高中物理高考 专题09 圆周运动七大常考模型（原卷版）

这是一份高中物理高考 专题09 圆周运动七大常考模型（原卷版），共14页。

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TOC \ "1-3" \h \u 题型一 水平面内圆盘模型的临界问题1
热点题型二 eq \a\vs4\al(竖直面内圆周运动的临界极值问题)3
球—绳模型或单轨道模型4
球—杆模型或双轨道模型5
热点题型三 eq \a\vs4\al(斜面上圆周运动的临界问题)6
热点题型四 圆周运动的动力学问题6
圆锥摆模型7
车辆转弯模型8
【题型演练】10
【题型归纳】
题型一 水平面内圆盘模型的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝eq \f(mv2,r)，静摩擦力的方向一定指向圆心．
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．
【例1】(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是( )
A．当ω>eq \r(\f(2Kg,3L))时，A、B相对于转盘会滑动
B．当ω>eq \r(\f(Kg,2L))，绳子一定有弹力
C．ω在eq \r(\f(Kg,2L))<ωD．ω在0<ω【变式1】 (多选)(2019·重庆市江津中学月考)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是( )
A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3
B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为aA∶aB＝2∶9
C．转速增加后滑块B先发生滑动 D．转速增加后两滑块一起发生滑动
【变式2】(多选)(2019·广东省惠州市第二次调研)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )
A．此时绳子张力为3μmg B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
C．此时圆盘的角速度为eq \r(\f(2μg,r)) D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
热点题型二 eq \a\vs4\al(竖直面内圆周运动的临界极值问题)
1．竖直面内圆周运动两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“轻绳模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“轻杆模型”．
2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
球—绳模型或单轨道模型
【例2】(多选)(2019·哈尔滨三中期中)如图所示，长为L的细绳一端拴一质量为m小球，另
一端固定在O点，绳的最大承受能力为11mg，在O点正下方O′点有一小钉，先把绳拉至
水平再释放小球，为使绳不被拉断且小球能以O′为轴完成竖直面完整的圆周运动，则钉的
位置到O点的距离为( )
A．最小为eq \f(2,5)L B．最小为eq \f(3,5)L C．最大为eq \f(4,5)L D．最大为eq \f(9,10)L
【变式1】(2019·福州质检)如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L.重力加速度大小为g.现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根轻绳的拉力大小为( )
A．eq \r(3)mg B．eq \f(4,3)eq \r(3)mg C．3mg D．2eq \r(3)mg
【变式2】(2018·甘肃省兰州一中模拟)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT－v2图象如图乙所示，则( )
A．轻质绳长为eq \f(mb,a) B．当地的重力加速度为eq \f(a,m)
C．当v2＝c时，轻质绳最高点拉力大小为eq \f(ac,b)＋a D．若v2＝b，小球运动到最低点时绳的拉力为6a
【变式2】如图所示，半径为R的光滑半圆轨道竖直放置，一小球以某一速度进入半圆轨道，通过最高点P时，对轨道的压力为其重力的一半，不计空气阻力，则小球落地点到P点的水平距离为( )
A.eq \r(2)R B.eq \r(3)R C.eq \r(5)R D.eq \r(6)R
球—杆模型或双轨道模型
【例3】(2019·烟台模拟)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径
为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )
小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是eq \r(gR)
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
【变式1】(2019·山东省济南一中期中)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )
小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是eq \r(gR)
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
【变式2】如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰．已知半圆形管道的半径为R＝1 m，小球可看做质点且其质量为m＝1 kg，g取10 m/s2.则( )
小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m
B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m
C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 N
D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N
