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高中物理高考 专题07 曲线运动及其实例分析（解析版）
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这是一份高中物理高考 专题07 曲线运动及其实例分析（解析版），共16页。
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TOC \ "1-3" \h \u 热点题型一 曲线运动的动力学分析1
热点题型二 运动的合成与分解3
热点题型三 运动分解中的两类实例模型5
小船渡河问题5
绳(杆)端速度分解模型9
【题型归纳】
热点题型一 曲线运动的动力学分析
1．合力方向与轨迹的关系
无力不弯曲，弯曲必有力．曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧．
2．合力方向与速率变化的关系
（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力改变速度的大小，沿径向的分力改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动）
【例1】(2019·牡丹江一中月考)双人滑运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运
动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN.vM与vN正好成90°角，
则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的( )
A．F1 B．F2 C．F3 D．F4
【答案】 C
【解析】 根据图示物体由M向N做曲线运动，物体在vM方向的速度减小，同时在vN方向的速度增大，故合外力的方向指向F2方向下方，故F3的方向可能是正确的，C正确，A、B、D错误．
【变式1】.(2019·金华联考)春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福，如图甲所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的( )
A．直线OA B．曲线OB C．曲线OC D．曲线OD
【答案】D
【解析】孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，则合外力沿Oy方向，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向，故孔明灯做曲线运动，结合合力指向轨迹内侧可知轨迹可能为曲线OD，故D正确．
【变式2】图示为质点做匀变速运动的轨迹示意图，质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好垂直。则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A. 质点经过C点的速率比D点大
B. 质点经过A点时的动能小于经过D点时的动能
C. 质点经过D点时的加速度比B点的加速度大
D. 质点从B到E过程中加速度方向与速度方向的夹角一直减小
【答案】AD
【解析】质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，速度沿D点轨迹的切线方向，则知加速度斜向左上方，合外力也斜向左上方，质点做匀变速曲线运动，合外力恒定不变，质点由A到D过程中，合外力做负功，由动能定理可得，C点的速度比D点速度大，质点经过A点时的动能大于经过D点时的动能，故A正确，B错误；质点做匀变速曲线运动，则有加速度不变，所以质点经过D点时的加速度与B点相同，故C错误；质点从B到E过程中加速度方向与速度方向的夹角一直减小，故D正确。所以AD正确，BC错误。
热点题型二 运动的合成与分解
1．合运动和分运动的关系
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
3．合运动性质的判断
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(加速度\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(恒定：匀变速运动,变化：非匀变速运动)),加速度方向与速度方向\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))))
4．两个直线运动的合运动性质的判断
【例2】(2019·上海闸北调研)质量为2 kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的初速度为5 m/s B．质点所受的合外力为3 N，做匀加速曲线运动
C．2 s末质点速度大小为6 m/s D．2 s内质点的位移大小约为12 m
【答案】ABD
【解析】.由x方向的速度图象可知，在x方向的加速度为1.5 m/s2，受力Fx＝3 N，由y方向的位移图象可知在y方向做匀速直线运动，速度为vy＝4 m/s，受力Fy＝0.因此质点的初速度为5 m/s，A选项正确；受到的合外力为3 N，显然，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，B选项正确；2 s末质点速度应该为v＝eq \r(62＋42) m/s＝2eq \r(13) m/s，C选项错误；2 s内x方向上位移大小x＝vxt＋eq \f(1,2)at2＝9 m，y方向上位移大小y＝8 m，合位移大小l＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(145) m≈12 m，D选项正确．
【变式1】(2019·山东实验中学段考)一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2
－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动 B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线 D．物体运动的轨迹是一条曲线
【答案】BC
【解析】对应位移时间公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度：v0x＝－4 m/s，v0y＝6 m/s；加速度：ax＝－4 m/s2，ay＝6 m/s2；物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故B正确；题中分运动的初速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度方向与加速度方向相同，故合运动一定是匀加速直线运动，故C正确，D错误．
【变式2】(2019·湖南衡阳八中模拟)在民族运动会中有一个骑射项目，运动员弯弓放箭射击侧向的固定目标．假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2.跑道离固定目标的最近距离为d.则( )
A．要想命中目标且箭在空中飞行时间最短，运动员放箭处离目标的距离为 eq \f(dv2,v1)
B．要想命中目标且箭在空中飞行时间最短，运动员放箭处离目标的距离为 eq \f(d\r(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2)),v2)
C．箭射到目标的最短时间为 eq \f(d,v2)
D．只要击中侧向的固定目标，箭在刚射出时的速度大小一定为v＝eq \r(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2))
【答案】BC
【解析】.当箭射出的方向垂直于马奔跑的方向时，箭射到目标时间最短，所以最短时间为t＝eq \f(d,v2)，箭在沿马奔跑的方向上的位移为x＝v1t＝eq \f(v1,v2)d，所以放箭处距离目标的距离为s＝eq \r(d2＋x2)＝eq \f(d\r(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2)),v2)，故A错误，B、C正确；根据速度的合成可知只有箭垂直于马奔跑的方向射出时初速度为v0＝eq \r(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2))，而击中目标不止这一种射出方式，故D错误．
【变式3】如图，图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v-t图象如图乙所示．人顶杆沿水平地面运动的s-t图象如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法中正确的是（ ）
A．猴子的运动轨迹为直线 B．猴子在2s内做匀变速曲线运动
C．t=0时猴子的速度大小为8m/s D．t=2s时猴子的加速度为4m/s2
【答案】BD
【解析】竖直方向为初速度、加速度的匀减速直线运动，水平方向为速度的匀速直线运动，初速度大小为，方向与合外力方向不在同一条直线上，故做匀变速曲线运动，故选项B正确，选项A错误；t=2s时，，则合加速度为，选项C错误，选项D正确。
热点题型三 运动分解中的两类实例模型
小船渡河问题
1．小船渡河问题的分析思路
2．小船渡河的两类问题、三种情景
【例3】小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s.
