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高中物理高考 专题5 2 宇宙航行及天体运动四类热点问题【讲】解析版
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这是一份高中物理高考 专题5 2 宇宙航行及天体运动四类热点问题【讲】解析版，共17页。试卷主要包含了物理观念，科学思维，科学态度与责任，9 km/s，1M地G,0等内容，欢迎下载使用。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5942" 一 讲核心素养 PAGEREF _Tc5942 1
\l "_Tc1872" 二 讲必备知识 PAGEREF _Tc1872 1
\l "_Tc1670" 【知识点一】卫星运行参量的分析 PAGEREF _Tc1670 1
\l "_Tc29574" 【知识点二】宇宙速度的理解与计算 PAGEREF _Tc29574 4
\l "_Tc8463" 三．讲关键能力 PAGEREF _Tc8463 6
\l "_Tc23944" 【能力点一】.会分析近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题 PAGEREF _Tc23944 6
\l "_Tc12494" 【能力点二】.卫星的变轨和对接问题 PAGEREF _Tc12494 8
\l "_Tc21788" 四．讲模型思想---双星或多星模型 PAGEREF _Tc21788 10
一 讲核心素养
1.物理观念：万有引力、宇宙速度。
(1)通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。
(2)会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
2.科学思维：万有引力定律、开普勒定律、双星模型、多星运动模型。
(1)理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.。
(2)掌握双星、多星系统，会解决相关问题、会分析天体的“追及”问题
3.科学态度与责任：万有引力与卫星发射、变轨、回收。
会处理人造卫星的变轨和对接问题.知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。
二 讲必备知识
【知识点一】卫星运行参量的分析
1．物理量随轨道半径变化的规律
eq \a\vs4\al(规,律)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(G\f(Mm,r2)＝,（r＝R地＋h）)\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3),ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2)))\a\vs4\al(越,高,越,慢),mg＝\f(GMm,Req \\al(2,地))（近地时）→GM＝gReq \\al(2,地)))
2．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
3．同步卫星的六个“一定”
【例1】(2020·浙江7月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3 B．线速度大小之比为eq \r(3)∶eq \r(2)
C．角速度大小之比为2eq \r(2)∶3eq \r(3) D．向心加速度大小之比为9∶4
【答案】 C
【解析】 轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，得eq \f(v火,v地)＝eq \r(\f(r地,r火))＝eq \f(\r(2),\r(3))，故B错误；由万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝mω2r，得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，得eq \f(ω火,ω地)＝eq \r(\f(r\\al(地3),r\\al(火3)))＝eq \f(2\r(2),3\r(3))，故C正确；由eq \f(GMm,r2)＝ma，得a＝eq \f(GM,r2)，得eq \f(a火,a地)＝eq \f(r\\al(地2),r\\al(火2))＝eq \f(4,9)，故D错误．
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维中的科学推理。
【技巧总结】利用万有引力定律解决卫星运动问题的技巧
(1)一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．
(2)两组公式
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝ma；
mg＝Geq \f(Mm,R2)(g为天体表面处的重力加速度)．
(3)a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终归结到半径的比较．
【变式训练1】(2020·合肥调研)2018年7月27日，发生了“火星冲日”现象，火星运行至距离地球最近的位置，火星冲日是指火星、地球和太阳几乎排列成一条直线，地球位于太阳与火星之间，此时火星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮易于观察，地球和火星绕太阳公转的方向相同，轨道都近似为圆，火星公转轨道半径为地球的1.5倍，则下列说法正确的是( )
A．地球与火星的公转角速度大小之比为2∶3
B．地球与火星的公转线速度大小之比为3∶2
C．地球与火星的公转周期之比为eq \r(8)∶eq \r(27)
D．地球与火星的向心加速度大小之比为eq \r(27)∶eq \r(8)
【答案】 C
【解析】根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2r,T2)＝ma，解得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，则地球与火星的公转角速度大小之比为eq \f(3\r(6),4)，选项A错误；v＝eq \r(\f(GM,r))，则地球与火星的公转线速度大小之比为eq \f(\r(6),2)，选项B错误；T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，则地球与火星的公转周期之比为eq \r(8)∶eq \r(27) ，选项C正确；a＝eq \f(GM,r2)，则地球与火星的向心加速度大小之比为9∶4，选项D错误．
【变式训练2】(2021·湖北七市联考)人造地球卫星在绕地球做圆周运动的过程中，下列说法中正确的是( )
A．卫星离地球越远，角速度越大
B．同一圆轨道上运行的两颗卫星，线速度大小一定相等
C．一切卫星运行的瞬时速度都大于7.9 km/s
D．地球同步卫星可以在以地心为圆心、离地高度为固定值的一切圆轨道上运动
【答案】：B
【解析】：卫星所受的万有引力提供向心力，则Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r，可知r越大，角速度越小，r相等时，线速度相等，A错误，B正确.7.9 km/s是人造地球卫星的最大环绕速度，C错误．因为地球会自转，同步卫星只能在赤道上方的轨道上运动，D错误．
【知识点二】宇宙速度的理解与计算
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(veq \\al(2,1),R)得v1＝eq \r(\f(GM,R))＝7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝meq \f(veq \\al(2,1),R)得v1＝eq \r(gR)＝7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度，也是地球人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πeq \r(\f(R,g))≈85 min.