热点题型三 eq \a\vs4\al(斜面上圆周运动的临界问题)
在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、轻绳控制、轻杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同．
【例4】(2019·江西吉安一中段考)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω
转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),2)(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则ω的最大值是( )
A.eq \r(5) rad/s B.eq \r(3) rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
【变式】．(2019·沈阳东北育才中学模拟)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，长为L的细线一端固定，
另一端连接质量为m的小球，小球在斜面上做圆周运动，A、B分别是圆弧的最高点和最低点，若小球在A、
B点做圆周运动的最小速度分别为vA、vB，重力加速度为g，则( )
A．vA＝0 B．vA＝eq \r(gL) C．vB＝eq \f(1,2)eq \r(10gL) D．vB＝eq \r(3gL)
热点题型四 圆周运动的动力学问题
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．运动模型
圆锥摆模型
1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
2．受力特点：摆球质量为，只受两个力即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。
3．运动特点：摆长为，摆线与竖直方向的夹角为的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运动的轨道半径是
向心力
摆线的拉力
讨论：（1）当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据可知，若角速度越大，则越大，摆线拉力也越大，向心加速度也越大，线速度=也越大。
结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转动的越快，运动的也越快，。
（2）当为定值时（为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力，向心力，向心加速度，角速度，线速度。
结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。
【例5】如图所示，一根细线下端拴一个金属小球A，细线的上端固定在金属块B上，B放在带小孔的水平桌面上，小球A在某一水平面内做匀速圆周运动．现使小球A改到一个更低一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，金属块B在桌面上始终保持静止，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A．金属块B受到桌面的静摩擦力变大 B．金属块B受到桌面的支持力减小
C．细线的张力变大 D．小球A运动的角速度减小
【变式】两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是( )

车辆转弯模型
受力分析：如图所示火车受到的支持力和重力的合力水平指向圆心，成为使火车拐弯的向心力。
2、动力学方程：根据牛顿第二定律得

其中r是转弯处轨道的半径，是使内外轨均不受侧向力的最佳速度。
3、分析结论：解上述方程可知
可见，最佳情况是由、、共同决定的。
当火车实际速度为v时，可有三种可能，
当时，内外轨均不受侧向挤压的力；
当时，外轨受到侧向挤压的力（这时向心力增大，外轨提供一部分力）；
当时，内轨受到侧向挤压的力（这时向心力减少，内轨抵消一部分力）。
还有一些实例和这一模型相同，如自行车转弯，高速公路上汽车转弯等等
【例6】如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍．假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动．要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14)，则赛车( )
A．在绕过小圆弧弯道后加速 B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s
C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2 D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s
【变式】(2019·甘肃省兰州一中模拟)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则( )
A．该弯道的半径r＝eq \f(v2,gtan θ)
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
【题型演练】
1．(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势，则在该弯道处( )
路面外侧高、内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
2．(多选)(2018·河北省“名校联盟”质量监测一)如图为过山车以及轨道简化模型，过山车车厢内固定一安全座椅，座椅上乘坐“假人”，并系好安全带，安全带恰好未绷紧，不计一切阻力，以下判断正确的是( )
过山车在圆轨道上做匀速圆周运动
B．过山车在圆轨道最高点时的速度应至少等于eq \r(gR)
C．过山车在圆轨道最低点时“假人”处于失重状态
D．若过山车能顺利通过整个圆轨道，在最高点时安全带对“假人”一定无作用力
3.(2019·湖南怀化联考)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，如图所示，绳a