(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？
(3)小船渡河的最短时间为多长？
(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？
【答案】见解析
【解析】(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动．因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即t＝eq \f(d,v船)＝eq \f(200,4) s＝50 s
小船沿水流方向的位移s水＝v水t＝2×50 m＝100 m
即船将在正对岸下游100 m处靠岸．
(2)要使小船到达正对岸，合速度v应垂直于河岸，如图甲所示，则
cs θ＝eq \f(v水,v船)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，故θ＝60°
即船的航向与上游河岸成60°，渡河时间t＝eq \f(d,v)＝eq \f(200,4sin 60°) s＝eq \f(100\r(3),3) s.
(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角θ，如图乙所示．船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sin θ，故小船渡河的时间为t＝eq \f(d,v船sin θ).当θ＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为tmin＝50 s.
(4)因为v船＝3 m/s则cs θ＝eq \f(v船,v水)＝eq \f(3,5)，故船头与上游河岸的夹角θ＝53°
又eq \f(x′,d)＝eq \f(v,v船)＝eq \f(\r(veq \\al(2,水)－veq \\al(2,船)),v船)，代入数据解得x′≈267 m.
【变式1】(2019·安徽合肥模拟)如图所示，在宽为H的河流中，甲、乙两船从相距eq \f(\r(3),3)H，A、B两个码头同
时开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，且乙船恰能沿BC到达正对岸的C.
则下列说法正确的是( )
A．两船不会相遇 B．两船在C点相遇
C．两船在AC的中点相遇 D．两船在BC的中点相遇
【答案】 D
【解析】 设两船在静水中的速度大小为v，根据题述乙船恰能沿BC到达正好岸的C可知，vcs 60°＝v水，渡河时间t＝eq \f(H,vsin 60°)＝eq \f(2\r(3)H,3v)，甲船沿河岸方向分速度vcs 60°＝eq \f(v,2)，在渡河时间t＝eq \f(2\r(3)H,3v)内甲船沿河岸方向位移s＝(vcs 60°＋v水)t＝(eq \f(v,2)＋eq \f(v,2))eq \f(2\r(3)H,3v)＝eq \f(2\r(3)H,3)，刚好等于A、B两个码头之间距离eq \f(\r(3)H,3)的2倍，即两船在BC的中点相遇，选项D正确A、B、C错误．
【变式2】如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a.在船下水点A的下游距
离为b处是瀑布．为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，则( )
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝eq \f(b,v)
B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度为vmax＝eq \f(\r(a2＋b2)v,b)
C．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝eq \f(av,b)
D．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝eq \f(av,\r(a2＋b2))
【答案】D
【解析】当小船船头垂直河岸渡河，时间最短，最短时间为t＝eq \f(a,v船)，且t必须小于或等于eq \f(b,v)，故选项A错误；小船轨迹垂直河岸渡河，位移最小，大小为a，但船头必须指向上游，合速度不是最大，故选项B错误；小船沿轨迹AB运动，船在静水中的速度最小时，速度方向与AB垂直，可得vmin＝eq \f(av,\r(a2＋b2))，故选项C错误，D正确．
【变式3】．(多选)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距
离的变化关系如图乙所示，则( )
A．船渡河的最短时间60 s
B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
【答案】BD
【解析】当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，由乙图可知河宽为d＝300 m，t＝eq \f(d,v1)＝100 s，故A错误，B正确．由于随水流方向的分速度不断变化，故合速度的大小和方向也不断变化，船做曲线运动，故C错误；当河水的流速取最大值4 m/s时，合速度最大，船在河水中的最大速度是v＝eq \r(32＋42) m/s＝5 m/s，故D正确．
绳(杆)端速度分解模型
(1)模型特点：绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型．
(2)模型分析
①合运动→绳拉物体的实际运动速度v
②分运动→eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(其一：沿绳（或杆）的分速度v1,其二：与绳（或杆）垂直的分速度v2))
(3)解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见实例如下：
(4)解题思路
【例4】如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则( )
A．vA＞vB B．vA＜vB C．绳的拉力等于B的重力 D．绳的拉力大于B的重力
【答案】 AD
【解析】小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，如图所示，由图可知vB＝vAcs θ，则vB＜vA，小车向左运动的过程中θ角减小，vB增大，B向上做加速运动，故绳的拉力大于B的重力．故选项A、D正确．