【例1】(2020·北京卷·5)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
【答案】A
【解析】火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故A正确，B错误；由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得，v火＝eq \r(\f(GM火,R火))＝eq \r(\f(0.1M地G,0.5R地))＝eq \f(\r(5),5)v地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；由eq \f(GMm,R2)＝mg得，g火＝Geq \f(M火,R\\al(火2))＝Geq \f(0.1M地,0.5R地2)＝0.4g地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误．
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。
【必备知识】宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
【变式训练1】(多选)(2021·安徽师大附中期中)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星的公转视为匀速圆周运动．忽略行星自转影响，火星和地球相比( )
A.火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的0.45倍
B．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的1.4倍
C．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.43倍
D．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.28倍
【答案】：AC
【解析】：根据第一宇宙速度公式v＝eq \r(\f(GM,R))(M指中心天体火星或地球的质量)得eq \f(v火,v地)＝eq \r(\f(M火R地,M地R火))＝0.45，故A正确，B错误；根据向心加速度公式a＝eq \f(GM,r2)(M指中心天体太阳的质量)得eq \f(a火,a地)＝eq \f(req \\al(2,地),req \\al(2,火))＝eq \f(1.52,2.32)＝0.43，故C正确，D错误．
【变式训练2】(多选)(2021·河南新乡模拟)美国国家科学基金会宣布，天文学家发现一颗迄今为止与地球最类似的行星，该行星绕太阳系外的红矮星Gliese581做匀速圆周运动．这颗行星距离地球约20光年，公转周期约为37天，它的半径大约是地球的1.9倍，表面重力加速度与地球相近．下列说法正确的是( )
A．该行星的公转角速度比地球大
B．该行星的质量约为地球质量的3.6倍
C．该行星第一宇宙速度为7.9 km/s
D．要在地球上发射航天器到达该星球，发射速度只需达到地球的第二宇宙速度即可
【答案】 AB
【解析】该行星的公转周期约为37天，而地球的公转周期为365天，根据ω＝eq \f(2π,T)可知该行星的公转角速度比地球大，选项A正确；忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式：Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得：g＝eq \f(GM,R2)，这颗行星的重力加速度与地球相近，它的半径大约是地球的1.9倍，所以它的质量是地球的3.6倍，故B正确；要在该行星表面发射人造卫星，发射的速度最小为第一宇宙速度，第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))，R为星球半径，M为星球质量，所以这颗行星的第一宇宙速度大约是地球的eq \r(2)倍，而地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，故该星球的第一宇宙速度为eq \r(2)×7.9 km/s＝11.2 km/s，故C错误；由于这颗行星在太阳系外，所以航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度，故D错误．
三．讲关键能力
【能力点一】.会分析近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题
三种匀速圆周运动的参量比较
【例1】(2021·青海西宁市三校联考)如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的同步卫星．下列关于a、b、c的说法中正确的是( )
A．b卫星转动线速度大于7.9 km/s
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa＞ab＞ac
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝TcD．在b、c中，b的线速度大
【答案】 D
【解析】 b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(\f(GM,R))，又eq \f(GMm,R2)＝mg，可得v＝eq \r(gR)，与第一宇宙速度大小相同，即v＝7.9 km/s，故A错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根据a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据a＝eq \f(GM,r2)得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab＞ac＞aa，故B错误；卫星c为地球同步卫星，所以Ta＝Tc，根据T＝2πeq \r(\f(r3,GM))得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc＞Tb，故C错误；在b、c中，根据v＝eq \r(\f(GM,r))，可知b的线速度比c的线速度大，故D正确．
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。
【技巧总结】研究卫星运行熟悉“三星一物”
(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度的大小、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。
(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。
【变式训练1】(2020·浙江1月选考·9)如图所示，卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行．a是极地轨道卫星，在地球两极上空约1 000 km处运行；b是低轨道卫星，距地球表面高度与a相等；c是地球同步卫星，则( )
A．a、b的周期比c大
B．a、b的向心力一定相等
C．a、b的速度大小相等
D．a、b的向心加速度比c小
【答案】 C
