高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）随堂练习题

3.4 函数的应用（一）（精练）

【题组一 一次函数】

1．（2021·浙江高一课时练习）某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（　　）

A．200本 B．400本 C．600本 D．800本

【答案】C

2．（2021·全国高一课时练习）据调查，某存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)

A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)

B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)

C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)

D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)

【答案】D

3．（2020·全国高一课时练习）一等腰三角形的周长是２０，底边ｙ是关于腰长ｘ的函数，它的解析式为（　　）

A．ｙ＝２０－２ｘ（ｘ１０）

B．ｙ＝２０－２ｘ（ｘ＜１０）

C．ｙ＝２０－２ｘ（５）

D．ｙ＝２０－２ｘ（５＜ｘ＜１０）

【答案】D

4．（2021·全国高一课时练习）若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

5．（2021·全国高一课时练习）在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：

下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

6．（杭州新东方高中数学试卷388）某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________．

【答案】.

7．（2021·湖北（理））2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额.新的税率表如表：

2019年1月1日后个人所得税税率表

个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人只有一个姐姐，且两人仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2020年5月份应缴纳个人所得税款为180元，那么他当月的工资、薪金税后所得是_____元.

【答案】9720

【题组二  二次函数】

1．（2021年广西）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为 (万元)．一万件售价为万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．

【答案】

2．（2021·全国高一课时练习）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为__________．

【答案】4050

3.（2021·全国高一课时练习）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数关系．已知产量为时，创造的价值也为0；当产量为55辆时，创造的价值达到最大6050元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到6000元及以上，则它应该生产的摩托车数量至少是 _____________ ；

【答案】50辆

4．（2021·石家庄市第四十四中学高一月考）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式；

（2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到万元；

（3）求第八个月公司所获得的利润.

【解】（1）设与的函数关系式为.

由题中函数图象过点、、，得，解得，

因此，所求函数关系式为；

（2）把代入，得，整理得，

，解得，

因此，截止到第十个月末公司累积利润可达到万元；

（3）第八个月公司所获得的利润为（万元）.

因此，第八个月公司所获得的利润为万元.

【题组三  分段函数】

1．（2021·成都市田家炳中学高一月考）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（百台），其总成本为G()（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本 = 固定成本 + 生产成本）；销售收入R()（万元）满足：，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律:

（1）要使工厂有赢利，产量应控制在什么范围？

（2）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？

【答案】（1）产品应控制在大于100台，小于820台的范围内；（2）当工厂生产400台产品时，赢利最多

【解析】依题意，.设利润函数为，则

.

（1）要使工厂有赢利，即解不等式，当时，

解不等式．

即.

∴   ∴，

当时，解不等式，

得， ∴，

综上所述，要使工厂赢利，应满足，

即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．

（2） 时，故当时，有最大值3.6.

而当时，

所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多.

2．（2021·山西省古县第一中学高一期中）国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.旅行社需付给航空公司包机费每团15000元.

（1）写出飞机票的价格y（单位：元）关于人数x（单位：人）的函数关系式；

（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

【解】(1)由题意，得即.

(2)设旅行社获利S(x)元，则，

即

因为S(x)＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，所以当x＝30时，S(x)取最大值12000元，

又S(x)＝－10(x－60)2＋21000在区间(30,75]上，当x＝60时，S(x)取得最大值21000.

故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润.

3．（第三章函数的概念与性质3.4函数的应用（一））一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：）与时间t（单位：h）的关系如图所示，

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象.

【解】（1）阴影部分的面积为.

阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360km.

（2）根据题意，有

这个函数的图象如图所示：

4．（2021·北京东直门中学高一月考）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角（阴影三角形）被锈蚀，其中米，米，为了合理利用这块钢板，将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上.

（1）设米，米，将表示成的函数，并求出的取值范围；

（2）求矩形面积的最大值.

【解】（1）如图所示，作于点，则，，

其中，

在中，，即，

所以，其中.

（2）设矩形的面积为，

则，

根据二次函数的性质，可得当时，单调递增，

所以当米时，矩形的面积最大，最大值为平方米.

故矩形面积的最大值为平方米.

【题组四  基本不等式】

1．（2021·四川高三二模（理））单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ）

A．135 B．149

C．165 D．195

【答案】B

2．（2021·浙江湖州中学高一开学考试）（多选）某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（    ）

A．时费用之和有最小值 B．时费用之和有最小值

C．最小值为万元 D．最小值为万元

【答案】BD

3．（2021·上海市）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.

（1）求的解析式；

（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？

【解】（1）由题意知，（k为常数），

因，则，

所以；

（2）由得，

即，

①当时，，当且仅当等号成立；

②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24，

由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.

4．（2020·全国高一课时练习）经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间（天）的函数关系近似满足（），人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足

（1）求该商场的日收益（千元）与时间（天）（，）的函数关系式；

（2）求该商场日收益的最小值（千元）．

【解】（1）根据该商场的日收益=顾客人数×人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；（2）根据第一问得到w（t）为分段函数，分别求出各段的最值，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可

（1）

（2）时，单调递增，最小值在处取到，；

时，单调递减，最小值在时取到，

单调递减，最小值在时取到，则最小值为，

由，可得最小值为．　

答：该商场日收益的最小值为千元．　

5．（2021·湖北高一期末）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）.A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).

（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；

（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？

（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.

【解】（1）由题意，，

即，，.

（2），

因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.

所以，

故政府补贴为万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为万元.

（3）对任意的(万元)，A公司都不产生亏损，则在上恒成立，

不等式整理得，，

令，则，则，

由函数在上单调递增，可得，

所以，即.

所以当复工率达到时，对任意的(万元)，A公司都不产生亏损.