【变式1】如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙与水平地面滑动．当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cs θ C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
【答案】C
【解析】.将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度，沿AB方向的速度分别为v1∥和v2∥，由于AB不可伸长，两点沿AB方向的速度分量应相同，则有v1∥＝v1cs θ，v2∥＝v2sin θ，由v1∥＝v2∥，得v1＝v2tan θ，选项C正确．
【变式2】如图所示，人在岸上拉船，不计绳与轮之间的摩擦，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时( )
A．人拉绳行走的速度为vcs θ B．人拉绳行走的速度为eq \f(v,cs θ)
C．船的加速度为eq \f(Fcs θ－f,m) D．船的加速度为eq \f(F－f,m)
【答案】 AC
【解析】 将船的速度进行分解如图所示，人拉绳行走的速度v人＝vcs θ，A对，B错；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcs θ－f＝ma，得a＝eq \f(Fcs θ－f,m)，C对，D错．
【变式3】如图所示，悬线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为( )
A．vsin θ B．vcs θ C．vtan θ D.eq \f(v,tan θ)
【答案】A
【解析】由题意可知，悬线与光盘交点参与两个运动，一是沿着悬线方向的运动，二是垂直悬线方向的运动，则合运动的速度大小为v，由数学三角函数关系，则有v线＝vsin θ；而悬线速度的大小，即为小球上升的速度大小，故A正确．
【题型演练】
1.如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮．在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动．红蜡块由管口上升到顶端，所需时间为t，相对地面通过的路程为L.则下列说法正确的是( )
A．v增大时，L减小 B．v增大时，L增大
C．v增大时，t减小 D．v增大时，t增大
【答案】B
【解析】由合运动与分运动的等时性知，红蜡块沿管上升的高度和速度不变，运动时间不变，管匀速运动的速度越大，则合速度越大，合位移越大，选项B正确．
2.(2019·江西省赣州市十四县市期中)下列关于力与运动的叙述中正确的是( )
A．物体所受合力方向与运动方向有夹角时，该物体速度一定变化，加速度也变化
B．物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心
C．物体运动的速率在增加，所受合力方向与运动方向夹角小于90°
D．物体在变力作用下有可能做曲线运动，做曲线运动物体一定受到变力作用
【答案】 C
【解析】 物体所受合力方向与运动方向有夹角时，该物体速度一定变化，但加速度不一定变化，如平抛运动，A错误；若物体做变速圆周运动，则存在一个切向加速度，合力不指向圆心，B错误；合力方向与运动方向夹角小于90°时合力做正功，速度增大，C正确；如果变力与速度方向不共线，则做曲线运动，但做曲线运动的物体受到的合力可以为恒力，如平抛运动，D错误．
3.(2019·山东省青岛市模拟)如图所示，光滑水平面内的xOy直角坐标系中，一质量为1 kg的小球沿x轴正方向匀速运动，速度大小为1 m/s，经过坐标原点O时，小球受到的一沿y轴负方向、大小为1 N的恒力F突然撤去，其他力不变，则关于小球的运动，下列说法正确的是( )
A．做变加速曲线运动 B．任意两段时间内速度变化大小都相等
C．经过x、y坐标相等的位置时所用时间为1 s D．1 s末速度大小为eq \r(2) m/s
【答案】 D
4.(2019·四川新津中学摸底)如图所示，大河的两岸笔直且平行，现保持快艇船头始终垂直于
河岸从岸边某处开始先匀加速而后匀速驶向对岸，在快艇离对岸还有一段距离时开始减速，
最后安全靠岸．若河水以稳定的速度沿平行河岸方向流动，且整个河流中水的流速处处相等，
则快艇实际运动的轨迹可能是图中的( )
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】D
【解析】在垂直于河岸方向上先做匀加速直线运动，即合力沿垂直于河岸方向并指向要驶向的对岸，且指向轨迹的内侧，然后做匀速直线运动，轨迹是一条与河岸有夹角的直线，再做减速运动，合力沿垂直于河岸方向并指向驶出的河岸，所以轨迹为④，故D正确．
5.(2019·广西南宁模拟)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为
小船从河岸M驶向对岸N的实际航线．则其中可能正确的是( )
【答案】AB
【解析】当船头垂直指向河岸时，船在静水中的速度与水流速度的合速度方向偏向下游，故A正确，C错误；当船头偏上游时，若船在静水中的速度与水流速度的合速度垂直河岸，则船的运动轨迹垂直河岸，故B正确；当船头偏向下游时，船在静水中的速度与水流速度的合速度方向应偏向下游，故D错误．
6．(2019·金华模拟)如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重
物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的
连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则( )
A．v2＝v1 B．v2>v1 C．v2≠0 D．v2＝0
【答案】D
【解析】如图所示，分解A上升的速度v，v2＝vcs α，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，α＝90°，故v2＝0，即B的速度为零，D正确．
7.(2019·河南名校联考)如图所示，这是质点做匀变速曲线运动的轨迹的示意图．已知质点在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是( )
C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
【答案】C
【解析】.质点做匀变速曲线运动，B点到C点的过程中加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以，C点的速率比B点速率大，故A错误，C正确；质点做匀变速曲线运动，则加速度大小和方向不变，所以质点经过C点时的加速度与A点的相同，故B错误；若质点从A点运动到C点，质点运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，故D错误．