【解析】 根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝ma，可知v＝eq \r(\f(GM,r))，ω＝eq \r(\f(GM,r3))，T＝eq \f(2π\r(r3),\r(GM))，a＝eq \f(GM,r2)，由此可知，半径越大，线速度、角速度、向心加速度越小，周期越长，因为a、b卫星的半径相等，且比c小，因此a、b卫星的线速度大小相等，向心加速度比c大，周期小于卫星c的周期，选项C正确，A、D错误；由于不知道三颗卫星的质量关系，因此不清楚向心力的关系，选项B错误．
【变式训练2】(多选)如图所示，A表示地球同步卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是( )
A．vB＞vA＞vCB．ωA＞ωB＞ωC
C．FA＞FB＞FCD．TA＝TC＞TB
【答案】AD
【解析】A为地球同步卫星，故ωA＝ωC，根据v＝ωr可知，vA＞vC，再根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得到v＝eq \r(\f(GM,r))，可见vB＞vA，所以三者的线速度关系为vB＞vA＞vC，选项A正确；由同步卫星的含义可知TA＝TC，再由Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up8(2)r可知TA＞TB，因此它们的周期关系为TA＝TC＞TB，由ω＝eq \f(2π,T)可知它们的角速度关系为ωB＞ωA＝ωC，选项D正确，B错误；由F＝Geq \f(Mm,r2)可知FA＜FB＜FC，选项C错误。
【能力点二】.卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1【例1】.(2021·江南十校联考)据外媒综合报道，英国著名物理学家史蒂芬·霍金在2018年3月14日去世，享年76岁．这位伟大的物理学家，向人类揭示了宇宙和黑洞的奥秘．高中生对黑洞的了解为光速是在星球(黑洞)上的第二宇宙速度．对于普通星球，如地球，光速仍远远大于其宇宙速度．现对于发射地球同步卫星的过程分析，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，P点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )
A．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
B．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2 km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
D．在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
【答案】：C
【解析】：第一宇宙速度是近地轨道的线速度，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可知v＝eq \r(\f(GM,r))，故轨道半径越大，线速度越小，所以同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，A错误；该卫星为地球的卫星，所以发射速度小于第二宇宙速度，B错误；P点为近地轨道上的一点，但要从近地轨道变轨到Ⅰ轨道，则需要在P点加速，所以在轨道Ⅰ上卫星在P点的速度大于第一宇宙速度，C正确；在Q点要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，则需要在Q点加速，即轨道Ⅱ上经过Q点的速度大于轨道Ⅰ上经过Q点的速度，而轨道Ⅱ上的速度小于第一宇宙速度，故在轨道Ⅰ上经过Q点时的速度小于第一宇宙速度，D错误．
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【技巧总结】航天器变轨问题的“三点”注意
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝eq \r(\f(GM,r))判断。
(2)同一航天器在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能守恒，在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
【变式训练】(2020·浙江宁波市二模)一着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹变化如图所示，着陆器先在轨道Ⅰ上运动，经过P点启动变轨发动机然后切换到圆轨道Ⅱ上运动，经过一段时间后，再次经过P点时启动变轨发动机切换到椭圆轨道Ⅲ上运动．轨道上的P、Q、S三点与火星中心位于同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点，且PQ＝2QS＝2l.除了变轨瞬间，着陆器在轨道上运行时均处于无动力航行状态．着陆器在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上经过P点的速度分别为v1、v2、v3，下列说法正确的是( )
A．v1B．着陆器在轨道Ⅲ上从P点运动到Q点的过程中速率变大
C．着陆器在轨道Ⅱ上运动时，经过P点的加速度为eq \f(v\\al(22),3l)
D．着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点所用的时间等于着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点所用的时间
【答案】B
【解析】解析 着陆器从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ需要减速，同理从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ也需要减速，因此v1＞v2＞v3，故A错误；着陆器在轨道Ⅲ上从P点运动到Q点的过程中，万有引力做正功，所以速率变大，故B正确；在轨道Ⅱ上P点，根据牛顿第二定律得F向＝ma＝meq \f(v\\al(22),\f(3,2)l)，解得a＝eq \f(2v\\al(22),3l)，故C错误；设着陆器在轨道Ⅱ上周期为TⅡ，在轨道Ⅲ上周期为TⅢ，根据开普勒第三定律得TⅡ＞TⅢ，因为tPS＝eq \f(1,2)TⅡ，tPQ＝eq \f(1,2)TⅢ，所以tPS＞tPQ，故D错误．
四．讲模型思想---双星或多星模型
1．双星模型
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
2．多星模型
(1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)三星模型：
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图5甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
【例1】双星系统中两个星球A、B的质量都是m，A、B相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且eq \f(T,T0)＝k(k<1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于双星A、B的连线正中间，相对A、B静止，求：
(1)两个星球A、B组成的双星系统周期理论值T0；
(2)星球C的质量。
【答案】(1)2πeq \r(\f(L3,2Gm)) (2)eq \f(1－k2m,4k2)
