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2023届高考数学二轮复习专题四立体几何第2讲空间位置关系的判断与证明课件
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这是一份2023届高考数学二轮复习专题四立体几何第2讲空间位置关系的判断与证明课件，共39页。PPT课件主要包含了热点三翻折问题等内容，欢迎下载使用。
感悟高考 明确备考方向
1.[空间线线位置关系] (2021·浙江卷,T6)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则( )A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1
2.[空间平面的平行与垂直] (2022·全国乙卷,T7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则( )A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D
解析:如图,对于选项A,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,从而EF⊥平面BDD1,又EF⊂平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故选项A正确;对于选项B,因为平面A1BD∩平面BDD1=BD,所以由选项A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故选项B错误;对于选项C,由题意知直线AA1与直线B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC不平行,故选项C错误;对于选项D,连接AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又平面AB1C与平面B1EF有公共点B1,所以平面 A1C1D与平面B1EF不平行,故选项D错误.故选A.
3.[空间线面平行的判定] (2022·全国甲卷,T19)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.(1)证明:EF∥平面ABCD;
(1)证明:如图,分别取AB,BC的中点M,N,连接EM,FN,MN,因为△EAB与△FBC均为正三角形,且边长均为8,所以EM⊥AB,FN⊥BC,且EM=FN.又平面EAB与平面FBC均垂直于平面ABCD,平面EAB∩平面ABCD=AB,平面FBC∩平面ABCD=BC,EM⊂平面EAB,FN⊂平面FBC,所以EM⊥平面ABCD,FN⊥平面ABCD,所以EM∥FN,所以四边形EMNF为平行四边形,所以EF∥MN.又MN⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.
3.[空间线面平行的判定] (2022·全国甲卷,T19)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
4.[面面垂直与锥体体积] (2021·全国乙卷,T18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M为BC的中点,且PB⊥AM.(1)证明:平面PAM⊥平面PBD;
(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,AM⊂平面ABCD,所以PD⊥AM.因为PB⊥AM,且PB∩PD=P,PB⊂平面PBD,PD⊂平面PBD,所以AM⊥平面PBD.又AM⊂平面PAM,所以平面PAM⊥平面PBD.
4.[面面垂直与锥体体积] (2021·全国乙卷,T18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M为BC的中点,且PB⊥AM.(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.
高考对此部分内容的考查,一是空间线面关系的命题的真假判断,以选择题、填空题的形式考查,属于基础题;二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题,一般以选择题、填空题或解答题的第1问的形式考查,属中档题.
突破热点 提升关键能力
热点一 空间点、线、面的位置关系
判断空间直线、平面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断,解决问题.(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、正四面体等模型中观察线、面的位置关系,并结合有关定理进行判断.
典例1 (1)(2022·河南焦作二模)设m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A.若m⊂α,n∥β,α⊥β,则m⊥nB.若m∥α,α∩β=n,则m∥nC.若α∩β=l,α⊥β,m⊂α,m⊥l,m∥n,则n⊥βD.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α∥β
解析:(1)若m⊂α,n∥β,α⊥β,则m与n的位置关系可能是平行、相交或异面,故A错误;若m∥α,α∩β=n,则m与n的位置关系可能是平行或异面,故B错误;若α∩β=l,α⊥β,m⊂α,m⊥l,则m⊥β,因为m∥n,所以n⊥β,故C正确;因为m⊥n,m⊥α,n∥β,所以α与β相交或平行,故D错误.故选C.
(2)(2022·浙江绍兴模拟预测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是线段CD1上的动点,则( )A.AP∥平面BC1DB.AP∥平面A1BC1C.AP⊥平面A1BDD.AP⊥平面BB1D1
解析:(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,由AA1与CC1平行且相等得四边形ACC1A1是平行四边形,则A1C1∥AC,AC⊄平面A1BC1,A1C1⊂平面A1BC1,得AC∥平面A1BC1,同理AD1∥平面A1BC1,而AD1,AC是平面AD1C内两条相交直线,因此有平面AD1C∥平面A1BC1,AP⊂平面AD1C,所以AP∥平面A1BC1,故选B.