8.(2019·天津河西区模拟)如图所示，A、B是两个游泳运动员，他们隔着水流湍急的河流站在岸边，A在上游的位置，且A的游泳技术比B好，现在两个人同时下水游泳，要求两个人尽快在河中相遇，试问应采取下列哪种方式比较好( )
A．A、B均向对方游(即沿图中虚线方向)而不考虑水流作用
B．B沿图中虚线向A游；A沿图中虚线偏上方向游
C．A沿图中虚线向B游；B沿图中虚线偏上方向游
D．A、B均沿图中虚线偏上方向游；A比B更偏上一些
【答案】A
【解析】.游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划行运动．游泳的方向是人相对于水的方向．选水为参考系，A、B两运动员只有一种运动，由于两点之间线段最短，所以选A.
9．(2019·鄂州模拟)一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)．将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角为θ＝30°，B球的速度大小为v2，则( )
A．v2＝eq \f(1,2)v1 B．v2＝2v1 C．v2＝v1 D．v2＝eq \r(3)v1
【答案】C
【解析】.球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝eq \f(1,2)v1，球B此时速度方向与杆夹角α＝60°，因此v21＝v2cs 60°＝eq \f(1,2)v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C项正确．
10.如图甲、乙所示，一根长L的轻杆OA，O端用铰链固定于地面，另一端固定着一小球A，图甲中的小球A和图乙中的杆分别贴靠着边长为a和b的立方块，当立方块沿地面向右滑动到图示位置(杆与地面夹角为α)时，速度为v，则甲图中小球的速度大小vA和乙图中小球的速度大小v′A应为( )
A．vA＝eq \f(v,sin α)，v′A＝vsin α B．vA＝eq \f(v,cs α)，v′A＝vsin α
C．vA＝vsin α，v′A＝eq \f(v,sin α) D．vA＝eq \f(v,sin α)，v′A＝eq \f(Lv,b)sin2 α
【答案】D
【解析】.图甲中，杆绕O转动，球A的速度vA垂直于杆，将速度vA沿水平和竖直两方向正交分解，则垂直于接触面的水平分速度与立方块的速度相等，如图(a)所示，得vAsin α＝v，故vA＝eq \f(v,sin α)，故B、C错误；
图乙中，杆绕O转动，杆顶端小球的速度v′A 和杆与立方块接触点的速度v1的方向都垂直于杆，杆上各点的角速度ω相同，则有 eq \f(v′A,L)＝eq \f(v1,\f(b,sin α)).将立方块的速度v沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，如图(b)所示，则杆与立方块接触点的速度v1应与立方块垂直杆的方向的分速度相等，即v1＝vsin α，联立以上两式得v′A＝eq \f(Lv,b)sin2α，故A错误，D正确．
等时性
各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
渡河时间最短
当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河位移最短
如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cs θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
渡河位移最短
如果v船情景图示
(注：A沿斜
面下滑)
分解图示
定量结论
vB＝vAcs θ
vAcs θ＝v0
vAcs α＝
vBcs β
vBsin α＝
vAcs α
基本思路
确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解
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目录
TOC \ "1-3" \h \u 热点题型一 曲线运动的动力学分析1
热点题型二 运动的合成与分解3
热点题型三 运动分解中的两类实例模型5
小船渡河问题5
绳(杆)端速度分解模型9
【题型归纳】
热点题型一 曲线运动的动力学分析
1．合力方向与轨迹的关系
无力不弯曲，弯曲必有力．曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧．
2．合力方向与速率变化的关系
（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力改变速度的大小，沿径向的分力改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动）
【例1】(2019·牡丹江一中月考)双人滑运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运
动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN.vM与vN正好成90°角，
则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的( )
A．F1 B．F2 C．F3 D．F4
【答案】 C
【解析】 根据图示物体由M向N做曲线运动，物体在vM方向的速度减小，同时在vN方向的速度增大，故合外力的方向指向F2方向下方，故F3的方向可能是正确的，C正确，A、B、D错误．
【变式1】.(2019·金华联考)春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福，如图甲所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的( )
A．直线OA B．曲线OB C．曲线OC D．曲线OD
【答案】D
【解析】孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，则合外力沿Oy方向，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向，故孔明灯做曲线运动，结合合力指向轨迹内侧可知轨迹可能为曲线OD，故D正确．