【解析】(1)两星球的角速度相同，根据万有引力充当向心力知：eq \f(Gmm,L2)＝mr1ωeq \\al(2,1)＝mr2ωeq \\al(2,1)
可得：r1＝r2①
两星绕连线的中点转动，则有：
eq \f(Gmm,L2)＝m×eq \f(L,2)ωeq \\al(2,1)
解得ω1＝eq \r(\f(2Gm,L3))②
所以T0＝eq \f(2π,ω1)＝2πeq \r(\f(L3,2Gm))。③
(2)由于C的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则
eq \f(Gmm,L2)＋Geq \f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2)))\s\up8(2))＝m·eq \f(1,2)L·ωeq \\al(2,2)④
T＝eq \f(2π,ω2)＝kT0⑤
联立③④⑤式解得M＝eq \f(1－k2m,4k2)。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念和科学思维。
【例2】(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则( )
A．每颗星做圆周运动的线速度为eq \r(\f(Gm,R))
B．每颗星做圆周运动的角速度为eq \r(\f(3Gm,R3))
C．每颗星做圆周运动的周期为2πeq \r(\f(R3,3Gm))
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
【答案】ABC
【解析】每颗星受到的合力为F＝2Geq \f(m2,R2)sin 60°＝eq \r(3)Geq \f(m2,R2)，轨道半径为r＝eq \f(\r(3),3)R，由向心力公式F＝ma＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2r,T2)，解得a＝eq \f(\r(3)Gm,R2)，v＝eq \r(\f(Gm,R))，ω＝eq \r(\f(3Gm,R3))，T＝2πeq \r(\f(R3,3Gm))，显然加速度a与m有关，选项A、B、C正确，D错误。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念和科学思维。
【规律总结】解决双星、多星问题的关键点
(1)双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度相等。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。
【变式训练1】(多选)(2021·广东深圳中学质检)有一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所示．若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．根据所学知识，下列说法中正确的是( )
A．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1
B．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1
C．双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝M1∶M2
D．双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝M2∶M1
【答案】 BD
【解析】 双黑洞绕连线的某点做匀速圆周运动的周期相等，所以角速度也相等，故A错误；双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞的距离为L，由M1ω2r1＝M2ω2r2，得r1∶r2＝M2∶M1，故B正确；由v＝ωr得双黑洞的线速度大小之比为v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，故C错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度大小之比为a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，D正确．
【变式训练2】(多选)(2021·安徽模拟)如图为一种四颗星体组成的稳定星系，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，万有引力常量为G.下列说法中正确的是( )
A．星体匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每个星体匀速圆周运动的角速度均为eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变
【答案】BD
【解析】四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由eq \r(2)Geq \f(m2,L2)＋Geq \f(m2,\r(2)L2)＝(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝mω2·eq \f(\r(2),2)L，可知ω＝eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))，故B正确；由(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的eq \f(1,2)，故C错误；由(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝meq \f(v2,\f(\r(2),2)L)可知星体匀速圆周运动的线速度大小为v＝eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,4L))，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确．
行星
半径/m
质量/kg
公转轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011
近地卫星
(r1、ω1、v1、a1)
同步卫星
(r2、ω2、v2、a2)
赤道上随地球
自转的物体
(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
线速度
由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得
v＝eq \r(\f(GM,r))，故v1＞v2
由v＝rω得
v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心
加速度
由Geq \f(Mm,r2)＝ma得
a＝eq \f(GM,r2)，故a1＞a2
由a＝ω2r得
a2＞a3
a1＞a2＞a3
轨道半径
r2＞r3＝r1
角速度
由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得
ω＝eq \r(\f(GM,r3))，故ω1＞ω2
同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5942" 一 讲核心素养 PAGEREF _Tc5942 1
\l "_Tc1872" 二 讲必备知识 PAGEREF _Tc1872 1