(1)根据定理判断空间线面位置关系,可以举反例,也可以证明,要结合题目灵活选择.(2)求角时,可借助等角定理先利用平行关系找到这个角,然后把这个角放到三角形中去求解.
热点训练1 (1)(多选题)(2022·江苏如东高三期末)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则( )A.若m∥n,n⊂α,则m∥αB.若m⊥n,n⊂α,则m⊥αC.若m⊥α,n⊥α,则m∥nD.若m∥α,m∥β,α∩β=n,则m∥n
解析:(1)m∥n,n⊂α时,m⊂α或m∥α,A错误;m⊥n,n⊂α,m与α可能平行,可能相交,也可能m⊂α,不一定垂直,B错误;若m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质定理知,C正确;m∥α,m∥β,α∩β=n,如图,过m作平面γ交β于直线l,由m∥β得m∥l,同理过m作平面δ与α交于直线p,得m∥p,所以l∥p,而l⊄α,所以l∥α,又l⊂β,α∩β=n,则l∥n,所以m∥n,D正确.故选CD.
(2)(2022·四川泸州模拟)已知O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的中心O关于平面A1B1C1D1的对称点,则下列说法中正确的是( )A.O1C1与A1C是异面直线B.O1C1∥平面A1BCD1C.O1C1⊥ADD.O1C1⊥平面BDD1B1
解析:(2)连接A1C,AC1,交于点O,连接A1C1,B1D1,交于点P. 连接AC,BD,A1B,D1C,O1O.由题可知,O1在平面A1C1CA上,所以O1C1与A1C共面,故A错误;在四边形OO1C1C中,O1O∥C1C且O1O=C1C,所以四边形OO1C1C为平行四边形, 所以O1C1∥OC.因为OC⊂平面A1BCD1,O1C1⊄平面A1BCD1,所以O1C1∥平面A1BCD1,故B正确;由正方体的性质可得A1C1⊥B1D1,因为O1B1=O1D1,所以O1P⊥B1D1,又因为O1P∩A1C1=P,所以B1D1⊥平面O1A1C1, 所以B1D1⊥O1C1,又因为B1D1∥BD,所以BD⊥O1C1,而AD与BD所成角为45°,显然O1C1与AD不垂直,故C错误;显然O1C1与O1B1不垂直,而O1B1⊂平面BDD1B1,所以O1C1与平面BDD1B1不垂直,故D错误.故选B.
热点二 空间平行、垂直关系的证明
1.平行关系及垂直关系的转化
2.利用向量证明空间位置关系(1)利用向量证明平行问题.①线线平行:方向向量平行.②线面平行:平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直.③面面平行:两平面的法向量平行.(2)利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法.
典例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,M为AB的中点,N为B1C1的中点,H是A1B1的中点,P是BC1与B1C的交点,Q是A1N与C1H的交点.(1)求证:A1C⊥BC1;
典例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,M为AB的中点,N为B1C1的中点,H是A1B1的中点,P是BC1与B1C的交点,Q是A1N与C1H的交点.(2)求证:PQ∥平面A1CM.
法二 连接BH,MH.在正方形AA1B1B中,M为AB的中点,所以BM∥A1H且BM=A1H,所以四边形BMA1H是平行四边形,所以BH∥A1M.因为BH⊄平面A1CM,A1M⊂平面A1CM,所以BH∥平面A1CM.又H为A1B1的中点,所以四边形AA1HM是矩形,所以MH∥AA1且MH=AA1.因为AA1∥C1C且AA1=C1C,所以MH∥CC1,MH=C1C,所以四边形MHC1C为平行四边形,所以C1H∥CM.因为C1H⊄平面A1CM,CM⊂平面A1CM,所以C1H∥平面A1CM,因为C1H∩BH=H,C1H⊂平面BHC1,BH⊂平面BHC1,所以平面BHC1∥平面A1CM,又PQ⊂平面BHC1,所以PQ∥平面A1CM.
