2023届高考数学二轮复习2-1-3函数、导数学案含答案

三　函数、导数

【必记结论】

1.函数的定义域和值域

(1)求函数定义域的类型和相应方法

①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．

②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．

(2)常见函数的值域

①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R.

②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为[，＋∞)，当a<0时，值域为(－∞，]；

③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．

2．函数的奇偶性、周期性

(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．

(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．

3．函数的单调性

函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．

①单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，

那么(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；

(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．

4．指数函数与对数函数的基本性质

(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0，1)点；

y＝logax(a>0，且a≠1)恒过(1，0)点．

(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；

当0<a<1时，y＝ax在R上单调递减；y＝logax在(0，＋∞)上单调递减．

5．导数的几何意义

(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．

6．利用导数研究函数的单调性

(1)求可导函数单调区间的一般步骤

①求函数f(x)的定义域；

②求导函数f′(x)；

③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．

(2)由函数的单调性求参数的取值范围

①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意：等号不恒成立)；

②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；

③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．

7．利用导数研究函数的极值与最值

(1)求函数的极值的一般步骤

①确定函数的定义域；

②解方程f′(x)＝0；

③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化；

若左正右负，则x0为极大值点；

若左负右正，则x0为极小值点；

若不变号，则x0不是极值点．

(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤

①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；

②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

【易错剖析】

易错点1　函数的单调区间理解不准确

【突破点】　对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可．

易错点2　判断函数的奇偶性时忽略定义域

【突破点】　一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数．

易错点3　不清楚导数与极值的关系

【突破点】　(1)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑f′(x)在x0两侧是否异号．

(2)已知极值点求参数要进行检验．

易错点4　混淆“切点”致误

【突破点】　注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．

易错点5　导数与单调性的关系理解不准确

【突破点】　(1)f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上单调递增(递减)的充分不必要条件．

(2)对可导函数f(x)在(a，b)上为单调增(减)函数的充要条件为：对于任意x∈(a，b)，有f(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)内的任何子区间上都不恒为零．若求单调区间，可用充分条件．若由单调性求参数，可用充要条件．即f′(x)≥0(或f(x)≤0)，否则容易漏解．

【易错快攻】

易错快攻一　混淆“切点”致误

[典例1]　[2022·新高考Ⅰ卷]若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．

听课笔记：

易错快攻二　混淆“函数的单调区间”“函数在区间上单调”“函数存在单调区间”

[典例2]　设函数f(x)＝(a∈R)．

(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．

听课笔记：

三　函数、导数

[典例1]　解析：设切线的切点坐标为(x0，y0)．令f(x)＝(x＋a)ex，则f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x0)＝.因为y0＝，切线过原点，所以f′(x0)＝，即＝.整理，得＋ax0－a＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0.

答案：(－∞，－4)∪(0，+∞)

[典例2]　解析：(1)对f(x)求导得

f′(x)＝＝.

因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.

当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，从而曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.

(2)方法一　f′(x)＝.

令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，设x1，x2为g(x)＝0的两根，则x1＝，x2＝.

当x<x1时，g(x)<0，即f′(x)<0，此时f(x)为减函数；

当x1<x<x2时，g(x)>0，即f′(x)>0，此时f(x)为增函数；

当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，此时f(x)为减函数．

由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，得x2＝≤3，解得a≥－，

故a的取值范围为[－，＋∞)．

方法二　f′(x)＝，由题意知－3x2＋(6－a)x＋a≤0对任意的x∈[3，＋∞)恒成立(且不恒等于0)，分离参数得a≥(x≥3)．

令t＝x－1，则x＝t＋1，且t≥2，所以a≥＝＝－3t＋在[2，＋∞)上恒成立，故a≥(－3t＋)max＝－6＋＝－.

经检验，a＝－时满足题意．故a的取值范围为[－，＋∞)．