高中物理高考 专题21 带电粒子在磁场中的运动（讲义）-【教育机构专用】高三物理寒假讲义

这是一份高中物理高考 专题21 带电粒子在磁场中的运动（讲义）-【教育机构专用】高三物理寒假讲义，共23页。试卷主要包含了核心知识，带电粒子在匀强磁场中的圆周运动，磁场中的“几何圆”模型，　质谱仪与回旋加速器等内容，欢迎下载使用。
一、基本概念
1．洛伦兹力、洛伦兹力的方向、洛伦兹力公式
(1)洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力．
(2)洛伦兹力的方向
①判断方法：左手定则．
a．磁感线垂直穿过手心．
b．四指指向正电荷运动的方向．
c．拇指指向正电荷所受洛伦兹力的方向．
②方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面．
(注意：B和v不一定垂直)
(3)洛伦兹力的大小：F＝qvBsinθ，θ为v与B的夹角．
①v∥B时，洛伦兹力F＝0.
②v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.
③v＝0时，洛伦兹力F＝0.
2．洛伦兹力与安培力的联系与区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力．
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．
3．带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)洛伦兹力的特点
洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功．
(2)粒子的运动性质(不计重力时)
①若v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动．
②若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．
(3)半径和周期公式
①由qvB＝meq \f(v2,r)，得r＝eq \f(mv,qB).
②由v＝eq \f(2πr,T)，得T＝eq \f(2πm,qB).
二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
1．“圆心”的确定方法
方法一：由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹．确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点(一般是射入和射出磁场时的两点)，过这两点作带电粒子运动方向的垂线(这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向)，则两垂线的交点就是圆心，如图(a)所示．
方法二：若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图(b)所示．
方法三：若只已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图(c)所示，此时要将其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角(∠PAM)，画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心．
2．“半径”的确定方法
方法一：由物理方程求：半径R＝eq \f(mv,qB)；
方法二：由几何方程求：一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定．
3．“圆心角与时间”的确定方法
(1)速度的偏向角φ＝圆弧所对应的圆心角(回旋角)θ＝2倍的弦切角α，如图(d)所示．
(2)时间的计算方法．
方法一：由圆心角求，t＝eq \f(θ,2π)·T；
方法二：由弧长求，t＝eq \f(s,v).
4．带电粒子在不同边界磁场中的运动
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)．
(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)．
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)．
三、 带电粒子在有界磁场中的临界问题
1．带电粒子在有界磁场中运动一般存在着临界问题(边界问题)以及极值问题，解决这类问题的技巧方法就是以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径r和速度v、磁感强度B等之间的关系进行轨迹分析，从而确立轨迹与边界的关系，找出临界点．
2．分析临界极值问题常用的四个结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．
(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等．
(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)．
四、磁场中的“几何圆”模型
1．放缩圆
带电粒子以大小不同、方向相同的速度垂直射入同一匀强磁场中，做圆周运动的半径随着速度的增大而增大，圆心在垂直于进入磁场的速度方向的直线上，因此其轨迹为半径放大的动态圆，利用放缩的动态圆，如图所示，可以找出临界状态的运动轨迹．
2．旋转圆
速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径均为R，同时可发现这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径为R的圆上．由此我们也可以得到一种确定临界条件的方法：确定这类粒子在有界磁场中运动的临界条件时，可以将一半径为R的圆沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，如下图所示，这种方法称为“平移法”．
五、 质谱仪与回旋加速器
1、 质谱仪
（1）构造：如图所示，由粒子源、加速电场，偏转磁场和照相底片等构成．
（2）原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝eq \f(1,2)mv2.
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝meq \f(v2,r).
由以上两式可得r＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q))，m＝eq \f(qr2B2,2U)，eq \f(q,m)＝eq \f(2U,B2r2).
2、 回旋加速度
（1）构造：如图所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源，D形盒处于匀强磁场中．
（2）原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝eq \f(mv2,r)，得Ekm＝eq \f(q2B2r2,2m)，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关．
（3）决定带电粒子在回旋加速器内运动时间长短的因素
带电粒子在回旋加速器内运动时间长短与带电粒子做匀速圆周运动的周期有关，同时还与带电粒子在磁场中转动的圈数有关．设带电粒子在磁场中转动的圈数为n，加速电压为U.因每加速一次粒子获得的能量为qU，每圈有两次加速．结合Ekn＝eq \f(q2B2r\\al(2,n),2m)知，2nqU＝eq \f(q2B2r\\al(2,n),2m)，因此n＝eq \f(qB2r\\al(2,n),4mU).所以带电粒子在回旋加速器内运动时间t＝nT＝eq \f(qB2r\\al(2,n),4mU)·eq \f(2πm,qB)＝eq \f(πBr\\al(2,n),2U).