(1)证明线线平行的常用方法:①三角形的中位线定理等平面几何中的定理;②平行线的传递性;③线面平行的性质定理;④面面平行的性质定理;⑤线面垂直的性质定理.(2)证明线线垂直的常用方法:①等腰三角形三线合一等平面几何知识;②勾股定理的逆定理;③利用线面垂直证线线垂直.
热点训练2 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(1)求证:BD⊥平面PAC;
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC.又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.
热点训练2 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE;
(2)证明:因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PA⊥AE.因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,且E为CD的中点,所以AE⊥CD.又因为AB∥CD,所以AB⊥AE.又AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB,所以AE⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE.
热点训练2 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(3)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由.
翻折问题的关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变,一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变,而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化;对于不变的关系应在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决.
(1)证明:BE⊥平面AEF;
(2)求点F到平面ACE的距离.
解决与折叠有关问题的突破口是抓住折叠前后的不变量.在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形,善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.
热点训练3 如图是矩形ABCD和以边AB为直径的半圆组成的平面图形,AB=2AD=2a.将此图形沿AB折叠,使平面ABCD垂直于半圆所在的平面.若点E是折后图形中半圆O上异于A,B的点.(1)证明:EA⊥EC;
(1)证明:因为平面ABCD⊥半圆O所在的平面,平面ABCD∩半圆O=AB,BC⊂平面ABCD,BC⊥AB,所以BC⊥半圆O.又EA⊂半圆O,所以BC⊥EA,又∠AEB是直角,即BE⊥EA,而BE∩BC=B,BE,BC⊂平面EBC,所以EA⊥平面EBC,又EC⊂平面EBC,所以EA⊥EC.
热点训练3 如图是矩形ABCD和以边AB为直径的半圆组成的平面图形,AB=2AD=2a.将此图形沿AB折叠,使平面ABCD垂直于半圆所在的平面.若点E是折后图形中半圆O上异于A,B的点.
感悟高考 明确备考方向
1.[空间线线位置关系] (2021·浙江卷,T6)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则( )A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1
2.[空间平面的平行与垂直] (2022·全国乙卷,T7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则( )A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D
解析:如图,对于选项A,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,从而EF⊥平面BDD1,又EF⊂平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故选项A正确;对于选项B,因为平面A1BD∩平面BDD1=BD,所以由选项A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故选项B错误;对于选项C,由题意知直线AA1与直线B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC不平行,故选项C错误;对于选项D,连接AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又平面AB1C与平面B1EF有公共点B1,所以平面 A1C1D与平面B1EF不平行,故选项D错误.故选A.
3.[空间线面平行的判定] (2022·全国甲卷,T19)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.(1)证明:EF∥平面ABCD;
(1)证明:如图,分别取AB,BC的中点M,N,连接EM,FN,MN,因为△EAB与△FBC均为正三角形,且边长均为8,所以EM⊥AB,FN⊥BC,且EM=FN.又平面EAB与平面FBC均垂直于平面ABCD,平面EAB∩平面ABCD=AB,平面FBC∩平面ABCD=BC,EM⊂平面EAB,FN⊂平面FBC,所以EM⊥平面ABCD,FN⊥平面ABCD,所以EM∥FN,所以四边形EMNF为平行四边形,所以EF∥MN.又MN⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.
3.[空间线面平行的判定] (2022·全国甲卷,T19)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
4.[面面垂直与锥体体积] (2021·全国乙卷,T18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M为BC的中点,且PB⊥AM.(1)证明:平面PAM⊥平面PBD;
(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,AM⊂平面ABCD,所以PD⊥AM.因为PB⊥AM,且PB∩PD=P,PB⊂平面PBD,PD⊂平面PBD,所以AM⊥平面PBD.又AM⊂平面PAM,所以平面PAM⊥平面PBD.