\l "_Tc1670" 【知识点一】卫星运行参量的分析 PAGEREF _Tc1670 1
\l "_Tc29574" 【知识点二】宇宙速度的理解与计算 PAGEREF _Tc29574 4
\l "_Tc8463" 三．讲关键能力 PAGEREF _Tc8463 6
\l "_Tc23944" 【能力点一】.会分析近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题 PAGEREF _Tc23944 6
\l "_Tc12494" 【能力点二】.卫星的变轨和对接问题 PAGEREF _Tc12494 8
\l "_Tc21788" 四．讲模型思想---双星或多星模型 PAGEREF _Tc21788 10
一 讲核心素养
1.物理观念：万有引力、宇宙速度。
(1)通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。
(2)会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
2.科学思维：万有引力定律、开普勒定律、双星模型、多星运动模型。
(1)理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.。
(2)掌握双星、多星系统，会解决相关问题、会分析天体的“追及”问题
3.科学态度与责任：万有引力与卫星发射、变轨、回收。
会处理人造卫星的变轨和对接问题.知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。
二 讲必备知识
【知识点一】卫星运行参量的分析
1．物理量随轨道半径变化的规律
eq \a\vs4\al(规,律)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(G\f(Mm,r2)＝,（r＝R地＋h）)\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3),ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2)))\a\vs4\al(越,高,越,慢),mg＝\f(GMm,Req \\al(2,地))（近地时）→GM＝gReq \\al(2,地)))
2．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
3．同步卫星的六个“一定”
【例1】(2020·浙江7月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3 B．线速度大小之比为eq \r(3)∶eq \r(2)
C．角速度大小之比为2eq \r(2)∶3eq \r(3) D．向心加速度大小之比为9∶4
【答案】 C
【解析】 轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，得eq \f(v火,v地)＝eq \r(\f(r地,r火))＝eq \f(\r(2),\r(3))，故B错误；由万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝mω2r，得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，得eq \f(ω火,ω地)＝eq \r(\f(r\\al(地3),r\\al(火3)))＝eq \f(2\r(2),3\r(3))，故C正确；由eq \f(GMm,r2)＝ma，得a＝eq \f(GM,r2)，得eq \f(a火,a地)＝eq \f(r\\al(地2),r\\al(火2))＝eq \f(4,9)，故D错误．
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维中的科学推理。
【技巧总结】利用万有引力定律解决卫星运动问题的技巧
(1)一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．
(2)两组公式
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝ma；
mg＝Geq \f(Mm,R2)(g为天体表面处的重力加速度)．
(3)a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终归结到半径的比较．
【变式训练1】(2020·合肥调研)2018年7月27日，发生了“火星冲日”现象，火星运行至距离地球最近的位置，火星冲日是指火星、地球和太阳几乎排列成一条直线，地球位于太阳与火星之间，此时火星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮易于观察，地球和火星绕太阳公转的方向相同，轨道都近似为圆，火星公转轨道半径为地球的1.5倍，则下列说法正确的是( )
A．地球与火星的公转角速度大小之比为2∶3
B．地球与火星的公转线速度大小之比为3∶2
C．地球与火星的公转周期之比为eq \r(8)∶eq \r(27)
D．地球与火星的向心加速度大小之比为eq \r(27)∶eq \r(8)
【答案】 C
【解析】根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2r,T2)＝ma，解得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，则地球与火星的公转角速度大小之比为eq \f(3\r(6),4)，选项A错误；v＝eq \r(\f(GM,r))，则地球与火星的公转线速度大小之比为eq \f(\r(6),2)，选项B错误；T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，则地球与火星的公转周期之比为eq \r(8)∶eq \r(27) ，选项C正确；a＝eq \f(GM,r2)，则地球与火星的向心加速度大小之比为9∶4，选项D错误．
【变式训练2】(2021·湖北七市联考)人造地球卫星在绕地球做圆周运动的过程中，下列说法中正确的是( )
A．卫星离地球越远，角速度越大
B．同一圆轨道上运行的两颗卫星，线速度大小一定相等
C．一切卫星运行的瞬时速度都大于7.9 km/s
D．地球同步卫星可以在以地心为圆心、离地高度为固定值的一切圆轨道上运动
【答案】：B
【解析】：卫星所受的万有引力提供向心力，则Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r，可知r越大，角速度越小，r相等时，线速度相等，A错误，B正确.7.9 km/s是人造地球卫星的最大环绕速度，C错误．因为地球会自转，同步卫星只能在赤道上方的轨道上运动，D错误．
【知识点二】宇宙速度的理解与计算
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(veq \\al(2,1),R)得v1＝eq \r(\f(GM,R))＝7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝meq \f(veq \\al(2,1),R)得v1＝eq \r(gR)＝7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度，也是地球人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πeq \r(\f(R,g))≈85 min.
