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2023届高考数学二轮复习2-1-7解析几何学案含答案
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这是一份2023届高考数学二轮复习2-1-7解析几何学案含答案,共9页。学案主要包含了易错剖析,易错快攻等内容,欢迎下载使用。
七 解析几何『必记知识』1.直线方程的五种形式(1)点斜式:y-y1=k(x-x1)(直线过点P1(x1,y1),且斜率为k,不包括y轴和平行于y轴的直线).(2)斜截式:y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距,且斜率为k,不包括y轴和平行于y轴的直线).(3)两点式:=(直线过点P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).(4)截距式:=1(a,b分别为直线的横、纵截距,且a≠0,b≠0,不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线).(5)一般式:Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0).2.直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时:(1)两直线平行l1∥l2⇔k1=k2.(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2=-1.3.三种距离公式(1)A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离|AB|=.(2)点到直线的距离d=(其中点P(x0,y0),直线方程为Ax+By+C=0).(3)两平行线间的距离d=(其中两平行线方程分别为l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0且C1≠C2).4.圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).5.直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系:相交、相切、相离,代数判断法与几何判断法.(2)圆与圆的位置关系:相交、内切、外切、外离、内含,代数判断法与几何判断法.6.椭圆的标准方程及几何性质标准方程=1(a>b>0)=1(a>b>0)图形几何性质范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a对称性对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)顶点A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a);B1(-b,0),B2(b,0)轴线段A1A2,B1B2分别是椭圆的长轴和短轴;长轴长为2a,短轴长为2b焦距|F1F2|=2c离心率焦距与长轴长的比值:e==∈(0,1)a,b,c的关系c2=a2-b2 7.双曲线的标准方程及几何性质标准方程=1(a>0,b>0)=1(a>0,b>0)图形几何性质范围|x|≥a,y∈R|y|≥a,x∈R对称性对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴线段A1A2,B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长为2a,虚轴长为2b焦距|F1F2|=2c离心率焦距与实轴长的比值:e==∈(1,+∞)渐近线y=±xy=±xa,b, c的关系a2=c2-b2 8.抛物线的标准方程及几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形几何性质对称轴x轴y轴顶点O(0,0)焦点FFFF准线方程x=-x=y=-y=范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R离心率e=19.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则渐近线的方程为=0,即y=±x.(2)若渐近线的方程为y=±x(a>0,b>0),即±=0,则双曲线的方程可设为=λ(λ≠0).(3)若所求双曲线与双曲线=1(a>0,b>0)有公共渐近线,其方程可设为=λ(λ>0,焦点在x轴上;λ<0,焦点在y轴上).10.抛物线焦点弦的相关结论设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),α为直线AB的倾斜角,则(1)x1x2=,y1y2=-p2.(2)弦长|AB|=x1+x2+p=.(3)=.(4)以弦AB为直径的圆与准线相切. 【易错剖析】易错点1 遗漏方程表示圆的充要条件【突破点】 二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0,在此条件下,再根据其他条件求解.易错点2 解决截距问题忽略“0”的情形【突破点】 解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时,需注意两点:(1)截距不是距离,直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线.因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论.易错点3 忽视斜率不存在的情况【突破点】 (1)在解决两直线平行的相关问题时,若利用l1∥l2⇔k1=k2求解,忽略k1,k2不存在的情况,就会导致漏解.(2)对于解决两直线垂直的相关问题时,若利用l1⊥l2⇔k1·k2=-1求解,要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在.易错点4 忽略直线与圆锥曲线相交问题中的判别式【突破点】 凡是涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题,一定不能忘记对判别式的讨论.易错点5 忽视双曲线定义中的条件【突破点】 双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一,绝对值;其二,2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件,动点到两定点的距离之差为常数,而不是差的绝对值为常数,那么其轨迹只能是双曲线的一支.易错点6 忽视圆锥曲线定义中的焦点位置【突破点】 椭圆的焦点位置由分母的大小确定,双曲线则是根据二次项系数的符号来确定的.解决此类问题时,一定要将方程化为曲线的标准形式. 【易错快攻】易错快攻一 遗漏直线的斜率不存在的情况[典例2] [2022·全国乙卷]已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B(,-1)两点.(1)求E的方程;(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足=.证明:直线HN过定点.听课笔记: 易错快攻二 忽视双曲线定义中的限制条件[典例2] 点P到曲线E上所有点的距离的最小值称为点P到曲线E的距离,那么平面内到定圆C的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点P的轨迹是( )A.射线 B.椭圆C.双曲线的一支 D.双曲线听课笔记: 七 解析几何[典例1] 解析:(1)设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).将点A(0,-2),B(,-1)的坐标代入,得解得所以椭圆E的方程为=1.(2)证明:方法一 设M(x1,y1),N(x2,y2).由题意,知直线MN与y轴不垂直,设其方程为x-1=t(y+2).联立得方程组消去x并整理,得(4t2+3)y2+(16t2+8t)y+16t2+16t-8=0,所以y1+y2=-,y1y2=.设T(x0,y1).由A,B,T三点共线,得=,得x0=y1+3.设H(x′,y′).由=,得(y1+3-x1,0)=(x′-y1-3,y′-y1),所以x′=3y1+6-x1,y′=y1,所以直线HN的斜率k===,所以直线HN的方程为y-y2=·(x-x2).令x=0,得y=·(-x2)+y2=+y2===-2.所以直线NH过定点(0,-2).方法二 由A(0,-2),B(,-1)可得直线AB的方程为y=x-2.a.若过点P(1,-2)的直线的斜率不存在,则其直线方程为x=1.将直线方程x=1代入=1,可得N(1,),M(1,-).将y=-代入y=x-2,可得T(3-,-).由=,得H(5-2,-).此时直线HN的方程为y=(2+)(x-1)+,则直线HN过定点(0,-2).b.若过点P(1,-2)的直线的斜率存在,设此直线方程为kx-y-(k+2)=0,M(x1,y1),N(x2,y2).联立得方程组消去y并整理,得(3k2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0.所以则且x1y2+x2y1=.①联立得方程组,可得T(+3,y1).由=,得H(3y1+6-x1,y1).则直线HN的方程为y-y2=(x-x2).将点(0,-2)的坐标代入并整理,得2(x1+x2)-6(y1+y2)+x1y2+x2y1-3y1y2-12=0.②将①代入②,得24k+12k2+96+48k-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0,显然成立.综上可得,直线HN过定点(0,-2).[典例2] 解析:设圆C的半径为r,依据题意可知,|PC|=|PA|+r,即|PC|-|PA|=r,且r<|AC|,故所求点P的轨迹为以A,C为焦点的双曲线靠近A点的一支,故选C.答案:C
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