【变式2】图示为质点做匀变速运动的轨迹示意图，质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好垂直。则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A. 质点经过C点的速率比D点大
B. 质点经过A点时的动能小于经过D点时的动能
C. 质点经过D点时的加速度比B点的加速度大
D. 质点从B到E过程中加速度方向与速度方向的夹角一直减小
【答案】AD
【解析】质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，速度沿D点轨迹的切线方向，则知加速度斜向左上方，合外力也斜向左上方，质点做匀变速曲线运动，合外力恒定不变，质点由A到D过程中，合外力做负功，由动能定理可得，C点的速度比D点速度大，质点经过A点时的动能大于经过D点时的动能，故A正确，B错误；质点做匀变速曲线运动，则有加速度不变，所以质点经过D点时的加速度与B点相同，故C错误；质点从B到E过程中加速度方向与速度方向的夹角一直减小，故D正确。所以AD正确，BC错误。
热点题型二 运动的合成与分解
1．合运动和分运动的关系
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
3．合运动性质的判断
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(加速度\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(恒定：匀变速运动,变化：非匀变速运动)),加速度方向与速度方向\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))))
4．两个直线运动的合运动性质的判断
【例2】(2019·上海闸北调研)质量为2 kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的初速度为5 m/s B．质点所受的合外力为3 N，做匀加速曲线运动
C．2 s末质点速度大小为6 m/s D．2 s内质点的位移大小约为12 m
【答案】ABD
【解析】.由x方向的速度图象可知，在x方向的加速度为1.5 m/s2，受力Fx＝3 N，由y方向的位移图象可知在y方向做匀速直线运动，速度为vy＝4 m/s，受力Fy＝0.因此质点的初速度为5 m/s，A选项正确；受到的合外力为3 N，显然，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，B选项正确；2 s末质点速度应该为v＝eq \r(62＋42) m/s＝2eq \r(13) m/s，C选项错误；2 s内x方向上位移大小x＝vxt＋eq \f(1,2)at2＝9 m，y方向上位移大小y＝8 m，合位移大小l＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(145) m≈12 m，D选项正确．
【变式1】(2019·山东实验中学段考)一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2
－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动 B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线 D．物体运动的轨迹是一条曲线
【答案】BC
【解析】对应位移时间公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度：v0x＝－4 m/s，v0y＝6 m/s；加速度：ax＝－4 m/s2，ay＝6 m/s2；物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故B正确；题中分运动的初速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度方向与加速度方向相同，故合运动一定是匀加速直线运动，故C正确，D错误．
【变式2】(2019·湖南衡阳八中模拟)在民族运动会中有一个骑射项目，运动员弯弓放箭射击侧向的固定目标．假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2.跑道离固定目标的最近距离为d.则( )
A．要想命中目标且箭在空中飞行时间最短，运动员放箭处离目标的距离为 eq \f(dv2,v1)
B．要想命中目标且箭在空中飞行时间最短，运动员放箭处离目标的距离为 eq \f(d\r(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2)),v2)
C．箭射到目标的最短时间为 eq \f(d,v2)
D．只要击中侧向的固定目标，箭在刚射出时的速度大小一定为v＝eq \r(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2))
【答案】BC
【解析】.当箭射出的方向垂直于马奔跑的方向时，箭射到目标时间最短，所以最短时间为t＝eq \f(d,v2)，箭在沿马奔跑的方向上的位移为x＝v1t＝eq \f(v1,v2)d，所以放箭处距离目标的距离为s＝eq \r(d2＋x2)＝eq \f(d\r(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2)),v2)，故A错误，B、C正确；根据速度的合成可知只有箭垂直于马奔跑的方向射出时初速度为v0＝eq \r(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2))，而击中目标不止这一种射出方式，故D错误．
【变式3】如图，图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v-t图象如图乙所示．人顶杆沿水平地面运动的s-t图象如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法中正确的是（ ）
A．猴子的运动轨迹为直线 B．猴子在2s内做匀变速曲线运动
C．t=0时猴子的速度大小为8m/s D．t=2s时猴子的加速度为4m/s2
【答案】BD
【解析】竖直方向为初速度、加速度的匀减速直线运动，水平方向为速度的匀速直线运动，初速度大小为，方向与合外力方向不在同一条直线上，故做匀变速曲线运动，故选项B正确，选项A错误；t=2s时，，则合加速度为，选项C错误，选项D正确。
热点题型三 运动分解中的两类实例模型
小船渡河问题
1．小船渡河问题的分析思路
2．小船渡河的两类问题、三种情景
【例3】小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s.