二、重点题型分类例析
题型1：洛伦兹力的方向
【例题1】（2020·全国高三专题练习）科学家预言，自然界存在只有一个磁极的磁单极子，磁单极N的磁场分布如图甲所示，它与如图乙所示正点电荷Q的电场分布相似。假设磁单极子N和正点电荷Q均固定，有相同的带电小球分别在N和Q附近 （图示位置）沿水平面做匀速圆周运动，则下列判断正确的是（ ）
A．从上往下看，图甲中带电小球一定沿逆时针方向运动
B．从上往下看，图甲中带电小球一定沿顺时针方向运动
C．从上往下看，图乙中带电小球一定沿顺时针方向运动
D．从上往下看，图乙中带电小球一定沿逆时针方向运动
题型2：洛伦兹力的计算
【例题2】（2020·河北沧州市·沧州三中高三月考）（多选）如图所示，、两长直导线，垂直纸面水平固定放置，两导线中通以垂直纸面向里、大小相同的恒定电流，是、连线垂直平分线上的一点，、连线与、连线的夹角为，一质量为、电荷量为的带正电粒子从点垂直纸面向外以大小为的速度水平射出，射出瞬间，受到的洛仑兹力大小为，则（ ）
A．洛仑兹力的方向竖直向上
B．洛仑兹力的方向竖直向下
C．导线中电流产生的磁场在点的磁感应强度大小为
D．导线中电流产生的磁场在点的磁感应强度大小为
题型3：洛伦兹力和安培力的关系
【例题3】（2020·浙江高三月考）导线中带电粒子的定向运动形成了电流。带电粒子定向运动时所受洛伦兹力的矢量和，在宏观上表现为导线所受的安培力。如图所示，设导线ab中每个带正电粒子定向运动的速度都是v，单位体积的粒子数为n，粒子的电荷量为q，导线的横截面积为S，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，则下列说法正确的是
A．由题目已知条件可以算得通过导线的电流为
B．题中导线受到的安培力的方向可用安培定则判断
C．每个粒子所受的洛伦兹力为，通电导线所受的安培力为
D．改变适当的条件，有可能使图中带电粒子受到的洛伦兹力方向反向而导线受到的安培力方向保持不变
题型4：质谱仪
【例题4】（2020·江苏高三月考）带电量相同、质量不同的粒子从容器下方的小孔飘入电势差为的加速电场，其初速度几乎为零。加速后的粒子经过沿着磁场垂直的方向进入磁感应强度为的匀强磁场中，最后打在照相底片上，如图所示。运动过程中粒子之间的相互作用忽略不计，下列说法正确的是（ ）
A．这些粒子经过时的动能相同
B．这些粒子经过时的速率相同
C．这些粒子在磁场中运动的轨迹圆半径与质量成正比
D．这些粒子在磁场中运动的时间与质量成反比
题型5：电磁流量计
【例题5】（2020·遵义市南白中学高三月考）2020年爆发了新冠肺炎，该病毒传播能力非常强，因此研究新冠肺炎病毒株的实验室必须是全程都在高度无接触物理防护性条件下操作。武汉病毒研究所是我国防护等级最高的P4实验室，在该实验室中有一种污水流量计，其原理可以简化为如右图所示模型：废液内含有大量正、负离子，从直径为d的圆柱形容器右侧流入，左侧流出。流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子所受洛伦兹力方向是水平向左
B．正、负粒子所受洛伦兹力方向是相同的
C．污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
D．只需要测量MN两点电压就能够推算废液的流量
题型6：霍尔元件
【例题6】（2020·哈尔滨市·黑龙江实验中学）（多选）一长方体电阻率为的金属导体板，长、宽、厚分别为a、b、c，其中a>b>c，置于匀强磁场B中，方向垂直于导体上表面，现将金属板用图甲、乙两种方式接到内阻可不计的电源两端，合上开关后，在导体前后表面（即I、II面）将产生电势差。则关于导体以下说法正确的是（ ）
A．图甲、乙前后表面电势差相等B．图甲前后表面电势差小于图乙
C．图甲图乙中都是后表面电势高D．图甲图乙中都是前表面电势高
题型7：回旋加速器
【例题7】（2020·商河县第一中学高三月考）如图所示为回旋加速器的工作原理示意图，D形金属盒置于真空中，半径为R，两金属盒间的狭缝很小，磁感应强度大小为B的匀强磁场与金属盒盒面垂直，高频交流电的频率为f，加速电压为U，若中心粒子源处产生的初速度为0的质子（质量为m，电荷量为+e）在加速器中被加速。不考虑相对论效应，则下列说法正确的是（ ）
A．加速的粒子获得的最大动能随加速电压U的增大而增大
B．不改变磁感应强度B和交流电的频率f，该加速器一定可加速其他带正电荷的粒子
C．质子被加速后的最大速度不能超过2πRf