与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．a绳的张力可能为零 B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω> eq \r(\f(gct θ,l))，b绳将出现弹力 D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
4.如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小
球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN­v2图象如图乙所示．则( )
A．小球的质量为eq \f(aR,b) B．当地的重力加速度大小为eq \f(R,b)
C．v2＝c时，在最高点杆对小球的弹力方向向上 D．v2＝2b 时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a
5.如图，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为
3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，AB整体、C离转台中心的距离分别为r、1.5r.设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A．B对A的摩擦力一定为3μmg B．B对A的摩擦力一定为 3mω2r
C．转台的角速度一定满足：ω≤ eq \r(\f(μg,r)) D．转台的角速度一定满足：ω≤ eq \r(\f(2μg,3r))
6.如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点，设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动．已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是( )
细线L1和细线L2所受的拉力之比为 eq \r(3)∶1 B．小球m1和m2的角速度大小之比为 eq \r(3)∶1
C．小球m1和m2的向心力大小之比为3∶1 D．小球m1和m2的线速度大小之比为3eq \r(3)∶1
6.(2019·辽宁大连模拟)如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算知该女运动员( )
A．受到的拉力为G B．受到的拉力为2G C．向心加速度为3g D．向心加速度为2g
7.(2019·北京东城区模拟)长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动．关于小球在最高点的速度v，下列说法中正确的是( )
A．当v＝eq \r(gL)时，轻杆对小球的弹力为零
B．当v由eq \r(gL)逐渐增大时，轻杆对小球的拉力逐渐增大
C．当v由eq \r(gL)逐渐减小时，轻杆对小球的支持力逐渐减小
D．当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大
8.(2019·湖南衡阳模拟)轻杆一端固定有质量为m＝1 kg的小球，另一端安装在水平轴上，转轴到小球的距离为50 cm，转轴固定在三角形的带电动机(电动机没画出来)的支架上，在电动机作用下，轻杆在竖直面内做匀速圆周运动，如图所示．若转轴达到某一恒定转速n时，在最高点，杆受到小球的压力为2 N，重力加速度g取10 m/s2，则( )
小球运动到最高点时，小球需要的向心力为12 N
B．小球运动到最高点时，线速度v＝1 m/s
C．小球运动到图示水平位置时，地面对支架的摩擦力为8 N
D．把杆换成轻绳，同样转速的情况下，小球仍能通过图示的最高点
9．(2019·福建百校联考)图甲中表演的水流星是一项中国传统民间杂技艺术，在一根绳子上系着两个装满水的桶，表演者把它甩动转起来，犹如流星般，而水不会流出来．图乙为水流星的简化示意图，在某次表演中，当桶A在最高点时，桶B恰好在最低点，若演员仅控制住绳的中点O不动，而水桶A、B(均可视为质点)都恰好能通过最高点，已知绳长l＝1.6 m，两水桶(含水)的质量均为m＝0.5 kg，不计空气阻力及绳重，g取10 m/s2.
(1)求水桶在最高点和最低点的速度大小；
(2)求图示位置时，手对绳子的力的大小．
10.(2019·辽宁五校高三联考)如图所示，AB是长为L＝1.2 m、倾角为53°的斜面，其上端与一段光滑的圆弧BC相切于B点．C是圆弧的最高点，圆弧的半径为R，A、C两点与圆弧的圆心O在同一竖直线上．物体受到与斜面平行的恒力作用，从A点开始沿斜面向上运动，到达B点时撤去该力，物体将沿圆弧运动，通过C点后落回到水平地面上．已知物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，恒力F＝28 N，物体可看成质点且m＝1 kg.重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，求：
(1)物体通过C点时对轨道的压力大小；(结果保留一位小数)
(2)物体在水平地面上的落点到A点的距离．
轻绳模型
轻杆模型
实例
如球与绳连接、沿内轨道运动的球等
如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等
图示
最高点无支撑
最高点有支撑
最
高
点
受力特征
重力、弹力，弹力方向向下或等于零
重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图
力学特征
mg＋FN＝meq \f(v2,r)
mg±FN＝meq \f(v2,r)
临界特征
FN＝0，vmin＝eq \r(gr)
竖直向上的FN＝mg，v＝0
过最高点条件
v≥eq \r(gr)
v≥0
速度和
弹力关
系讨论
分析
①能过最高点时，v≥eq \r(gr)，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，绳、轨道对球产生弹力为FN
②不能过最高点时，v①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
②当0③当v＝eq \r(gr)时，FN＝0
④当v>eq \r(gr)时，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN指向圆心并随v的增大而增大