(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？
(3)小船渡河的最短时间为多长？
(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？
【答案】见解析
【解析】(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动．因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即t＝eq \f(d,v船)＝eq \f(200,4) s＝50 s
小船沿水流方向的位移s水＝v水t＝2×50 m＝100 m
即船将在正对岸下游100 m处靠岸．
(2)要使小船到达正对岸，合速度v应垂直于河岸，如图甲所示，则
cs θ＝eq \f(v水,v船)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，故θ＝60°
即船的航向与上游河岸成60°，渡河时间t＝eq \f(d,v)＝eq \f(200,4sin 60°) s＝eq \f(100\r(3),3) s.
(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角θ，如图乙所示．船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sin θ，故小船渡河的时间为t＝eq \f(d,v船sin θ).当θ＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为tmin＝50 s.
(4)因为v船＝3 m/s
又eq \f(x′,d)＝eq \f(v,v船)＝eq \f(\r(veq \\al(2,水)－veq \\al(2,船)),v船)，代入数据解得x′≈267 m.
【变式1】(2019·安徽合肥模拟)如图所示，在宽为H的河流中，甲、乙两船从相距eq \f(\r(3),3)H，A、B两个码头同
时开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，且乙船恰能沿BC到达正对岸的C.
则下列说法正确的是( )
A．两船不会相遇 B．两船在C点相遇
C．两船在AC的中点相遇 D．两船在BC的中点相遇
【答案】 D
【解析】 设两船在静水中的速度大小为v，根据题述乙船恰能沿BC到达正好岸的C可知，vcs 60°＝v水，渡河时间t＝eq \f(H,vsin 60°)＝eq \f(2\r(3)H,3v)，甲船沿河岸方向分速度vcs 60°＝eq \f(v,2)，在渡河时间t＝eq \f(2\r(3)H,3v)内甲船沿河岸方向位移s＝(vcs 60°＋v水)t＝(eq \f(v,2)＋eq \f(v,2))eq \f(2\r(3)H,3v)＝eq \f(2\r(3)H,3)，刚好等于A、B两个码头之间距离eq \f(\r(3)H,3)的2倍，即两船在BC的中点相遇，选项D正确A、B、C错误．
【变式2】如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a.在船下水点A的下游距
离为b处是瀑布．为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，则( )
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝eq \f(b,v)
B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度为vmax＝eq \f(\r(a2＋b2)v,b)
C．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝eq \f(av,b)
D．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝eq \f(av,\r(a2＋b2))
【答案】D
【解析】当小船船头垂直河岸渡河，时间最短，最短时间为t＝eq \f(a,v船)，且t必须小于或等于eq \f(b,v)，故选项A错误；小船轨迹垂直河岸渡河，位移最小，大小为a，但船头必须指向上游，合速度不是最大，故选项B错误；小船沿轨迹AB运动，船在静水中的速度最小时，速度方向与AB垂直，可得vmin＝eq \f(av,\r(a2＋b2))，故选项C错误，D正确．
【变式3】．(多选)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距
离的变化关系如图乙所示，则( )
A．船渡河的最短时间60 s
B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
【答案】BD
【解析】当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，由乙图可知河宽为d＝300 m，t＝eq \f(d,v1)＝100 s，故A错误，B正确．由于随水流方向的分速度不断变化，故合速度的大小和方向也不断变化，船做曲线运动，故C错误；当河水的流速取最大值4 m/s时，合速度最大，船在河水中的最大速度是v＝eq \r(32＋42) m/s＝5 m/s，故D正确．
绳(杆)端速度分解模型
(1)模型特点：绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型．
(2)模型分析
①合运动→绳拉物体的实际运动速度v
②分运动→eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(其一：沿绳（或杆）的分速度v1,其二：与绳（或杆）垂直的分速度v2))
(3)解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见实例如下：