【例1】(2020·北京卷·5)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
【答案】A
【解析】火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故A正确，B错误；由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得，v火＝eq \r(\f(GM火,R火))＝eq \r(\f(0.1M地G,0.5R地))＝eq \f(\r(5),5)v地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；由eq \f(GMm,R2)＝mg得，g火＝Geq \f(M火,R\\al(火2))＝Geq \f(0.1M地,0.5R地2)＝0.4g地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误．
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。
【必备知识】宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
【变式训练1】(多选)(2021·安徽师大附中期中)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星的公转视为匀速圆周运动．忽略行星自转影响，火星和地球相比( )
A.火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的0.45倍
B．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的1.4倍
C．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.43倍
D．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.28倍
【答案】：AC
【解析】：根据第一宇宙速度公式v＝eq \r(\f(GM,R))(M指中心天体火星或地球的质量)得eq \f(v火,v地)＝eq \r(\f(M火R地,M地R火))＝0.45，故A正确，B错误；根据向心加速度公式a＝eq \f(GM,r2)(M指中心天体太阳的质量)得eq \f(a火,a地)＝eq \f(req \\al(2,地),req \\al(2,火))＝eq \f(1.52,2.32)＝0.43，故C正确，D错误．
【变式训练2】(多选)(2021·河南新乡模拟)美国国家科学基金会宣布，天文学家发现一颗迄今为止与地球最类似的行星，该行星绕太阳系外的红矮星Gliese581做匀速圆周运动．这颗行星距离地球约20光年，公转周期约为37天，它的半径大约是地球的1.9倍，表面重力加速度与地球相近．下列说法正确的是( )
A．该行星的公转角速度比地球大
B．该行星的质量约为地球质量的3.6倍
C．该行星第一宇宙速度为7.9 km/s
D．要在地球上发射航天器到达该星球，发射速度只需达到地球的第二宇宙速度即可
【答案】 AB
【解析】该行星的公转周期约为37天，而地球的公转周期为365天，根据ω＝eq \f(2π,T)可知该行星的公转角速度比地球大，选项A正确；忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式：Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得：g＝eq \f(GM,R2)，这颗行星的重力加速度与地球相近，它的半径大约是地球的1.9倍，所以它的质量是地球的3.6倍，故B正确；要在该行星表面发射人造卫星，发射的速度最小为第一宇宙速度，第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))，R为星球半径，M为星球质量，所以这颗行星的第一宇宙速度大约是地球的eq \r(2)倍，而地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，故该星球的第一宇宙速度为eq \r(2)×7.9 km/s＝11.2 km/s，故C错误；由于这颗行星在太阳系外，所以航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度，故D错误．
三．讲关键能力
【能力点一】.会分析近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题
三种匀速圆周运动的参量比较
【例1】(2021·青海西宁市三校联考)如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的同步卫星．下列关于a、b、c的说法中正确的是( )
A．b卫星转动线速度大于7.9 km/s
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa＞ab＞ac
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝Tc
【答案】 D
【解析】 b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(\f(GM,R))，又eq \f(GMm,R2)＝mg，可得v＝eq \r(gR)，与第一宇宙速度大小相同，即v＝7.9 km/s，故A错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根据a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据a＝eq \f(GM,r2)得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab＞ac＞aa，故B错误；卫星c为地球同步卫星，所以Ta＝Tc，根据T＝2πeq \r(\f(r3,GM))得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc＞Tb，故C错误；在b、c中，根据v＝eq \r(\f(GM,r))，可知b的线速度比c的线速度大，故D正确．
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。
【技巧总结】研究卫星运行熟悉“三星一物”
(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度的大小、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。
(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。
【变式训练1】(2020·浙江1月选考·9)如图所示，卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行．a是极地轨道卫星，在地球两极上空约1 000 km处运行；b是低轨道卫星，距地球表面高度与a相等；c是地球同步卫星，则( )
A．a、b的周期比c大
B．a、b的向心力一定相等
C．a、b的速度大小相等
D．a、b的向心加速度比c小
【答案】 C
