2023届高考数学二轮复习专题一函数与导数第3讲不等式学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题一函数与导数第3讲不等式学案，共12页。
第3讲　不等式1.[不等式性质的应用] (多选题)(2020·新高考Ⅰ卷,T11)已知a>0,b>0,且a+b=1,则(　ABD　)A.a2+b2≥B.2a-b>C.log2a+log2b≥-2D.+≤解析:对于选项A,因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2=1,所以a2+b2≥,正确;对于选项B,易知0<a<1,0<b<1,所以-1<a-b<1,所以2a-b>2-1=,正确;对于选项C,令a=,b=,则log2+log2=-2+log2<-2,错误;对于选项D,因为=,所以[]2-(+)2=a+b-2=(-)2≥0,所以+≤,正确.故选ABD.2.[基本不等式的理解] (2021·全国乙卷,T8)下列函数中最小值为4的是(　C　)A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+C.y=2x+22-x D.y=ln x+解析:选项A,因为y=x2+2x+4=(x+1)2+3,所以当x=-1时,y取得最小值,且ymin=3,所以选项A不符合题意;选项B,因为y=|sin x|+≥2=4,所以y≥4,当且仅当|sin x|=,即|sin x|=2时,不等式取等号,但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|=2不可能成立,因此可知y>4,所以选项B不符合题意;选项C,因为y=2x+22-x≥2=4,当且仅当2x=22-x,即x=2-x,即x=1时,不等式取等号,所以ymin=4,所以选项C符合题意;选项D,当0<x<1时,ln x<0,y=ln x+<0,所以选项D不符合题意.故选C.3.[基本不等式的应用] (2021·新高考Ⅰ卷,T5)已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　C　)A.13 B.12 C.9 D.6解析:由椭圆C:+=1,得|MF1|+|MF2|=2×3=6,则|MF1|·|MF2|≤()2=32=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故选C.4.[不等式的解法] (2019·天津卷,T10)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为　　　　. 解析:3x2+x-2<0变形为(x+1)(3x-2)<0,解得-1<x<,故使不等式成立的x的取值范围为(-1,).答案:(-1,)5.[利用基本不等式求最值] (2021·天津卷,T13)若a>0,b>0,则++b的最小值为　　　　. 解析:因为≥,所以++b=+++≥4=2,当且仅当===时,等号成立,即a=b=时,++b取得最小值2.答案:2　　高考对不等式的性质及不等式的解法的考查一般不单独命题,常和集合、函数图象与性质相结合,也常渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中.基本不等式主要渗透在其他知识中求最值.题型多以选择题、填空题的形式呈现,中等难度.热点一　不等式的性质及应用不等式的倒数性质(1)a>b,ab>0⇒<.(2)a<0<b⇒<.(3)a>b>0,0<c<d⇒>.典例1　(1)(多选题)(2022·河北张家口一模)若a>b,则下列不等式正确的有(　　)A.a-b>0 B.2a>2bC.ac>bc D.a2>b2(2)(2022·安徽淮南模拟)设<a<1,m=loga(a2+1),n=loga(1-a),p=loga,则m,n,p的大小关系是(　　)A.n>m>p B.m>p>nC.p>n>m D.n>p>m解析:(1)对于A,因为a>b,所以a-b>0,故A正确;对于B,因为函数f(x)=2x在R上单调递增,所以2a>2b,故B正确;对于C,当c≤0时,ac>bc不成立,故C不正确;对于D,当a=1,b=-2时,a2=1<b2=4,故D不正确.故选AB.(2)因为<a<1,所以a2+1-=>0,-(1-a)==>0,又y=logax为减函数,所以m<p,p<n.可得n>p>m.故选D.判断关于不等式命题真假的常用方法(1)作差法、作商法.(2)利用不等式的性质推理判断.(3)利用函数的单调性.(4)特殊值验证法,特殊值法只能排除错误的命题,不能判断正确的命题.热点训练1　 (1)(多选题)(2022·广东惠州一模)对于实数a,b,c,下列结论正确的是(　　)A.若a>b,则ac<bcB.若ac2>bc2,则a>bC.若a<b<0,则|a|>|b|D.若c>a>b>0,则>(2)(2022·福建模拟预测)若a>0,b>0,则“a+b<2”的一个必要不充分条件是(　　)A.+<1 B.ab<1C.a2+b2<2 D.<解析:(1)对于A,当c=0时,ac=bc,故A错误;对于B,若ac2>bc2,则a>b,故B正确;对于C,若a<b<0,则|a|>|b|,故C正确;对于D,若c>a>b>0,则0<c-a<c-b,从而有>,故D正确.故选BCD.(2)因为a>0,b>0,对于A,当a+b<2时,取a=b=,明显可见,+<1不成立,故必要性不成立,A错误;对于B,当a+b<2时,0<b<2-a,得ab<a(2-a)=-(a-1)2+1<1,必要性成立;当ab<1时,取a=2,b=,明显可见,a+b>2,则a+b<2不成立,充分性不成立,B正确;对于C,当a+b<2时,取a=,b=,明显可见,a2+b2=+>2,则a2+b2<2不成立,故必要性不成立,C错误;对于D,当a+b<2成立时,0<a<2-b,明显可见,<成立,当<,两边平方,同样有a+b<2,充分性也成立,D错误.故选B.