(4)解题思路
【例4】如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则( )
A．vA＞vB B．vA＜vB C．绳的拉力等于B的重力 D．绳的拉力大于B的重力
【答案】 AD
【解析】小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，如图所示，由图可知vB＝vAcs θ，则vB＜vA，小车向左运动的过程中θ角减小，vB增大，B向上做加速运动，故绳的拉力大于B的重力．故选项A、D正确．
【变式1】如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙与水平地面滑动．当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cs θ C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
【答案】C
【解析】.将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度，沿AB方向的速度分别为v1∥和v2∥，由于AB不可伸长，两点沿AB方向的速度分量应相同，则有v1∥＝v1cs θ，v2∥＝v2sin θ，由v1∥＝v2∥，得v1＝v2tan θ，选项C正确．
【变式2】如图所示，人在岸上拉船，不计绳与轮之间的摩擦，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时( )
A．人拉绳行走的速度为vcs θ B．人拉绳行走的速度为eq \f(v,cs θ)
C．船的加速度为eq \f(Fcs θ－f,m) D．船的加速度为eq \f(F－f,m)
【答案】 AC
【解析】 将船的速度进行分解如图所示，人拉绳行走的速度v人＝vcs θ，A对，B错；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcs θ－f＝ma，得a＝eq \f(Fcs θ－f,m)，C对，D错．
【变式3】如图所示，悬线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为( )
A．vsin θ B．vcs θ C．vtan θ D.eq \f(v,tan θ)
【答案】A
【解析】由题意可知，悬线与光盘交点参与两个运动，一是沿着悬线方向的运动，二是垂直悬线方向的运动，则合运动的速度大小为v，由数学三角函数关系，则有v线＝vsin θ；而悬线速度的大小，即为小球上升的速度大小，故A正确．
【题型演练】
1.如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮．在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动．红蜡块由管口上升到顶端，所需时间为t，相对地面通过的路程为L.则下列说法正确的是( )
A．v增大时，L减小 B．v增大时，L增大
C．v增大时，t减小 D．v增大时，t增大
【答案】B
【解析】由合运动与分运动的等时性知，红蜡块沿管上升的高度和速度不变，运动时间不变，管匀速运动的速度越大，则合速度越大，合位移越大，选项B正确．
2.(2019·江西省赣州市十四县市期中)下列关于力与运动的叙述中正确的是( )
A．物体所受合力方向与运动方向有夹角时，该物体速度一定变化，加速度也变化
B．物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心
C．物体运动的速率在增加，所受合力方向与运动方向夹角小于90°
D．物体在变力作用下有可能做曲线运动，做曲线运动物体一定受到变力作用
【答案】 C
【解析】 物体所受合力方向与运动方向有夹角时，该物体速度一定变化，但加速度不一定变化，如平抛运动，A错误；若物体做变速圆周运动，则存在一个切向加速度，合力不指向圆心，B错误；合力方向与运动方向夹角小于90°时合力做正功，速度增大，C正确；如果变力与速度方向不共线，则做曲线运动，但做曲线运动的物体受到的合力可以为恒力，如平抛运动，D错误．
3.(2019·山东省青岛市模拟)如图所示，光滑水平面内的xOy直角坐标系中，一质量为1 kg的小球沿x轴正方向匀速运动，速度大小为1 m/s，经过坐标原点O时，小球受到的一沿y轴负方向、大小为1 N的恒力F突然撤去，其他力不变，则关于小球的运动，下列说法正确的是( )
A．做变加速曲线运动 B．任意两段时间内速度变化大小都相等
C．经过x、y坐标相等的位置时所用时间为1 s D．1 s末速度大小为eq \r(2) m/s
【答案】 D
4.(2019·四川新津中学摸底)如图所示，大河的两岸笔直且平行，现保持快艇船头始终垂直于
河岸从岸边某处开始先匀加速而后匀速驶向对岸，在快艇离对岸还有一段距离时开始减速，
最后安全靠岸．若河水以稳定的速度沿平行河岸方向流动，且整个河流中水的流速处处相等，
则快艇实际运动的轨迹可能是图中的( )
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】D
【解析】在垂直于河岸方向上先做匀加速直线运动，即合力沿垂直于河岸方向并指向要驶向的对岸，且指向轨迹的内侧，然后做匀速直线运动，轨迹是一条与河岸有夹角的直线，再做减速运动，合力沿垂直于河岸方向并指向驶出的河岸，所以轨迹为④，故D正确．
5.(2019·广西南宁模拟)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为
小船从河岸M驶向对岸N的实际航线．则其中可能正确的是( )
【答案】AB
【解析】当船头垂直指向河岸时，船在静水中的速度与水流速度的合速度方向偏向下游，故A正确，C错误；当船头偏上游时，若船在静水中的速度与水流速度的合速度垂直河岸，则船的运动轨迹垂直河岸，故B正确；当船头偏向下游时，船在静水中的速度与水流速度的合速度方向应偏向下游，故D错误．
