geq \f(Mm,r2)＝mg，自转不可忽略时，万有引力提供重力及物体随行星自转的向心力，则自转角速度为ω时有Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(2,3)mg＋mω2r，行星的密度为ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πr3)，解得ρ＝eq \f(9ω2,4πG)，故选B。
【变式训练2】(2020·贵阳一中适应考试)假设地球可视为质量均匀分布的球体，由于地球的自转，地球表面上不同纬度的重力加速度有所差别，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g1，则在纬度为30°的地球表面上重力加速度为( )
A.eq \f(\r(3geq \\al(2,0)＋geq \\al(2,1)),2) B.eq \f(\r(geq \\al(2,0)＋3geq \\al(2,1)),2)
C.eq \r(geq \\al(2,0)＋2geq \\al(2,1)－\r(3)g0g1) D.eq \r(geq \\al(2,0)＋geq \\al(2,1)－\r(3)g0g1)
【答案】：B
【解析】的向心加速度a1＝(g0－g1)cs 30°，在纬度为30°的地球表面重力加速度g′＝eq \r(geq \\al(2,0)＋aeq \\al(2,1)－2g0a1cs 30°)＝eq \f(\r(geq \\al(2,0)＋3geq \\al(2,1)),2)，故B正确．
【知识点三】天体质量和密度的估算
中心天体质量和密度常用的估算方法
【例1】(多选)(2019·湖南地质中学三模)若宇航员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝eq \f(hv\\al(2,0),L2) B．月球的平均密度ρ＝eq \f(3hv\\al(2,0),2πGL2R)
C．月球的第一宇宙速度v＝eq \f(v0,L)eq \r(2hR) D．月球的质量m月＝eq \f(hR2v\\al(2,0),GL2)
【关键信息】：“水平抛出一个小球，测出水平射程”，可获得月球表面的重力加速度。
【答案】BC
【解析】设月球表面的重力加速度为g月，小球在月球表面做平抛运动，根据平抛知识可知在水平方向上L＝v0t，在竖直方向上h＝eq \f(1,2)g月t2，解得g月＝eq \f(2hv\\al(2,0),L2)，故A错误；在月球表面eq \f(Gm月m,R2)＝mg月，解得m月＝eq \f(2hR2v\\al(2,0),GL2)，则月球密度为ρ＝eq \f(m月,\f(4,3)πR3)＝eq \f(\f(2hR2v\\al(2,0),GL2),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3hv\\al(2,0),2πGL2R)，故B正确，D错误；月球的第一宇宙速度v＝eq \r(g月R)＝eq \f(v0,L)eq \r(2hR)，故C正确。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。
【必备知识】估算天体质量和密度的“四点”注意
(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq \f(4,3)πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。
(4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用。
【变式训练1】．(多选)1798年，英国物理学家卡文迪什测出引力常量G，因此卡文迪什被人们称为能称出地球质量的人。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，一年的时间为T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。你能计算出( )
A. 地球的质量m地＝ eq \f(gR2,G) B. 太阳的质量m太＝ eq \f(4π2L eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)),GT eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)))
C. 月球的质量m月＝ eq \f(4π2L eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)),GT eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))) D. 可求出月球、地球及太阳的密度
【答案】AB
【解析】：对地球表面上的一个质量为m0的物体来说，应有 m0g＝ eq \f(Gm地m0,R2)，所以地球的质量m地＝ eq \f(gR2,G)，A项正确；对地球绕太阳的运动来说，有 eq \f(Gm太m地,L eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)))＝m地 eq \f(4π2,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)))L2，则 m太＝ eq \f(4π2L eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)),GT eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)))，B项正确；对月球绕地球的运动来说，能求地球的质量，但不知道月球的相关参量及月球的卫星的运动参量，故无法求出月球的质量和密度，C、D项错误。
【变式训练2】．(2021·辽宁模考)(多选)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是( )
A. 月球平均密度为 eq \f(3v2,4πGR2) B. 月球平均密度为 eq \f(3v2r,4πGR3)
C. 月球表面重力加速度为 eq \f(v2,R) D. 月球表面重力加速度为 eq \f(v2r,R2)
【答案】BD
【解析】：根据万有引力定律和牛顿第二定律可得 eq \f(GMm,r2)＝ eq \f(mv2,r)，又M＝ eq \f(4,3)πR3·ρ，解得ρ＝ eq \f(3v2r,4πGR3)，A错误，B正确；由于 eq \f(GMm,R2)＝mg，联立可得g＝ eq \f(v2r,R2)，C错误，D正确。
三．讲关键能力
【能力点】.会应用开普勒定律及万有引力定律分析天体追及相遇问题
1．相距最近
两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3…)．
2．相距最远
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)．
【例1】当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是( )
A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年
B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年
C．木星运行的加速度比地球的大
D．木星运行的周期比地球的小
【答案】 B