D．质子第二次和第一次经过D形盒间狭缝后轨道半径之比为2∶1
题型8：带电粒子在有界磁场中的运动
【例题8】（2020·赤峰二中高三月考）如图所示，矩形abcd内存在匀强磁场，ab=2ad，e为cd的中点。速率不同的同种带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，其中从e点射出的粒子速度为v1；从c点射出的粒子速度为v2，则v1∶v2为（不计粒子重力）（ ）
A．1∶2B．5∶2C．1∶3D．2∶5
题型9：带电粒子在磁场中运动的多解问题
【例题9】（2021·全国）（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直xOy平面向外。某时刻一个质子从点（L0，0）处沿y轴负方向进入磁场；一个α粒子同时从点（－L0，0）进入磁场，速度方向在xOy平面内。设质子的质量为m、电荷量为e，不计质子与α粒子的重力和它们之间的相互作用。如果α粒子第一次到达原点时恰能与质子相遇，已知质子和α粒子都带正电，且α粒子的质量是质子质量的4倍，α粒子带的电荷量是质子的2倍，则（ ）
A．质子的速度大小为
B．质子的速度大小为
C．两粒子相遇时，α粒子的运动时间可能是
D．两粒子相遇时，α粒子的运动时间可能是
题型10：带电粒子在组合场中的运动
【例题10】（2020·大连市普兰店区第三十八中学高三月考）如图所示，平面直角坐标系内有一圆形匀强磁场区域其圆心在坐标为的点，半径为，磁场的磁感应强度大小为，方向垂直坐标平面向内，在磁场区域的右侧的区域内有范围足够大的匀强电场区域，电场强度为E，方向沿轴正方向，一电荷量为q，质量为m的带负电粒子从点沿轴正方向以一定的初速度射入磁场区域，并恰好从点沿x轴正方向射出磁场区域，进入电场偏转后经x轴（2R,0）离开电场，不计带电粒子的重力和空气阻力。
(1)求带电粒子的初速度大小；
(2)粒子从进入磁场到离开电场的时间。
题型11：带电粒子在复合场中的运动
【例题11】（2020·辽宁高三三模）如图所示，空间存在一匀强电场和一竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场，在该空间内建立一个三维坐标系Oxyz（z轴正方向竖直向上）。现在x轴上的O、M两点，质量均为m的油滴a和b同时以相同速率v0喷出，带电+q的油滴a从原点沿x轴正方向喷出，在Oxz平面内做匀变速曲线运动；不带电的油滴b从x轴上M点沿z轴正方向喷出，上升到达最高点时，恰好与a相碰，瞬间结合成油滴P。忽略空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)O、M两点间距离；
(2)油滴a、b结合为P后的瞬时速度；
(3)匀强电场场强的大小。
题型12：带电粒子在交变场中的运动
【例题12】（2020·甘肃兰州市·兰州一中高三二模）某空间存在着一个变化的电场和一个变化的磁场，电场方向向右（如图甲中由B到C的方向），电场变化如图乙中E－t图像，磁感应强度变化如图丙中B－t图像。在A点，从t=1s（即1s末）开始，每隔2s，有一个相同的带电粒子（重力不计）沿AB方向（垂直于BC）以速度v射出，恰能击中C点，且粒子在AB间运动的时间小于1s，若，求：
（1）图线上E0和B0的比值是多少？磁感应强度B的方向是怎样的？
（2）若第1个粒子击中C点的时刻已知为（1＋Δt）s，那么第2个粒子击中C点的时刻是多少？
参考答案
【例题1】A
【解析】根据圆周运动的受力条件可以从图乙中判断带电小球带的一定是负电，且在电场中小球的运动方向与电场力的方向无关；由甲图中洛仑兹力方向，根据左手定则可知，带电小球一定沿逆时针方向运动。故选A。
【例题2】AC
【解析】AB．设导线中电流产生的磁场在点的磁感应强度大小为，则导线中电流产生的磁场在点的磁感应强度大小也为，由于这两个磁感应强度大小相等，夹角为，因此合磁场方向水平向右，大小，根据左手定则可知，洛仑兹力的方向竖直向上，A项正确，B项错误；
CD．由解得,C项正确，D项错误。故选AC。
【例题3】A
【解析】电流：，则A正确；导线受到的安培力的方向由左手定则判断，则B错误；粒子所受的洛伦兹力为F洛=qvB，导线长度为L，则其受的安培力为：F=nqLSvB=BIL，则C错误；洛伦兹力方向反向决定了所受到的安培力方向也反向，则D错误；故选A。
【例题4】A
【解析】AB．根据动能定理得,带电量相同，动能相同；
解得
电量相同，所以质量不同的粒子具有不同的速率，故A正确，B错误；