【解析】 根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝ma，可知v＝eq \r(\f(GM,r))，ω＝eq \r(\f(GM,r3))，T＝eq \f(2π\r(r3),\r(GM))，a＝eq \f(GM,r2)，由此可知，半径越大，线速度、角速度、向心加速度越小，周期越长，因为a、b卫星的半径相等，且比c小，因此a、b卫星的线速度大小相等，向心加速度比c大，周期小于卫星c的周期，选项C正确，A、D错误；由于不知道三颗卫星的质量关系，因此不清楚向心力的关系，选项B错误．
【变式训练2】(多选)如图所示，A表示地球同步卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是( )
A．vB＞vA＞vCB．ωA＞ωB＞ωC
C．FA＞FB＞FCD．TA＝TC＞TB
【答案】AD
【解析】A为地球同步卫星，故ωA＝ωC，根据v＝ωr可知，vA＞vC，再根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得到v＝eq \r(\f(GM,r))，可见vB＞vA，所以三者的线速度关系为vB＞vA＞vC，选项A正确；由同步卫星的含义可知TA＝TC，再由Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up8(2)r可知TA＞TB，因此它们的周期关系为TA＝TC＞TB，由ω＝eq \f(2π,T)可知它们的角速度关系为ωB＞ωA＝ωC，选项D正确，B错误；由F＝Geq \f(Mm,r2)可知FA＜FB＜FC，选项C错误。
【能力点二】.卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1
A．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
B．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2 km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
D．在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
【答案】：C
【解析】：第一宇宙速度是近地轨道的线速度，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可知v＝eq \r(\f(GM,r))，故轨道半径越大，线速度越小，所以同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，A错误；该卫星为地球的卫星，所以发射速度小于第二宇宙速度，B错误；P点为近地轨道上的一点，但要从近地轨道变轨到Ⅰ轨道，则需要在P点加速，所以在轨道Ⅰ上卫星在P点的速度大于第一宇宙速度，C正确；在Q点要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，则需要在Q点加速，即轨道Ⅱ上经过Q点的速度大于轨道Ⅰ上经过Q点的速度，而轨道Ⅱ上的速度小于第一宇宙速度，故在轨道Ⅰ上经过Q点时的速度小于第一宇宙速度，D错误．
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【技巧总结】航天器变轨问题的“三点”注意
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝eq \r(\f(GM,r))判断。
(2)同一航天器在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能守恒，在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
【变式训练】(2020·浙江宁波市二模)一着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹变化如图所示，着陆器先在轨道Ⅰ上运动，经过P点启动变轨发动机然后切换到圆轨道Ⅱ上运动，经过一段时间后，再次经过P点时启动变轨发动机切换到椭圆轨道Ⅲ上运动．轨道上的P、Q、S三点与火星中心位于同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点，且PQ＝2QS＝2l.除了变轨瞬间，着陆器在轨道上运行时均处于无动力航行状态．着陆器在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上经过P点的速度分别为v1、v2、v3，下列说法正确的是( )
A．v1
C．着陆器在轨道Ⅱ上运动时，经过P点的加速度为eq \f(v\\al(22),3l)
D．着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点所用的时间等于着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点所用的时间
【答案】B
【解析】解析 着陆器从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ需要减速，同理从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ也需要减速，因此v1＞v2＞v3，故A错误；着陆器在轨道Ⅲ上从P点运动到Q点的过程中，万有引力做正功，所以速率变大，故B正确；在轨道Ⅱ上P点，根据牛顿第二定律得F向＝ma＝meq \f(v\\al(22),\f(3,2)l)，解得a＝eq \f(2v\\al(22),3l)，故C错误；设着陆器在轨道Ⅱ上周期为TⅡ，在轨道Ⅲ上周期为TⅢ，根据开普勒第三定律得TⅡ＞TⅢ，因为tPS＝eq \f(1,2)TⅡ，tPQ＝eq \f(1,2)TⅢ，所以tPS＞tPQ，故D错误．
四．讲模型思想---双星或多星模型
1．双星模型
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
2．多星模型
(1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)三星模型：
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图5甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
【例1】双星系统中两个星球A、B的质量都是m，A、B相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且eq \f(T,T0)＝k(k<1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于双星A、B的连线正中间，相对A、B静止，求：
(1)两个星球A、B组成的双星系统周期理论值T0；
(2)星球C的质量。
【答案】(1)2πeq \r(\f(L3,2Gm)) (2)eq \f(1－k2m,4k2)
【解析】(1)两星球的角速度相同，根据万有引力充当向心力知：eq \f(Gmm,L2)＝mr1ωeq \\al(2,1)＝mr2ωeq \\al(2,1)
可得：r1＝r2①