【解析】次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝eq \f(2π,T1)，ω2＝eq \f(2π,T2)，解得t≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2017年，故A错误，B正确；设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a.对行星由牛顿第二定律可得Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(4π2,T2)r，解得a＝eq \f(GM,r2)，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C、D错误．
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。要求普勒定律及万有引力定律并能根据问题情境构建物理模型。
【技巧总结】对于天体追及问题的处理思路
(1)根据eq \f(GMm,r2)＝mrω2，可判断出谁的角速度大；
(2)根据天体相距最近或最远时，满足的角度差关系进行求解．
【变式训练1】(多选)(2021·山西太原市质检)如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
【答案】 AD
【解析】 根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A对，B错；设图示位置ac连线与bc连线的夹角为θ
A．R＝R0eq \r(3,\f(t\\al(02),t0－T02)) B．R＝R0eq \f(t0,t0－T0)
C．R＝R0eq \r(\f(t\\al(03),t0－T03)) D．R＝R0eq \r(\f(t0,t0－T0))
【答案】 A
【解析】 A行星运行的轨道发生最大偏离，一定是B对A的引力引起的，且B行星在此时刻对A有最大的引力，故此时A、B行星与恒星在同一直线上且位于恒星的同一侧，设B行星的运行周期为T，运行的轨道半径为R，根据题意有eq \f(2π,T0)t0－eq \f(2π,T)t0＝2π，所以T＝eq \f(t0T0,t0－T0)，由开普勒第三定律可得eq \f(R\\al(03),T\\al(02))＝eq \f(R3,T2)，联立解得R＝R0eq \r(3,\f(t\\al(02),t0－T02))，故A正确，B、C、D错误．
四．讲模型思想---补偿法思想的应用
补偿法的应用技巧
对于形状不规则、缺损或不完整的物理模型，往往不符合典型情境下的概念、规律的适用条件，不能直接应用公式求解，此时需要用另外一个物体和原物体组合在一起成为一个完整或对称的简单、规范的物理模型，整体可以应用相关规律求解，同时“补”上的物体的相关物理量也很好求，待求的物理量可以利用整体去掉“补”上的部分求得。
【例1】(2021·陕西宝鸡市模拟)如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为eq \f(R,2)的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( )
A．Geq \f(Mm,R2) B．0
C．4Geq \f(Mm,R2) D．Geq \f(Mm,2R2)
【答案】 D
【解析】 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对质点的万有引力等于完整大球体对质点的万有引力与挖去的小球体对质点的万有引力之差，挖去的小球体球心与质点重合，对质点的万有引力为零，则剩余部分对质点的万有引力等于完整大球体对质点的万有引力．以完整大球体球心为中心分离出半径为eq \f(R,2)的球，易知其质量为eq \f(1,8)M，则分离后的均匀球壳对质点的万有引力为零．综上可知，剩余部分对质点的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，F＝Geq \f(\f(1,8)Mm,(\f(R,2))2)＝Geq \f(Mm,2R2)，故D正确．
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【变式训练】(2021·安徽肥东高级中学调研)如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为 eq \f(R,2) 的小球体，并在空腔中心O处放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0)( )
A. G eq \f(Mm,R2) B. 0
C. 4G eq \f(Mm,R2) D. G eq \f(Mm,2R2)
【答案】D
【解析】：若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对O处质点的引力等于完整大球体对O处质点的引力与挖去小球体对O处质点的引力之差，挖去的小球体球心与O处质点重合，对O处质点的万有引力为0，则大球体剩余部分对O处质点的万有引力等于完整大球体对O处质点的万有引力；将完整大球体分为以大球体球心为中心的半径为 eq \f(R,2) 的球以及剩余均匀球壳，可知半径为 eq \f(R,2) 的球的质量为 eq \f(1,8)M，剩余均匀球壳对O处质点的万有引力为0，故大球体剩余部分对O处质点的万有引力 F＝G eq \f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2)))\s\up12(2))＝G eq \f(Mm,2R2)，故D正确。
【变式训练2】如图所示，一个质量为M的匀质实心球体，半径为2R，如果从该球体的正中心挖去一个半径为R的球体，放在距离为d的地方，则两部分之间的万有引力是多大(引力常量为G)?
【答案】： eq \f(7GM2,64d2)
【解析】：设被挖去的球体质量为m，根据补偿法可得左侧球体填满时两球体间的万有引力为
F＝G eq \f(Mm,d2)
填补的半径为R的球体对右侧被挖去球体的万有引力为
F1＝ eq \f(Gm2,d2)
其中被挖去的球体质量m＝ eq \f(M,8)
则两部分之间的万有引力
F2＝F－F1＝ eq \f(7GM2,64d2)。
质
量
的
计
算
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
利用运
行天体
r、T
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得
到中心
天体的
质量
r、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
M＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(v3T,2πG)
密
度
的计
算
利用天体表面
重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝eq \f(gR2,G)
－
利用运
行天体
r、T、R
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时
ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近
地卫星
只需测
出其运
行周期
利用天体
表面重力
加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)
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