6．(2019·金华模拟)如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重
物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的
连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则( )
A．v2＝v1 B．v2>v1 C．v2≠0 D．v2＝0
【答案】D
【解析】如图所示，分解A上升的速度v，v2＝vcs α，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，α＝90°，故v2＝0，即B的速度为零，D正确．
7.(2019·河南名校联考)如图所示，这是质点做匀变速曲线运动的轨迹的示意图．已知质点在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是( )
C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
【答案】C
【解析】.质点做匀变速曲线运动，B点到C点的过程中加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以，C点的速率比B点速率大，故A错误，C正确；质点做匀变速曲线运动，则加速度大小和方向不变，所以质点经过C点时的加速度与A点的相同，故B错误；若质点从A点运动到C点，质点运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，故D错误．
8.(2019·天津河西区模拟)如图所示，A、B是两个游泳运动员，他们隔着水流湍急的河流站在岸边，A在上游的位置，且A的游泳技术比B好，现在两个人同时下水游泳，要求两个人尽快在河中相遇，试问应采取下列哪种方式比较好( )
A．A、B均向对方游(即沿图中虚线方向)而不考虑水流作用
B．B沿图中虚线向A游；A沿图中虚线偏上方向游
C．A沿图中虚线向B游；B沿图中虚线偏上方向游
D．A、B均沿图中虚线偏上方向游；A比B更偏上一些
【答案】A
【解析】.游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划行运动．游泳的方向是人相对于水的方向．选水为参考系，A、B两运动员只有一种运动，由于两点之间线段最短，所以选A.
9．(2019·鄂州模拟)一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)．将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角为θ＝30°，B球的速度大小为v2，则( )
A．v2＝eq \f(1,2)v1 B．v2＝2v1 C．v2＝v1 D．v2＝eq \r(3)v1
【答案】C
【解析】.球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝eq \f(1,2)v1，球B此时速度方向与杆夹角α＝60°，因此v21＝v2cs 60°＝eq \f(1,2)v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C项正确．
10.如图甲、乙所示，一根长L的轻杆OA，O端用铰链固定于地面，另一端固定着一小球A，图甲中的小球A和图乙中的杆分别贴靠着边长为a和b的立方块，当立方块沿地面向右滑动到图示位置(杆与地面夹角为α)时，速度为v，则甲图中小球的速度大小vA和乙图中小球的速度大小v′A应为( )
A．vA＝eq \f(v,sin α)，v′A＝vsin α B．vA＝eq \f(v,cs α)，v′A＝vsin α
C．vA＝vsin α，v′A＝eq \f(v,sin α) D．vA＝eq \f(v,sin α)，v′A＝eq \f(Lv,b)sin2 α
【答案】D
【解析】.图甲中，杆绕O转动，球A的速度vA垂直于杆，将速度vA沿水平和竖直两方向正交分解，则垂直于接触面的水平分速度与立方块的速度相等，如图(a)所示，得vAsin α＝v，故vA＝eq \f(v,sin α)，故B、C错误；
图乙中，杆绕O转动，杆顶端小球的速度v′A 和杆与立方块接触点的速度v1的方向都垂直于杆，杆上各点的角速度ω相同，则有 eq \f(v′A,L)＝eq \f(v1,\f(b,sin α)).将立方块的速度v沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，如图(b)所示，则杆与立方块接触点的速度v1应与立方块垂直杆的方向的分速度相等，即v1＝vsin α，联立以上两式得v′A＝eq \f(Lv,b)sin2α，故A错误，D正确．
等时性
各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
渡河时间最短
当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河位移最短
如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cs θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
渡河位移最短
如果v船
(注：A沿斜
面下滑)
分解图示
定量结论
vB＝vAcs θ
vAcs θ＝v0
vAcs α＝
vBcs β
vBsin α＝
vAcs α
基本思路
确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解
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