热点二　不等式的解法不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a,x∈I;f(x)<a对一切x∈I恒成立⇔f(x)max<a,x∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔当x∈I时,f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方.(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法.典例2　(1)(2022·河北模拟预测)已知集合A={x|x2-2x+3≥0},B=,则A∩B等于(　　)A.{x|-2<x≤3}B.{-1,0,1,2,3}C.{-2,-1,1,2,3}D.R(2)若不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则实数a的取值范围是(　　)A.(-2,) B.[-2,)C.[-2,] D.[-2,)∪{2}解析:(1)解不等式x2-2x+3≥0,x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以x∈R,解不等式≤0得-2<x≤3,B={-1,0,1,2,3},所以A∩B={-1,0,1,2,3}.故选B.(2)当a2-4=0时,解得a=2或a=-2,当a=2时,不等式可化为4x-1≥0,解集不是空集,不符合题意;当a=-2时,不等式可化为-1≥0,此式不成立,解集为空集.当a2-4≠0时,要使不等式的解集为空集,则有解得-2<a<.综上,实数a的取值范围是[-2,).故选B.求解含参不等式ax2+bx+c<0恒成立问题的易错点(1)对参数进行讨论时分类不完整,易忽略a=0时的情况.(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解.(3)不考虑a的符号.热点训练2　 (1)已知关于x的不等式ax-b≤0的解集是[2,+∞),则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0的解集是(　　)A.(-∞,-3)∪(2,+∞) B.(-3,2)C.(-∞,-2)∪(3,+∞) D.(-2,3)(2)已知函数f(x)=则不等式x2f(x)+x-2≤0的解集是　　　　　　　. 解析:(1)由关于x的不等式ax-b≤0的解集是[2,+∞),得b=2a且a<0,则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0可化为x2+x-6>0,即(x+3)(x-2)>0,解得x<-3或x>2,所以不等式的解集为(-∞,-3)∪(2,+∞).故选A.(2)由x2f(x)+x-2≤0,当x<时,不等式等价于3x2+x-2≤0,解得-1≤x≤,当x≥时,不等式等价于x+x-2≤0,解得x≤1,所以-1≤x<或≤x≤1,所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤1}.答案:(1)A　(2){x|-1≤x≤1}热点三　基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项:通过调整项的符号,配凑出符合基本不等式条件的项,使其积或和为定值.(2)凑系数:若无法直接运用基本不等式求解,通过凑系数后可得到和或积为定值,从而利用基本不等式求最值.(3)换元:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开,即化为y=m++Bg(x)(AB>0),g(x)恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值.典例3　(1)(2022·江苏南京模拟预测)已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+的最大值是(　　)A. B.- C. D.-(2)(2022·山东潍坊二模)已知正实数a,b满足a2+2ab+4b2=6,则a+2b的最大值为(　　)A.2 B.2 C. D.2解析:(1)x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1,x2是方程x2-4ax+3a2=0的两个根,故x1+x2=4a,x1x2=3a2,故x1+x2+=4a+.因为a<0,所以由基本不等式得,4a+=-[-4a+(-)]≤-2=-,当且仅当-4a=-,即a=-时,等号成立,所以x1+x2+的最大值为-.故选D.(2)因为()2-2ab=()2≥0,所以2ab≤()2,当且仅当a=2b时等号成立,因为a2+2ab+4b2=6,所以(a+2b)2-2ab=6,即(a+2b)2-6=2ab,所以(a+2b)2-6≤()2,即(a+2b)2≤8,因为a,b为正实数,所以a+2b>0,因此0<a+2b≤2,故a+2b的最大值为 2,此时故选B.利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的条件(1)一正二定三相等,三者缺一不可.(2)若连续两次使用基本不等式求最值,必须使两次等号成立的条件一致,否则最值取不到.热点训练3　 (1)已知4x4+9x2y2+2y4=1,则5x2+3y2的最小值是(　　)A.2 B. C. D.3(2)(2022·广东深圳二模)设0<x<1,则+的最小值为　　　　. 解析:(1)由4x4+9x2y2+2y4=1,得(4x2+y2)·(x2+2y2)=1≤()2=()2,即4≤(5x2+3y2)2,所以5x2+3y2≥2,当且仅当4x2+y2=x2+2y2,即y2=3x2=时,等号成立,所以5x2+3y2的最小值是2.故选A.(2)因为0<x<1,所以0<1-x<1,则+=(+)[(1-x)+x]=1+4++≥5+2=9,当且仅当=,即x=时,等号成立,故+的最小值为9.答案:(1)A　(2)9