两星绕连线的中点转动，则有：
eq \f(Gmm,L2)＝m×eq \f(L,2)ωeq \\al(2,1)
解得ω1＝eq \r(\f(2Gm,L3))②
所以T0＝eq \f(2π,ω1)＝2πeq \r(\f(L3,2Gm))。③
(2)由于C的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则
eq \f(Gmm,L2)＋Geq \f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2)))\s\up8(2))＝m·eq \f(1,2)L·ωeq \\al(2,2)④
T＝eq \f(2π,ω2)＝kT0⑤
联立③④⑤式解得M＝eq \f(1－k2m,4k2)。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念和科学思维。
【例2】(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则( )
A．每颗星做圆周运动的线速度为eq \r(\f(Gm,R))
B．每颗星做圆周运动的角速度为eq \r(\f(3Gm,R3))
C．每颗星做圆周运动的周期为2πeq \r(\f(R3,3Gm))
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
【答案】ABC
【解析】每颗星受到的合力为F＝2Geq \f(m2,R2)sin 60°＝eq \r(3)Geq \f(m2,R2)，轨道半径为r＝eq \f(\r(3),3)R，由向心力公式F＝ma＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2r,T2)，解得a＝eq \f(\r(3)Gm,R2)，v＝eq \r(\f(Gm,R))，ω＝eq \r(\f(3Gm,R3))，T＝2πeq \r(\f(R3,3Gm))，显然加速度a与m有关，选项A、B、C正确，D错误。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念和科学思维。
【规律总结】解决双星、多星问题的关键点
(1)双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度相等。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。
【变式训练1】(多选)(2021·广东深圳中学质检)有一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所示．若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．根据所学知识，下列说法中正确的是( )
A．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1
B．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1
C．双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝M1∶M2
D．双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝M2∶M1
【答案】 BD
【解析】 双黑洞绕连线的某点做匀速圆周运动的周期相等，所以角速度也相等，故A错误；双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞的距离为L，由M1ω2r1＝M2ω2r2，得r1∶r2＝M2∶M1，故B正确；由v＝ωr得双黑洞的线速度大小之比为v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，故C错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度大小之比为a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，D正确．
【变式训练2】(多选)(2021·安徽模拟)如图为一种四颗星体组成的稳定星系，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，万有引力常量为G.下列说法中正确的是( )
A．星体匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每个星体匀速圆周运动的角速度均为eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变
【答案】BD
【解析】四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由eq \r(2)Geq \f(m2,L2)＋Geq \f(m2,\r(2)L2)＝(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝mω2·eq \f(\r(2),2)L，可知ω＝eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))，故B正确；由(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的eq \f(1,2)，故C错误；由(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝meq \f(v2,\f(\r(2),2)L)可知星体匀速圆周运动的线速度大小为v＝eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,4L))，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确．
行星
半径/m
质量/kg
公转轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011
近地卫星
(r1、ω1、v1、a1)
同步卫星
(r2、ω2、v2、a2)
赤道上随地球
自转的物体
(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
线速度
由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得
v＝eq \r(\f(GM,r))，故v1＞v2
由v＝rω得
v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心
加速度
由Geq \f(Mm,r2)＝ma得
a＝eq \f(GM,r2)，故a1＞a2
由a＝ω2r得
a2＞a3
a1＞a2＞a3
轨道半径
r2＞r3＝r1
角速度
由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得
ω＝eq \r(\f(GM,r3))，故ω1＞ω2
同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
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