2023届高考数学二轮复习多得分，要想解题巧，数学思想离不了学案含答案

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数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中．
一 函数与方程思想
例1
[2022·全国甲卷]记Sn为数列{an}的前n项和．已知2Snn＋n＝2an＋1.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
听课笔记：
对接训练
1.f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f(x)≥0成立，则a＝________．
二 数形结合思想
例2
[2022·全国乙卷]双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cs∠F1NF2＝35，则C的离心率为( )
A．52 B．32C．132 D．172
听课笔记：
对接训练
2.已知函数f(x)＝ex，x≤0lnx，x>0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
三 分类讨论思想
例3
[2022·北京卷]设函数f(x)＝-ax+1，x0(n＝1，2，3，…)，则q的取值范围是________．
四 转化与化归思想
例4
已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m>1，都有f(x＋t)≤3ex，试求m的最大值．
听课笔记：
对接训练
4.[2022·新高考Ⅰ卷](多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)，若f(32－2x)，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A．f(0)＝0B.g(－12)＝0
C.f(－1)＝f(4) D.g(－1)＝g(2)
探究三 多得分，要想解题巧，数学思想离不了
一 函数与方程思想
[例1] 解析：(1)证明：由已知条件，得Sn＝nan－n22+n2.
当n＝1时，a1＝S1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－n22+n2-n-1an-1-n-122+n-12，∴(1－n)an＝－n＋1－(n－1)an－1.
等式两边同时除以1－n，得an＝1＋an－1，
∴an－an－1＝1.
∴{an}是公差为1的等差数列．
(2)由(1)可得an＝a1＋(n－1)．
∴a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8.
∵a4，a7，a9成等比数列，∴a72＝a4·a9，
即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，∴a1＝－12，
∴Sn＝na1＋nn-12×1＝－12n＋n2-n2＝12n2－252n.
当n＝12或n＝13时，Sn取得最小值，为12×122－252×12＝－78.
对接训练
1．解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x＞0即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x2-1x3，
设g(x)＝3x2-1x3，则g′(x)＝31-2xx4，所以g(x)在区间(0，12]上单调递增，在区间[12，1]上单调递减，
因此g(x)max＝g(12)＝4，从而a≥4；
当x＜0即x∈[－1，0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤3x2-1x3，
设g(x)＝3x2-1x3，且g(x)在区间[－1，0)上单调递增，
因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.
答案：4
二 数形结合思想
[例2] 解析：由题意，知点N在双曲线的右支上，不妨设点N在第一象限，如图．
设切点为点A，连接DA，则DA⊥MN，易知|DA|＝a，|DF1|＝c，则|AF1|＝c2-a2＝b.过点F2作F2B⊥MN交直线MN于点B，则F2B∥DA.又因为点D为F1F2的中点，所以|F2B|＝2|DA|＝2a，|F1B|＝2|AF1|＝2b.由cs ∠F1NF2＝35，得sin ∠F1NF2＝45，tan ∠F1NF2＝43，所以|F2N|＝F2Bsin∠F1NF2＝5a2，|BN|＝F2Btan∠F1NF2＝3a2，所以|F1N|＝|F1B|＋|BN|＝2b＋3a2.由双曲线的定义，得|F1N|－|F2N|＝2a，则2b－a＝2a，即ba＝32.所以双曲线C的离心率e＝1+b2a2＝1+94＝132.故选C.
答案：C
对接训练
2.
解析：函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
答案：C
三 分类讨论思想
[例3] 解析：当a