CD．粒子在磁场中运动的轨道半径为
半径与成正比；运动时间
时间与质量成正比，故CD均错误。故选A。
【例题5】D
【解析】A．根据左手定则，正电荷受到竖直向下的洛伦兹力，负电荷受到竖直向上的洛伦兹力，AB错误；
C.不带电液体在磁场中流动时，由于没有自由电荷，不能形成电场，MN两点没有电势差，因此无法测出流速，C错误；
D．计算液体的流速，根据
可得流速
流量,D正确。故选D。
【例题6】BD
【解析】AB．对甲图，根据电阻定律可知
设电源电动势为E，由，可知
自由电子在电场和磁场中达到平衡，有电场力等于洛仑兹力，可知
联立以上各式可求得
同理，对乙图，根据电阻定律可知
设电源电动势为E，由，可知
自由电子在电场和磁场中达到平衡，有电场力等于洛仑兹力，可知
联立以上各式可求得
因为b>c，所以有
故A错误，B正确；
CD．由于甲、乙都是金属板，所以都是自由电子在发生定向移动，由于电流的方向都是向右，故自由电子向左移动，由左手定则，可知都是金属板的后表面聚焦自由电子，从而带负电，前表面带正电，所以对金属板前后表面来说，都会有金属板前表面电势高于后表面电势，故C错误，D正确。故选BD。
【例题7】C
【解析】A．根据qvB=m知v=
则最大动能Ekm=mv2=，与加速的电压无关，故A错误；
B．带电粒子在磁场中运动的周期与加速电场的周期相等，根据T=
知，换用其他带正电荷的粒子，粒子的比荷变化，周期变化，回旋加速器需改变交流电的频率才能加速其他粒子，故B错误；
C．质子出回旋加速器的速度最大，此时的半径为R，则v=2πRf
所以最大速度不超过2πfR，故C正确；
D．粒子在加速电场中做匀加速运动，在磁场中做匀速圆周运动，根据v=
知，质子第二次和第一次经过D形盒狭缝的速度比为：1，根据r=
则半径比为：1，故D错误。故选C。
【例题8】D
【解析】速率不同的同种带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，从e点、c点射出磁场对应的轨迹如图：
由几何关系可得
则，
带电粒子在磁场中运动时，洛伦兹力充当向心力，有
解得
则，故选D。
【例题9】BC
【解析】AB．质子的运动轨迹如图所示。
其圆心在处，其半径，质子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得，故A错误，B正确；
CD．质子在磁场中做匀速圆周运动的周期
同理，α粒子的周期是质子周期的2倍；由于α粒子第一次到达原点时恰能与质子相遇，故相遇时质子可能运动了半个周期，也有可能运动了一个半周期。如果相遇时质子只运动了半个周期，则质子的运动时间为
如果质子运动了一个半周期相遇，则质子的运动时间为
两个粒子在原点相遇，则它们运动的时间一定相同，故α粒子的运动时间可能是
或
故C正确，D错误。故选BC。
【例题10】(1)；(2)
【解析】(1)粒子在磁场中做圆周运动，运动半径R，由洛伦兹力提供向心力
带电粒子从A点沿x轴正方向进入电场，在电场中做类平抛运动有
解得
(2)设粒子在磁场中运动的时间为
在场区运动的时间
解得
【例题11】(1)；(2)，方向向右上，与水平方向夹角为45°；(3)
【解析】(1)油滴b上升到达最高点所用的时间为
根据运动的同时性，可知
油滴a做类平抛运动，O、M两点间距离为
解得
(2)对油滴a分析，竖直方向上的分运动为匀加速直线运动，运动过程与油滴b对称。与b相碰前竖直方向的速度为
又因为
所以油滴a的速度为
夹角为
即方向向右上，与水平方向夹角为45°。
根据动量守恒定律
解得
速度方向向右上，与水平方向夹角为45°。
(3)对油滴a受力分析，油滴a所受的电场力的两个分力分别是F1和F2，根据题意有
解得
由力的合成可知
解得
【例题12】（1），磁场方向垂直纸面向外；（2）（3＋Δt）
【解析】（1）设，在t=1s时，空间区域只有磁场，故粒子做匀速圆周运动， 则有：
画出粒子运动轨迹，有几何关系由可得：
则：
当粒子在电场中运动时，在AB方向上匀速运动，在BC方向上是匀加速运动，则有：
联立可求得：
故
由于粒子的电场力方向与电场方向相同，故粒子带正电，由粒子在磁场中的偏转方向和左手定则可以判断磁场方向垂直纸面向外。
（2）第一个粒子击中C点的时刻已知为（1+）s，该粒子在磁场中运动，所需时间是由其轨迹对应的圆心角所确定，由几何关系可得，粒子从A到C时，轨迹所对应的圆心角为，故粒子在磁场中运动时间：Δt=
又第二个粒子在电场中运动的时间为：
故第2个粒子击中C点的时刻为：