4.[面面垂直与锥体体积] (2021·全国乙卷,T18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M为BC的中点,且PB⊥AM.(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.
高考对此部分内容的考查,一是空间线面关系的命题的真假判断,以选择题、填空题的形式考查,属于基础题;二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题,一般以选择题、填空题或解答题的第1问的形式考查,属中档题.
突破热点 提升关键能力
热点一 空间点、线、面的位置关系
判断空间直线、平面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断,解决问题.(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、正四面体等模型中观察线、面的位置关系,并结合有关定理进行判断.
典例1 (1)(2022·河南焦作二模)设m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A.若m⊂α,n∥β,α⊥β,则m⊥nB.若m∥α,α∩β=n,则m∥nC.若α∩β=l,α⊥β,m⊂α,m⊥l,m∥n,则n⊥βD.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α∥β
解析:(1)若m⊂α,n∥β,α⊥β,则m与n的位置关系可能是平行、相交或异面,故A错误;若m∥α,α∩β=n,则m与n的位置关系可能是平行或异面,故B错误;若α∩β=l,α⊥β,m⊂α,m⊥l,则m⊥β,因为m∥n,所以n⊥β,故C正确;因为m⊥n,m⊥α,n∥β,所以α与β相交或平行,故D错误.故选C.
(2)(2022·浙江绍兴模拟预测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是线段CD1上的动点,则( )A.AP∥平面BC1DB.AP∥平面A1BC1C.AP⊥平面A1BDD.AP⊥平面BB1D1
解析:(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,由AA1与CC1平行且相等得四边形ACC1A1是平行四边形,则A1C1∥AC,AC⊄平面A1BC1,A1C1⊂平面A1BC1,得AC∥平面A1BC1,同理AD1∥平面A1BC1,而AD1,AC是平面AD1C内两条相交直线,因此有平面AD1C∥平面A1BC1,AP⊂平面AD1C,所以AP∥平面A1BC1,故选B.
(1)根据定理判断空间线面位置关系,可以举反例,也可以证明,要结合题目灵活选择.(2)求角时,可借助等角定理先利用平行关系找到这个角,然后把这个角放到三角形中去求解.
热点训练1 (1)(多选题)(2022·江苏如东高三期末)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则( )A.若m∥n,n⊂α,则m∥αB.若m⊥n,n⊂α,则m⊥αC.若m⊥α,n⊥α,则m∥nD.若m∥α,m∥β,α∩β=n,则m∥n
解析:(1)m∥n,n⊂α时,m⊂α或m∥α,A错误;m⊥n,n⊂α,m与α可能平行,可能相交,也可能m⊂α,不一定垂直,B错误;若m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质定理知,C正确;m∥α,m∥β,α∩β=n,如图,过m作平面γ交β于直线l,由m∥β得m∥l,同理过m作平面δ与α交于直线p,得m∥p,所以l∥p,而l⊄α,所以l∥α,又l⊂β,α∩β=n,则l∥n,所以m∥n,D正确.故选CD.
(2)(2022·四川泸州模拟)已知O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的中心O关于平面A1B1C1D1的对称点,则下列说法中正确的是( )A.O1C1与A1C是异面直线B.O1C1∥平面A1BCD1C.O1C1⊥ADD.O1C1⊥平面BDD1B1
解析:(2)连接A1C,AC1,交于点O,连接A1C1,B1D1,交于点P. 连接AC,BD,A1B,D1C,O1O.由题可知,O1在平面A1C1CA上,所以O1C1与A1C共面,故A错误;在四边形OO1C1C中,O1O∥C1C且O1O=C1C,所以四边形OO1C1C为平行四边形, 所以O1C1∥OC.因为OC⊂平面A1BCD1,O1C1⊄平面A1BCD1,所以O1C1∥平面A1BCD1,故B正确;由正方体的性质可得A1C1⊥B1D1,因为O1B1=O1D1,所以O1P⊥B1D1,又因为O1P∩A1C1=P,所以B1D1⊥平面O1A1C1, 所以B1D1⊥O1C1,又因为B1D1∥BD,所以BD⊥O1C1,而AD与BD所成角为45°,显然O1C1与AD不垂直,故C错误;显然O1C1与O1B1不垂直,而O1B1⊂平面BDD1B1,所以O1C1与平面BDD1B1不垂直,故D错误.故选B.
热点二 空间平行、垂直关系的证明
1.平行关系及垂直关系的转化
2.利用向量证明空间位置关系(1)利用向量证明平行问题.①线线平行:方向向量平行.②线面平行:平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直.③面面平行:两平面的法向量平行.(2)利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法.
典例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,M为AB的中点,N为B1C1的中点,H是A1B1的中点,P是BC1与B1C的交点,Q是A1N与C1H的交点.(1)求证:A1C⊥BC1;
典例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,M为AB的中点,N为B1C1的中点,H是A1B1的中点,P是BC1与B1C的交点,Q是A1N与C1H的交点.(2)求证:PQ∥平面A1CM.
法二 连接BH,MH.在正方形AA1B1B中,M为AB的中点,所以BM∥A1H且BM=A1H,所以四边形BMA1H是平行四边形,所以BH∥A1M.因为BH⊄平面A1CM,A1M⊂平面A1CM,所以BH∥平面A1CM.又H为A1B1的中点,所以四边形AA1HM是矩形,所以MH∥AA1且MH=AA1.因为AA1∥C1C且AA1=C1C,所以MH∥CC1,MH=C1C,所以四边形MHC1C为平行四边形,所以C1H∥CM.因为C1H⊄平面A1CM,CM⊂平面A1CM,所以C1H∥平面A1CM,因为C1H∩BH=H,C1H⊂平面BHC1,BH⊂平面BHC1,所以平面BHC1∥平面A1CM,又PQ⊂平面BHC1,所以PQ∥平面A1CM.
(1)证明线线平行的常用方法:①三角形的中位线定理等平面几何中的定理;②平行线的传递性;③线面平行的性质定理;④面面平行的性质定理;⑤线面垂直的性质定理.(2)证明线线垂直的常用方法:①等腰三角形三线合一等平面几何知识;②勾股定理的逆定理;③利用线面垂直证线线垂直.
热点训练2 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(1)求证:BD⊥平面PAC;
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC.又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.
热点训练2 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE;
(2)证明:因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PA⊥AE.因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,且E为CD的中点,所以AE⊥CD.又因为AB∥CD,所以AB⊥AE.又AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB,所以AE⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE.
热点训练2 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(3)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由.
翻折问题的关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变,一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变,而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化;对于不变的关系应在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决.
(1)证明:BE⊥平面AEF;
(2)求点F到平面ACE的距离.
解决与折叠有关问题的突破口是抓住折叠前后的不变量.在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形,善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.
热点训练3 如图是矩形ABCD和以边AB为直径的半圆组成的平面图形,AB=2AD=2a.将此图形沿AB折叠,使平面ABCD垂直于半圆所在的平面.若点E是折后图形中半圆O上异于A,B的点.(1)证明:EA⊥EC;
(1)证明:因为平面ABCD⊥半圆O所在的平面,平面ABCD∩半圆O=AB,BC⊂平面ABCD,BC⊥AB,所以BC⊥半圆O.又EA⊂半圆O,所以BC⊥EA,又∠AEB是直角,即BE⊥EA,而BE∩BC=B,BE,BC⊂平面EBC,所以EA⊥平面EBC,又EC⊂平面EBC,所以EA⊥EC.
热点训练3 如图是矩形ABCD和以边AB为直径的半圆组成的平面图形,AB=2AD=2a.将此图形沿AB折叠,使平面ABCD垂直于半圆所在的平面.若点E是折后图形中半圆O上异于A,B的点.
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